圆幂与根轴，圆幂与根轴，几何综合问题选讲几何综合问题选讲1与圆幂定理相关的另一个概念是根轴。与圆幂定理相关的另一个概念是根轴。首先我们有幂的定义幂的定义：从一点A作一圆周的任一割线，从A起到和圆周相交为止的两线段之积，称为点对于圆周的幂点对于圆周的幂。若A点在圆外，A点的幂等于从A点所引圆周切线的平方，由相交弦定理及割线定理，知道点A的幂为定值。根轴2不难证明，幂有下列两个性质不难证明，幂有下列两个性质（1 1）：两圆周相交，交点处的切线成直角，则每一圆半径的平方）：两圆周相交，交点处的切线成直角，则每一圆半径的平方等于它的圆心对于另一圆周的幂，反之亦然。等于它的圆心对于另一圆周的幂，反之亦然。（2 2）：点）：点A A对于以对于以O O为圆心的圆周的幂，等于为圆心的圆周的幂，等于OAOA及其半径的平方差。及其半径的平方差。由此，我们有由此，我们有定理定理1 1：对于两已知圆有等幂的点的轨迹，：对于两已知圆有等幂的点的轨迹，是一条垂直于连心线的直线。是一条垂直于连心线的直线。3定义：两圆等幂点的轨迹，称为两圆的根轴或等幂轴。定义：两圆等幂点的轨迹，称为两圆的根轴或等幂轴。定理定理2 2：若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线，由于两圆的交点对于两圆：若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线，由于两圆的交点对于两圆的幂都是的幂都是O O，所以，它们位于根轴上。根轴是直线，所以，根轴是两交点的连线，所以，它们位于根轴上。根轴是直线，所以，根轴是两交点的连线定理定理3 3：若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线：若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线. .这由幂的定义，可立即推出这由幂的定义，可立即推出：定理定理4 4：若三个圆两两不同心，则其两两的根轴相交于一点，或互：若三个圆两两不同心，则其两两的根轴相交于一点，或互相平行。若这三条根轴中有两条相交，则这一交点对于三个圆的幂相平行。若这三条根轴中有两条相交，则这一交点对于三个圆的幂均相等，所以必在第三条根轴上。这一点，称为三圆的根心。均相等，所以必在第三条根轴上。这一点，称为三圆的根心。显然，当三个圆的圆心在一条直线上时，三条根轴互相平行。显然，当三个圆的圆心在一条直线上时，三条根轴互相平行。当三个圆的圆心不共线时，根心存在。当三个圆的圆心不共线时，根心存在。456789101112根轴及其应用根轴及其应用根轴是沟通圆与圆之间关系的一条基本直线。由于根轴是沟通圆与圆之间关系的一条基本直线。由于根轴和共轴圆系易于构造和计算，不少涉及圆的根轴和共轴圆系易于构造和计算，不少涉及圆的解析几何问题，若运用根轴知识来解决，不仅思解析几何问题，若运用根轴知识来解决，不仅思路简捷，解题明快，而且饶有趣味，容易掌握。路简捷，解题明快，而且饶有趣味，容易掌握。1314151617181920212223242526