第四章 常用统计量及其应用第一节 平均数与标准差的概念 第二节平均数和标准差在体育中的应用第三节百分位数及其应用第一节 平均数与标准差的概念一、平均数 *反映一组性质相同的观测值的平均水平或集中趋势的统计量，其数学定义为 ：平均数在一定程度上代表一组数据的整体水平，体育工作中，常用这一概念来反映事物的某些特征。 例如例如，某中学的体育平均达标率，学生的平均身高，年龄某地区高考体育加试平均分数等等。 一、平均数一、平均数二、标准差（standard deviation）样本平均数描述数据的集中趋势，反映样本数据的平均水平。 在实际应用中，仅有平均数是不够的，还要考虑到数据的离散程度。在数据相对比较集中时，平均数才具有代表性。 二、标准差二、标准差例如，吉斯莫先生经营一家工厂，规模不大，现欲招聘一名工人，汤姆先生参加面试，老板告诉他，本厂全体人员的工资入平均每人每周300元，汤姆一听，欣然接受，上班一周后，来找老板，声称受骗，老板算了一笔帐，汤姆听了无话可说。 平平均均工工资资300元元周周 二、标准差二、标准差*反映样本离散程度的统计量，称之为标准差 ，通常用s表示。如何来定量计算标准差？ 设样本观测值为 ，平均数为 ， 则样本标准差s=？ 二、标准差二、标准差目标：目标：要反映出样本数据相对于平均数 的离散程度。思路一思路一：每一个数据与平均数的差值之和，即： 上式各项有正有负，正负抵消， 0因此：此路不通！ 二、标准差二、标准差此方法中：解决了“=0”的问题，但又有新问题。绝对值在计算中难处理。思路二：思路二：使用绝对值。即：因此：此路也不通！ 二、标准差二、标准差思路三：思路三：使用平方。即：此方法中：解决前面的问题，但又有新问题。上式与样本含量的大小有关。 因此需要改进！因此需要改进！离差平方和离差平方和 二、标准差二、标准差改进一：改进一：除以样本含量：即： 在实际应用中，上式对总体离散程度的估计往往偏小若以自由度（n-1）代替n，则是无偏的。 因此有：因此有：称为样本方差 二、标准差二、标准差改进二：改进二：在实际应用中，为了和以前的单位保持一致。往往需要开平方。即得： 称为标准差，反映样本的离散程度。 二、标准差二、标准差平均数在一定程度上代表一组数据的整平均数在一定程度上代表一组数据的整体水平，反映一组性质相同的观测值的体水平，反映一组性质相同的观测值的平均水平或集中趋势的统计量。平均水平或集中趋势的统计量。其数学其数学定义为定义为？（请学生自己写）反映样本离散程度的统计量，称之反映样本离散程度的统计量，称之为标准差为标准差 。其数学定义为其数学定义为？（请学生自己写）要点 二、标准差二、标准差第二节平均数和标准差在体育中的应用 一、标准百分（分） 在体育工作中，人们得到的数据资料往往是体育项目的成绩，不便于对个体进行评价加之，体育项目种类繁多，各项目的性质也相差较大，这给综合评价带来很大的不便。于是产生了体育计分方法，标准百分计分法就是其中的一种。 （一）标准百分的计分思想 设随机变量x服从正态分布N(，)，则由正态分布的知识可知 95%99%即：落在区间内的概率95% 或落在区间内的概率99% 95%和99%的含义是： 95%或99%换句话说，来自总体的样本观测值 中绝大部分都落在 范围内，因此计分范围可以取 ，其中 和未知，可用样本平均数 和标准差 代替，从而计分范围可定为 ，（定为 也行，有时太大也没 必要。） 标准百分的准百分的计分方法分方法是在范围分别计零分的满分点计50分。内均匀计分，两端点50分0分100分0分100分（二）标准百分的计分公式（以 为例），则相对于观测值50分0分100分由上可知，区间内单位长度的分值为 0分100分的标准百分应为：田赛：径赛：如果是以如果是以为计分分范范围，结果果如何？如何？例 ：已知某年级男生跳远成绩 ，其中某同学成绩为5.85m， 试求他的标准百分。 二、累进计分（一）累进计分的思想 标准百分有简单、直观、使用方便的优点。但由于该计分方法采用均匀计分，分值处理一样，没有与项目的难度联系起来，因此，不利于应用。在体育领域内，难度越大处，分值应当越高，即分数随成绩的提高呈曲线上升，这就是累进计分的基本思想。 xy通常采用二次曲线进行分析处理。（二）累进计分公式设原始变量服从正态分布服从正态分布，样本平均数和标准差分别为 和 ，先对原变量作如下变换变换： 再作变换变换： 为了确定计分公式，需要根据具体问题设定基分点和满分点，从而建立方程组为了确定计分公式，需要根据具体问题设定基分点和满分点，从而建立方程组: 例例: 解解:从而累进计分公式为从而累进计分公式为: 所以，甲乙两人的分数分别为所以，甲乙两人的分数分别为: 甲甲： 乙乙的成绩大家自己计算： 三、离差法制定评分评价标准 利用样本均数和标准差来制定评分、评价标准的方法习惯上称为离差法。 常见的用离差法制定等级标准的方法是： 先根据具体情况规定各等级的人数比例，如优秀10%，良好20%，中等30%，及格32%，不及格8%再根据正态分布的知识，计算出各等级的成绩标准。 现有一组男生200m跑成绩 秒， 秒，原始变量基本服从正态分布，若规定12%的人为优秀，20%为良好，30%为中等，30%及格，8%不及格，试求各等级的标准。 例例 解解 良好、中等、及格和不及格的等级标准请大家自己算。良好、中等、及格和不及格的等级标准请大家自己算。 四、制定离差评价表 在中学体育工作中，教师可以针对学生的整体成绩利用离差法制定各项目的综合评价表，在表中，各项目分上等、中上、中等、中下、和下等五个等级，各等级的计分标准为： 例例 五、选派参赛运动员 若比赛级别高，估计他若比赛级别高，估计他们的平均成绩就得到好们的平均成绩就得到好名次，则可派甲队参赛；名次，则可派甲队参赛；若比赛级别高，对若比赛级别高，对手的实力较强，两名队手的实力较强，两名队员只有在发挥最好成绩员只有在发挥最好成绩时才有可能取得名次，时才有可能取得名次，则可选派乙队员参赛。则可选派乙队员参赛。 例例 解解 第三节百分位数及其应用 利用平均数和标准差进行体育评分、评价时，均要求原始变量服从正态分布服从正态分布，如果总体不服从不服从正态分布，或总体分布不明总体分布不明时则不能运用平均数和标准差进行评分评价，应用百分位数百分位数来描述。 一、百分位数的概念 将一组数据从小到大依次排列，并将数列100等分，与第H等分相对应的数，称为第H百分位数，记用PH，H称为PH的位置百分，如P50就是第50百分位数，第50百分位数就是中位数，中位数是百分位数的一个特例。 例例 百分位数与位置百分互为数运算百分位数与位置百分互为数运算 二、百分位数的计算 设原始资料已整理成频数分布表 。计算百分位数的思想是：频数分布表已将数据从小到大依次排列，各组内的数设想在组内均匀分布 。PH的计算公式 1.1.平均数、标准差的统计学意义是什么？平均数、标准差的统计学意义是什么？2.2.标准百分、累进计分、百分位数计分的标准百分、累进计分、百分位数计分的计分思想和优缺点各是什么？计分思想和优缺点各是什么？3.P49:3.P49:第第2 2、4 4、7 7题题4.P99:4.P99:第第2 2题题5.P1005.P100：第：第3 3、4 4、5 5、6 6、7 7题题思考题