第第6章章 MATLAB数据分析与数学计算数据分析与数学计算张登峰张登峰李忠新李忠新2011.7Content6.1 数据数据统计处理理6.2 数据插数据插值6.3 多多项式式计算算6.4 非非线性方程数性方程数值求解求解6.5 函数极函数极值部分常用数值分析函数部分常用数值分析函数cumprod累积积向量累积积向量cumsum累加和向量累加和向量mean平均值平均值/均值均值factor质因子质因子min最小值最小值max最大值最大值prod数组元素的乘积数组元素的乘积mediam中间值中间值sort按升序排列矩阵元素按升序排列矩阵元素sortrows按升序排列行按升序排列行std标准差标准差sum求和求和trapz梯形法数值积分梯形法数值积分var方差方差corrcoef相关系数相关系数cov协方差矩阵协方差矩阵conv卷积卷积/多项式乘法多项式乘法deconv反卷积反卷积/多项式除法多项式除法nextpow2最接近的最接近的2的幂次的幂次gradient数值梯度数值梯度6.1 数据统计处理数据统计处理6.1.1 最大最大值和最小和最小值MATLAB提供的求数据序列的最大提供的求数据序列的最大值和最小和最小值的函数分的函数分别为max和和min，两个函数的，两个函数的调用格式和操作用格式和操作过程程类似。似。1)求向量的最大求向量的最大值和最小和最小值求一个向量求一个向量X的最大的最大值的函数有两种的函数有两种调用格式，分用格式，分别是：是：(1)y=max(X)：返回向量：返回向量X的最大的最大值存入存入y，如果，如果X中包中包含复数元素，含复数元素，则按模取最大按模取最大值。(2)y,I=max(X)：返回向量：返回向量X的最大的最大值存入存入y，最大，最大值的的序号存入序号存入I，如果，如果X中包含复数元素，中包含复数元素，则按模取最大按模取最大值。求向量求向量X的最小的最小值的函数是的函数是min(X)，用法和，用法和max(X)完全完全相同。相同。例例6-1 求向量求向量x的最大的最大值。命令如下：命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x) %求向量求向量x中的最大中的最大值y,l=max(x) %求向量求向量x中的最大中的最大值及其及其该元素的元素的位置位置2)求矩求矩阵的最大的最大值和最小和最小值求矩求矩阵A的最大的最大值的函数有的函数有3种种调用格式，分用格式，分别是：是：(1) max(A)：返回一个行向量，向量的第：返回一个行向量，向量的第i个元素个元素是矩是矩阵A的第的第i列上的最大列上的最大值。(2) Y,U=max(A)：返回行向量：返回行向量Y和和U，Y向量向量记录A的每列的最大的每列的最大值，U向量向量记录每列最大每列最大值的行号。的行号。(3) max(A,dim)：dim取取1或或2。dim取取1时，该函函数和数和max(A)完全相同；完全相同；dim取取2时，该函数返函数返回一个列向量，其第回一个列向量，其第i个元素是个元素是A矩矩阵的第的第i行上行上的最大的最大值。求矩求矩阵最小最小值的函数是的函数是min，其用法和，其用法和max完全相同。完全相同。例例6-2 分分别求求34矩矩阵x中各列和各行元素中的最大中各列和各行元素中的最大值，并，并求整个矩求整个矩阵的最大的最大值和最小和最小值。3)两个向量或矩阵对应元素的比较两个向量或矩阵对应元素的比较函数函数max和和min还能能对两个同型的向量或矩两个同型的向量或矩阵进行比行比较，调用格式用格式为：(1) U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩是两个同型的向量或矩阵，结果果U是与是与A,B同型的向量或矩同型的向量或矩阵，U的每个元素等的每个元素等于于A,B对应元素的元素的较大者。大者。(2) U=max(A,n)：n是一个是一个标量，量，结果果U是与是与A同型的同型的向量或矩向量或矩阵，U的每个元素等于的每个元素等于A对应元素和元素和n中中的的较大者。大者。min函数的用法和函数的用法和max完全相同。完全相同。例例6-3 求两个求两个23矩矩阵x, y所有同一位置上的所有同一位置上的较大大元素构成的新矩元素构成的新矩阵p。6.1.2 求和与求积求和与求积数数据据序序列列求求和和与与求求积的的函函数数是是sum和和prod，其其使使用用方方法法类似似。设X是是一一个个向向量量，A是是一一个个矩矩阵，函数的函数的调用格式用格式为：sum(X)：返回向量：返回向量X各元素的和。各元素的和。prod(X)：返回向量：返回向量X各元素的乘各元素的乘积。sum(A)：返返回回一一个个行行向向量量，其其第第i个个元元素素是是矩矩阵A的第的第i列的元素和。列的元素和。prod(A)：返返回回一一个个行行向向量量，其其第第i个个元元素素是是A的的第第i列的元素乘列的元素乘积。sum(A,dim)： 当当 dim为 1时 ， 该 函函 数数 等等 同同 于于sum(A)；当当dim为2时，返返回回一一个个列列向向量量，其其第第i个元素是个元素是A的第的第i行的各元素之和。行的各元素之和。prod(A,dim)：当当dim为1时，该函函数数等等同同于于prod(A)；当当dim为2时，返返回回一一个个列列向向量量，其其第第i个个元元素素是是A的的第第i行行的各元素乘的各元素乘积。例例6-4 求矩求矩阵A的每行元素的乘的每行元素的乘积和全部元素的乘和全部元素的乘积。A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;S=prod(A,2)prod(s) % 求求A的全部元素的乘的全部元素的乘积6.1.3 平均值和中值平均值和中值求求数数据据序序列列平平均均值的的函函数数是是mean，求求数数据据序序列列中中值的的函数是函数是median。两个函数的。两个函数的调用格式用格式类似似sum, 为：mean(X)：返回向量：返回向量X的算的算术平均平均值。median(X)：返回向量：返回向量X的中的中值。mean(A)：返返回回一一个个行行向向量量，其其第第i个个元元素素是是A的的第第i列列的算的算术平均平均值。median(A)：返返回回一一个个行行向向量量，其其第第i个个元元素素是是A的的第第i列列的中的中值。mean(A,dim)：当当dim为1时，该函函数数等等同同于于mean(A)；当当dim为2时，返返回回一一个个列列向向量量，其其第第i个个元元素素是是A的的第第i行的算行的算术平均平均值。median(A,dim)： 当当 dim为 1时 ， 该 函函 数数 等等 同同 于于median(A)；当当dim为2时，返返回回一一个个列列向向量量，其其第第i个元素是个元素是A的第的第i行的中行的中值。例例6-5 分分别求求向向量量x=1,0.5,3,4,5与与y=0, 1.2, 4, 7, 2, 4, 6, 7的平均的平均值和中和中值。6.1.4 累加和与累乘积累加和与累乘积使使用用cumsum和和cumprod函函数数能能求求得得向向量量和和矩矩阵元元素素的的累加和与累乘累加和与累乘积向量，函数的向量，函数的调用格式同用格式同sum, 为：cumsum(X)：返回向量：返回向量X累加和向量。累加和向量。cumprod(X)：返回向量：返回向量X累乘累乘积向量。向量。cumsum(A)：返返回回一一个个矩矩阵，其其第第i列列是是A的的第第i列列的的累累加和向量。加和向量。cumprod(A)：返返回回一一个个矩矩阵, 其其第第i列列是是A的的第第i列列的的累累乘乘积向量。向量。cumsum(A,dim)： 当当 dim为 1时 ， 该 函函 数数 等等 同同 于于cumsum(A)；当当dim为2时，返返回回一一个个矩矩阵，其其第第i行行是是A的第的第i行的累加和向量。行的累加和向量。cumprod(A,dim)： 当当 dim为 1时 ， 该 函函 数数 等等 同同 于于cumprod(A)；当当dim为2时，返返回回一一个个向向量量，其其第第i行行是是A的第的第i行的累乘行的累乘积向量。向量。例例6-6 求向量求向量s=(1!,2!,3!,10!)的的值。Codes:s=cumprod(1:10)6.1.5 标准方差与相关系数标准方差与相关系数1求求标准方差准方差在在MATLAB中中，提提供供了了计算算数数据据序序列列的的标准准方方差差的的函函数数std。对于于向向量量X，std(X)返返回回一一个个标准准方方差差。对于于矩矩阵A，std(A)返返回回一一个个行行向向量量，它它的的各各个个元元素素便便是是矩矩阵A各列的各列的标准方差。准方差。std函数的一般函数的一般调用格式用格式为：Y=std(A,flag,dim)其其中中dim取取1或或2。当当dim=1时，求求矩矩阵A各各列列元元素素的的标准准方方差差；当当dim=2时，则求求矩矩阵A各各行行元元素素的的标准准方方差差。flag取取0或或1，按按不不同同公公式式计算算标准准方方差差；当当flag=0时，按按1所所列列公公式式计算算标准准方方差差，当当flag=1时，按按2所所列列公公式式计算算标准方差准方差。缺省。缺省flag=0，dim=1。例例6-7 对二二维矩矩阵x，从不同，从不同维方向求出其方向求出其标准方差。准方差。X=;%输入矩入矩阵x.Y=std(X,0,1); %求各列元素的求各列元素的标准差准差.y=std(X,0,2); %求各行元素的求各行元素的标准差准差.思考：思考：设二二维矩矩阵x为正正态分布数据，分布数据，请计算其算其标准差。准差。2相关系数相关系数MATLAB提供了提供了corrcoef函数，可以求出数据的相关系数函数，可以求出数据的相关系数矩矩阵。corrcoef函数的函数的调用格式用格式为：corrcoef(X)：返回从矩：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩形成的一个相关系数矩阵。此。此相关系数矩相关系数矩阵的大小与矩的大小与矩阵X一一样。它把矩。它把矩阵X的每列的每列作作为一个一个变量，然后求它量，然后求它们的相关系数。的相关系数。corrcoef(X,Y)：在：在这里，里，X,Y是向量，它是向量，它们与与corrcoef(X,Y)的作用一的作用一样。例例6-8 生成生成满足正足正态分布的分布的100005随机矩随机矩阵，然后求各，然后求各列元素的均列元素的均值和和标准方差，再求准方差，再求这5列随机数据的相关列随机数据的相关系数矩系数矩阵。命令如下：命令如下：X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)6.1.6 排序排序MATLAB中中对向向量量X是是排排序序函函数数是是sort(X)，函函数数返返回回一一个个对X中的元素按升序排列的新向量。中的元素按升序排列的新向量。sort函函数数也也可可以以对矩矩阵A的的各各列列或或各各行行重重新新排排序序，其其调用用格式格式为：Y,I=sort(A,dim)其其中中dim指指明明对A的的列列还是是行行进行行排排序序。若若dim=1，则按按列列排排；若若dim=2，则按按行行排排。Y是是排排序序后后的的矩矩阵，而而I记录Y中的元素在中的元素在A中位置。中位置。例例6-9：对矩阵做各种排序：对矩阵做各种排序A=1,-8,5;4,12,6;13,7,-13;sort(A) %对A的每列按升序排序的每列按升序排序-sort(A) %对A的每行按降序排序的每行按降序排序X,I=sort(A) %对A按列排序，并将每个元素按列排序，并将每个元素所在行号送所在行号送给矩矩阵I.6.2 数据插值数据插值6.2.1 一一维数据插数据插值在在MATLAB中中，实现这些些插插值的的函函数数是是interp1，其其调用用格式格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函函数数根根据据X,Y的的值，计算算函函数数在在X1处的的值。X,Y是是两两个个等等长的的已已知知向向量量，分分别描描述述采采样点点和和样本本值，X1是是一一个个向向量量或或标量量，描描述述欲欲插插值的的点点，Y1是是一一个个与与X1等等长的的插插 值 结 果果 。 method是是 插插 值 方方 法法 ， 允允 许 的的 取取 值 有有linear、nearest、cubic、spline。注注：X1取取值范范围不不能能超超出出X给定定范范围，否否则给出出“NaN”错误。例例6-10 函数函数y=f(x)对应点点为：x=0.2,0.5,0.9,1.2,1.4,1.6,1.8,2;y=0.2,0.5,1.4,3.4,2.6,2.1,1.8,1.2;用不同的插用不同的插值方法方法计算算y在在x=/2点的点的值。注注：MATLAB中有一个中有一个专门的的3次次样条插条插值函数函数Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数，其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。完全相同。例例6-11 某某观测站站测得某日得某日6:00时至至18:00时之之间每隔每隔2小小时的室内外温度的室内外温度()，用，用3次次样条插条插值分分别求得求得该日室日室内外内外6:30至至17:30时之之间每隔每隔2小小时各点的近似温度各点的近似温度()。设时间变量量h为一行向量，温度一行向量，温度变量量t为一个两列矩一个两列矩阵，其，其中第一列存放室内温度，第二列中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令存室外温度。命令如下：如下：h =6:2:18;t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;XI =6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI,spline) %用用3次次样条插条插值计算算6.2.2 多维数据插值与曲线拟合多维数据插值与曲线拟合略，不略，不讲。6.3 多项式计算多项式计算n次多次多项式是形如式是形如P(x) =a0xn+a1xn-1+an-1x+an的式子。的式子。在在MATLAB中中，多多项式式用用行行向向量量表表示示，多多项式式的的系系数数按按降降幂排列：排列：P=a0 a1 an-1 an或或P=a0, a1, an-1, an如：多如：多项式式x3-12x2+25x+6表示表示为p=1, -12, 25, 66.3.1 多项式的生成与表达多项式的生成与表达例：已知向量例：已知向量A=1 34 80 0 0，用此向量构造一，用此向量构造一多多项式式(x-1)(x+34)(x+80)(x-0)(x-0)并并显示示结果。果。解：解：PA=poly(A)PAX=poly2str(PA,X) X5 + 113 X4 + 2606 X3 - 2720 X26.3.2 多项式的运算多项式的运算1). 多多项式的算式的算术运算运算参加加减运算的多参加加减运算的多项式式应该具有相同的具有相同的阶次。次。多多项式乘法采用式乘法采用conv函数，除法由函数，除法由deconv函数完成。函数完成。2). 求根求根求多求多项式的根采用式的根采用roots函数。函数。3). 求求值函数函数polyval可以将某个特定数可以将某个特定数值代入多代入多项式式函数函数polyvalm可以求出当多可以求出当多项式中的未知数式中的未知数为方方阵时的的值。4). 求求导使用使用polyder函数函数对多多项式求式求导。1) 多项式的四则运算多项式的四则运算1多多项式式的的加加减减运运算算：与与向向量量加加减减相相同同，无无专门指令。指令。2多多项式乘法运算式乘法运算函函数数conv(P1,P2)用用于于求求多多项式式P1和和P2的的乘乘积。这里里，P1、P2是是两两个个多多项式式系系数数按按降降幂排排列列的的行向量。行向量。例例6-16 求求多多项式式x4+8x3-10与与多多项式式2x2-x+3的的乘乘积。3多多项式除法式除法函数函数Q,r=deconv(P1,P2)用于用于对多多项式式P1和和P2作除法运作除法运算。其中算。其中Q返回多返回多项式式P1除以除以P2的商式，的商式，r返回返回P1除以除以P2的余式。的余式。这里，里，Q和和r仍是多仍是多项式系数向量。式系数向量。deconv是是conv的逆函数，即有的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。例例6-17 求多求多项式式x4+8x3-10除以多除以多项式式2x2-x+3的的结果。果。P1=1,8,0,0,-10;p2=2,-1,3;q,r=deconv(P1,p2)2) 多项式的导函数多项式的导函数对多多项式求式求导数的函数是：数的函数是：p=polyder(P)：求多：求多项式式P的的导函数函数p=polyder(P,Q)：求：求P*Q的的导函数函数p,q=polyder(P,Q)：求：求P/Q的的导函数，函数，导函数的分子存入函数的分子存入p，分母存入，分母存入q。上述函数中，参数上述函数中，参数P,Q是多是多项式的向量表示，式的向量表示，结果果p,q也是也是多多项式的向量表示。式的向量表示。例例6-18 求有理分式求有理分式P/Q=1/(x2+5)的的导数。数。命令如下：命令如下：P=1;Q=1,0,5;p,q=polyder(P,Q)3) 多项式的求值多项式的求值MATLAB提供了两种求多提供了两种求多项式式值的函数：的函数：polyval与与polyvalm，它，它们的的输入参数均入参数均为多多项式系数向量式系数向量P和多和多项式的自式的自变量量x。两者的区。两者的区别在于前者是代数多在于前者是代数多项式求式求值，而后者是矩，而后者是矩阵多多项式求式求值。1代数多代数多项式求式求值polyval函数用来求代数多函数用来求代数多项式的式的值，其，其调用格式用格式为：Y=polyval(P,x)若若x为一一数数值，则求求多多项式式在在该点点的的值；若若x为向向量量或或矩矩阵，则对向量或矩向量或矩阵中的每个元素求其多中的每个元素求其多项式的式的值。例例6-19 已已知知多多项式式x4+8x3-10，分分别取取x=1.2和和一一个个23矩矩阵为自自变量量计算算该多多项式的式的值。2矩矩阵多多项式求式求值polyvalm函数用来求矩函数用来求矩阵多多项式的式的值，其，其调用格式与用格式与polyval相同，但含相同，但含义不同。不同。polyvalm函数要求函数要求x为方方阵，它以方它以方阵为自自变量求多量求多项式的式的值。设A为方方阵，P代表代表多多项式式x3-5x2+8，那么，那么polyvalm(P,A)的含的含义是：是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)而而polyval(P,A)的含的含义是：是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A)例例6-20 仍以多仍以多项式式x4+8x3-10为例，取一个例，取一个22矩矩阵为自自变量分量分别用用polyval和和polyvalm计算算该多多项式的式的值。4) 多项式求根多项式求根n次次多多项式式具具有有n个个根根，当当然然这些些根根可可能能是是实根根，也也可可能能含含有有若若干干对共共轭复复根根。MATLAB提提供供的的roots函函数数用用于于求多求多项式的全部根，其式的全部根，其调用格式用格式为：x=roots(P)其其中中P为多多项式式的的系系数数向向量量，求求得得的的根根赋给向向量量x，即即x(1),x(2),x(n)分分别代表多代表多项式的式的n个根。个根。例例6-21 求多求多项式式x4+8x3-10的根。的根。命令如下：命令如下：A=1,8,0,0,-10;x=roots(A)若若已已知知多多项式式的的全全部部根根，则可可以以用用poly函函数数建建立立起起该多多项式，其式，其调用格式用格式为：P=poly(x)若若x为具具有有n个个元元素素的的向向量量，则poly(x)建建立立以以x为其其根根的的多多项式，且将式，且将该多多项式的系数式的系数赋给向量向量P。例例6-22 已知已知 f(x)=3x5+4x3-5x2-7.2x+5(1) 计算算f(x)=0 的全部根。的全部根。(2) 由方程由方程f(x)=0的根构造一个多的根构造一个多项式式g(x)，并与，并与f(x)进行行对比。比。命令如下：命令如下：P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P) %求方程求方程f(x)=0的根的根G=poly(X) %求多求多项式式g(x)应用举例应用举例例例： 将将表表达达式式(x-4)(x+5)(x2-6x+9)展展开开为多多项式式形式，并求其形式，并求其对应的一元的一元n次方程的根。次方程的根。p=conv(1 -4,conv(1 5,1 -6 9) px=poly2str(p,x)x=roots(p)6.4 非线性方程数值求解非线性方程数值求解6.4.1 单变量非量非线性方程求解性方程求解 在在MATLAB中中提提供供了了一一个个fzero函函数数，可可以以用用来来求求单变量量非非线性性方方程程的的根根。该函函数数的的调用用格格式式为： z=fzero(fname,x0,tol,trace)其其中中fname是是待待求求根根的的函函数数文文件件名名，x0为搜搜索索的的起起点点。一一个个函函数数可可能能有有多多个个根根，但但fzero函函数数只只给出出离离x0最最近近的的那那个个根根。tol控控制制结果果的的相相对精精度度，缺缺省省时取取tol=eps，trace 指指定定迭迭代代信信息息是是否否在在运运算算中中显示示，为1时显示示，为0时不不显示示，缺省缺省时取取trace=0。 例例6-8 求求f(x)=x-10x+2=0在在x0=0.5附近的根。附近的根。 步步骤如下：如下：(1) 建立函数文件建立函数文件funx.m。 function fx=funx(x) fx=x-10.x+2; (2) 调用用fzero函数求根。函数求根。 z=fzero(funx,0.5) z = 0.37586.4.2 非线性方程组的求解非线性方程组的求解 对于于非非线性性方方程程组F(X)=0，用用fsolve函函数数求求其其数数值解解。fsolve函数的函数的调用格式用格式为： X=fsolve(fun,X0,option)其其中中X为返返回回的的解解，fun是是用用于于定定义需需求求解解的的非非线性性方方程程组的的函函数数文文件件名名，X0是是求求根根过程程的的初初值，option为最最优化化工工具具箱箱的的选项设定定。最最优化化工工具具箱箱提提供供了了20多多个个选项，用用户可可以以使使用用optimset命命令令将将它它们显示示出出来来。如如果果想想改改变其其中中某某个个选项，则可可以以调用用optimset()函函数数来来完完成成。例例如如，Display选项决决定定函函数数调用用时中中间结果果的的显示示方方式式，其其中中off为不不显示示，iter表表示示每每步步都都 显 示示 ， final只只 显 示示 最最 终 结 果果 。optimset(Display,off)将将设定定Display选项为off。 例例6-9 求下列非求下列非线性方程性方程组在在(0.5,0.5) 附近的数附近的数值解。解。 (1) 建立函数文件建立函数文件myfun.m。function q=myfun(p)x=p(1);y=p(2);q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y);q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在在给定的初定的初值x0=0.5,y0=0.5下，下，调用用fsolve函数求方程的根。函数求方程的根。x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(Display,off)x = 0.6354 0.3734将求得的解代回原方程，可以将求得的解代回原方程，可以检验结果是否正确，命令如下：果是否正确，命令如下：q=myfun(x)q = 1.0e-009 * 0.2375 0.2957 可可见得到了得到了较高精度的高精度的结果。果。6.5 函数极值函数极值 MATLAB提提供供了了基基于于单纯形形算算法法求求解解函函数数极极值的的函函数数fmin和和fmins， 它它们分分别用用于于单变量量函数和多函数和多变量函数的最小量函数的最小值，其，其调用格式用格式为： x=fmin(fname,x1,x2) x=fmins(fname,x0)这两两个个函函数数的的调用用格格式式相相似似。其其中中fmin函函数数用用于于求求单变量量函函数数的的最最小小值点点。fname是是被被最最小小化化的的目目标函函数数名名，x1和和x2限限定定自自变量量的的取取值范范围。fmins函函数数用用于于求求多多变量量函函数数的的最最小小值点点，x0是求解的初始是求解的初始值向量。向量。MATLAB没有没有专门提供求函数最大提供求函数最大值的函数，但只要注意到的函数，但只要注意到-f(x)在在区区间(a,b)上的最小上的最小值就是就是f(x)在在(a,b)的最大的最大值，所以，所以fmin(-f,x1,x2)返回函数返回函数f(x)在区在区间(x1,x2)上的最大上的最大值。 例例6-13 求求f(x)=x3-2x-5在在0,5内的最小内的最小值点。点。 (1) 建立函数文件建立函数文件mymin.m。function fx=mymin(x)fx=x.3-2*x-5; (2) 调用用fmin函数求最小函数求最小值点。点。x=fmin(mymin,0,5)x= 0.8165Good good study, day day up!