Page 1三角形三角形三三角角形形三角形有三角形有关的线段关的线段三角形内角和三角形内角和三角形外角和三角形外角和三角形知识结构图三角形知识结构图三角形的边三角形的边高线高线中线中线角平分线角平分线三角形三角形有关的角有关的角内角与外角关系内角与外角关系三角形的分类三角形的分类多边形与镶嵌多边形与镶嵌1. 三角形的三边关系三角形的三边关系:(1) 三角形两边的和大于第三边三角形两边的和大于第三边2. 判断三条已知线段判断三条已知线段a、b、c能否能否 组成三角形组成三角形.当当a最长最长,且有且有b+ca时时,就可构成三角形就可构成三角形.3. 确定三角形第三边的取值范围确定三角形第三边的取值范围:两边之差两边之差第三边第三边两边之和两边之和.(2) 三角形两边的差小于第三边三角形两边的差小于第三边知识要点知识要点连结三角形一个连结三角形一个顶点与它对边中点顶点与它对边中点 的的线段线段叫做三角叫做三角形的中线。形的中线。 三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角三角形一个角的平分线与它的对边相交，这个角的的顶点与交点顶点与交点之间的之间的线段线段叫做三角形的角平分线。叫做三角形的角平分线。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间顶点和垂足之间的的线段线段叫做三角形的高线叫做三角形的高线.4. 三角形的主要线段三角形的主要线段5. 三角形的三条高线三角形的三条高线(或高线所在直线或高线所在直线)交于一点交于一点.锐角三角形三条高线交于三角形锐角三角形三条高线交于三角形内部一点内部一点；直角三角形三条高线交于直角三角形三条高线交于直角顶点直角顶点；钝角三角形三条高线钝角三角形三条高线所在直线所在直线交于三角形交于三角形外部一点外部一点.6.三角形的三条中线交于三角形内部一点三角形的三条中线交于三角形内部一点.7. 三角形的三条角平分线交于三角形内部一点三角形的三条角平分线交于三角形内部一点.ACBDFEADBCEDFCBA8. 三角形木架的形状不会改变三角形木架的形状不会改变,而四边形木架的形而四边形木架的形状会改变状会改变.这就这就是说是说,三角形三角形具有稳定性具有稳定性,而四边形而四边形没没有稳定性有稳定性。9. 三角形内角和定理三角形内角和定理三角形的内角和等于三角形的内角和等于1800直角三角形的两个锐角直角三角形的两个锐角互余互余。ABC10. 三角形外角和定理三角形外角和定理三角形的外角和等于三角形的外角和等于360011.11.三角形的外角与内角的关系三角形的外角与内角的关系三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. .三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. .ABCABC12. 三角形的分类三角形的分类锐角三角形锐角三角形三角形三角形钝角三角形钝角三角形(1) 按角分按角分直角三角形直角三角形(2) 按边分按边分腰和底不等的等腰三角形腰和底不等的等腰三角形三角形三角形等腰三角形等腰三角形等边三角形等边三角形不等边三角形不等边三角形 n-3n-23180041800(n-2)180012323421800360036003600360013. n13. n边形内角和、外角和、对角线边形内角和、外角和、对角线形状大小相同的任意三角形可镶嵌成一个平面14.14.镶嵌镶嵌形状大小相同的任意四边形可镶嵌成一个平面1 12 23 34 41 12 23 34 41 12 23 34 41 12 23 34 4 镶嵌的条件镶嵌的条件: :拼接在同一个顶点处的拼接在同一个顶点处的各个多边形的内角之和等于各个多边形的内角之和等于360360正方形正三角形正六边形正三正三、四、四 、六边形六边形可以镶嵌可以镶嵌14.14.镶嵌镶嵌60603+903+902=3602=360正三角形和正方形正三角形和正方形14.14.镶嵌镶嵌正三角形和正六边形正三角形和正六边形604 + 120=360602+1202=36014.14.镶嵌镶嵌1.在在ABC中，中，（1）B=100，A= C，则，则C= ；（2）2 A= B+ C，则，则A= 。2.如图，如图，_是是ACD外角，外角，ADB= 115, CAD= 80,则则C = . 406035ABCDADB3、下列条件中能组成三角形的是（、下列条件中能组成三角形的是（ ） A.5cm, 13cm, 7cm B.3cm, 5cm, 9cm C.14cm, 9cm, 6cm D.5cm, 6cm, 11cmC4、三角形的两边为、三角形的两边为7cm和和5cm，则第三边，则第三边 x的范围是的范围是 _ .2cmx12cm 5.如图，如图，AD是是BC边上高，边上高， BE是是 ABD的角平分线，的角平分线， 1=30，2=40， 则则C=_, BED= . 6560ABCD12E解解: : 由三角形两边之和大于第三边由三角形两边之和大于第三边, ,两边之差小于第三边得两边之差小于第三边得: : 8-3a8+3, 8-3a8+3, 5 5 a11 a11又又第三边长为奇数第三边长为奇数, , 第三条边长为第三条边长为 7 7、9 9。 6.已知两条线段的长分别是已知两条线段的长分别是3cm、8cm ， 要想拼成一个三角形，且第三条线段要想拼成一个三角形，且第三条线段a的的 长为奇数，问第三条线段应取多少长？长为奇数，问第三条线段应取多少长？ 7、等腰三角形一边的长是、等腰三角形一边的长是5 cm，另一边的，另一边的长是长是8cm，求它的周长，求它的周长解解: :当腰长为当腰长为5cm5cm时时, ,它的周长为它的周长为: : 5+5+8=18(cm) 5+5+8=18(cm) 当腰长为当腰长为8cm8cm时时, ,它的周长为它的周长为: : 8+8+5=21(cm) 8+8+5=21(cm)这个三角形的周长为这个三角形的周长为18cm18cm或或21cm21cm8、五、五边形的五个内边形的五个内角度角度数之比数之比为为23456，求求这个五边形的最大的内角和它的外角的度数这个五边形的最大的内角和它的外角的度数.解：设每一份为解：设每一份为x，则这五个角的度数分别为，则这五个角的度数分别为2x，3x，4x，5x，6x.2x+3x+4x+5x+6x=（5-2）180 x=27 6 27=162 ， 180-162=18 答：这个五边形的最大内角为答：这个五边形的最大内角为162，它的外角为，它的外角为18.9 9、小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他、小明在计算某个多边形的内角和时，由于粗心他漏掉一个内角，求得内角和漏掉一个内角，求得内角和16801680 ，你能否求得他，你能否求得他漏掉的内角和多边形内角和的正确结果吗？漏掉的内角和多边形内角和的正确结果吗？解：设他漏掉的内角为解：设他漏掉的内角为x，多边形的边数为，多边形的边数为n，则有：，则有： （n-2)180=1680+x 所以所以 n为正整数，为正整数，0 x PDC 同理可得同理可得PDC A BD是是AC边上的高边上的高 BPCAD21FAECB如图，如图，A、B、C在同一条直线上，在同一条直线上，B、D、E在同一条直线上，你能在同一条直线上，你能说明说明21的道理吗的道理吗? 解解:1=2 3=4 ABC=2 2 ACB=24 在在ABC中中 A+ ABC+ACB=180 A+2( 2+4)=180 A= 100 2+ 4=40 2+ 4+x=180 x=14022.如图，1=2， 3=4， A= 100，求x的值ABC2314x23.已知ABC的B、C的平分线交于点O。求证：BOC=90+ A0ABC2314解解:BO、CO是是B、 C的平分线的平分线 1=2 3=4 在在BOC中中 BOC+ 2+3=180 2+3= 180- BOC 在在ABC中中 A+ ABC+ACB=180 A+2( 2+3)=180 A+2(180- BOC )=180 BOC=90+ A210ABC24.在锐角ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且相交于一点P，若A=50 ，则BPC的度数是 _。DABCEP25.已知：BP、CP是ABC的外角的平分线，交于点P。 求证：P=90- APABC3412EF解解:BP、CP是外角平分线是外角平分线 1=2 3=4 EBC是是ABC的外角的外角 PBC中中 P+ 1+3=180 EBC= A+ACB 1+ 3=180-P = A+(180-3-4) A+180=2(180-P) EBC= 1+2 2 1= A+(180-23) P=90- A 2 1+23= A+180 2126.ABC中，ABC的平分线BD和ABC的外角平分线CD交于D， 求证：A=2DDABCE解解:BD、CD是角平分线是角平分线 1=2 3=4 在在BDC中中 4= 2+D 3= 2+D 在在ABC中中 ACE= A+ABC 2 3= A+22 2( 2+ D )= A+22 A=2 D123427.AOB中，AOB=90,OAB的平分线和ABC的外角OBD平分线交于P， 求P的度数PABDO解解:AP、BP是角平分线是角平分线 1=2 3=4 在在ABP中中 4= 2+P 3= 2+P 在在AB0中中 OBD= O+OAB 2 3= O+22 2( 2+ P )= O+22 O=2 P P=45123428.如图：CE是ACB的外角平分线与BA的延长线交于点E， B=35,ECD=75,则CAE度数是_解解:CE是角平分线是角平分线 1=2 在在ACE中中 BAC 1 在在BCE中中 2 B BAC BDABCE12求证：BACB6529.如图1=20, 2=25,B=55,则ADC的度数为_BCAD2110030.30.如图：求证：如图：求证：A+B+C=ADCA+B+C=ADCBCADE解解:连接连接BD并延长到并延长到E ADE=ABD+A CDE=CBD+C ADC=ABD+CBDABC=ABD+A A +ABC+ C= ADCF解解:延长延长AD交交BC于于F ADC=DFC+C DFC=A+B A +B+ C= ADC1.三角形三个内角的度数分别是（三角形三个内角的度数分别是（x+y)o, (x-y)o,xo, 且且xy0,则该三角形有一个内角为则该三角形有一个内角为 （）（）A、30O B、45OC、60OD、90O2.把把14cm长的细铁丝截成三段，围成不等边三角形长的细铁丝截成三段，围成不等边三角形，并且使三边长均为整数，那么（），并且使三边长均为整数，那么（） A、只有一种截法、只有一种截法 B、只有两种截法、只有两种截法C、有三种截法、有三种截法D、有四种截法、有四种截法3.等腰三角形腰长为等腰三角形腰长为a，底为，底为X，则，则X取值范围（）取值范围（） A、0X2aB、0Xa C、0Xa/2D、0X2a4.正多边形每一个内角都是正多边形每一个内角都是120o，多边形是（），多边形是（） A、正四边形、正四边形B、正五边形、正五边形 C、正六边形、正六边形D、正七边形、正七边形5.一个多边形木板，截去一个三角形后（截线不经一个多边形木板，截去一个三角形后（截线不经过顶点），得到新多边形内角和为过顶点），得到新多边形内角和为2160o，则原，则原多边形的边数为（多边形的边数为（ ）A、13条条B、14条条C、15条条D、16条条6.下列说法中，错误的是（下列说法中，错误的是（）A、一个三角形中至少有一个角不大于、一个三角形中至少有一个角不大于60O；B、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形；、有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形；C、三角形的外角中必有两个角是钝角；、三角形的外角中必有两个角是钝角；D、锐角三角形中两锐角的和必然小于、锐角三角形中两锐角的和必然小于60O；7.一个三角形三个内角的度数之比为一个三角形三个内角的度数之比为2:3:7，这个三，这个三角形一定是（角形一定是（ ）三角形）三角形 A直角直角 B等腰等腰 C锐角锐角 D钝角钝角8.一个多边形的内角和比它的外角的和的一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大倍还大180，这个多边形的边数是（，这个多边形的边数是（ ） A.5 B.6 C.7 D.89.一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个一个多边形自一个顶点引对角线把它分割为六个三角形，那么它是（）三角形，那么它是（） A.六边形六边形 B.七边形七边形 C.八边形八边形 D.九边形九边形10.下面各角能成为某多边形内角和的是（）下面各角能成为某多边形内角和的是（） A.430 B.4343 C.4320 D.436011下面说法正确的是个数有（）如果三角形三个内角的比是，那么这个三角形是直角三角形；如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；如果A=B=C，那么ABC是直角三角形；若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；在ABC中，若AB=C，则此三角形是直角三角形。 A、3个 B、4个 C、5个 D、6个12.如果将长度为a-2、a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是_。 13如果三角形的一个外角等于和它相邻的内角的倍，等于与它不相邻的一个内角的倍，则此三角形各内角的度数是_。14.一个多边形的边数和所有对角线的条数相等，则这个多边形是_边形.DCBEA16.如图,在ABC中,B=C,BAD=40,且ADE=AED,则CDE的度数_.FDCBEA17.如图,已知D为ABC边BC延长线上一点,DFAB于F交AC于E,A=35,D=42,则ACD的度数_.18.如图所示，分别在三角形，四边形，五边形的广场各角如图所示，分别在三角形，四边形，五边形的广场各角修建半径为修建半径为R的扇形草坪（图中阴影部分）的扇形草坪（图中阴影部分） （1）图）图中草坪的面积为中草坪的面积为_; （2）图）图中草坪的面积为中草坪的面积为_; （3）图）图中草坪的面积为中草坪的面积为_; （4）如果多边形的边数为）如果多边形的边数为n，其余条件不变，那么，你认，其余条件不变，那么，你认为草坪的面积为为草坪的面积为_ 如图所示，如图所示，OAB和和OCD称为称为“对顶三角形对顶三角形”，其中，其中AB=CD利用这个结论，完成以下各题利用这个结论，完成以下各题ABOCD专题：求多个分散角的和专题：求多个分散角的和你能说出理由吗？你能说出理由吗？1、ABCDE_180EODCBA2、ABCDEF_360FEDCBAGFEDCBA3.ABCDEF .5404、ABCDEF_360FAEBCD5.ABCDEF+ G _540FDCBAGE6.ABCDEFGH .360GFEDCBAH7、ABCDEF .ADECFB360 0NPM8、 CAD+ B+ C+ D+ E的度数的度数CDEBAABCDEABCDE1809、求、求ABCDEFG度数。度数。540OAGFEDCB10、求、求ABCDEF度数。度数。AFEDCB11、求、求ABCDEFG度数。度数。ABCDEFG专题：探究规律专题：探究规律1填表：用长度相等的火柴棒拼成如图所示的图形填表：用长度相等的火柴棒拼成如图所示的图形三角形的个数三角形的个数12345n所有火柴的根数所有火柴的根数3579112n+12.如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20(即n20)根时，需要的火柴棍数为_根6303填表：用长度相等的火柴棒拼成如图所示的图形填表：用长度相等的火柴棒拼成如图所示的图形三角形的个数三角形的个数12345n图形周形周长34567n+24.如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆n根时每边上火柴根数12345n小三角形的个数14916图形周长3691225153n5.如图，图如图，图(1)中互不重叠的三角形共有中互不重叠的三角形共有4个，图个，图(2)中互不重中互不重叠的三角形共有叠的三角形共有7个，图个，图(3)中互不重叠的三角形共有中互不重叠的三角形共有10个个则在第则在第(n)个图中，互不重叠的三角形共有个图中，互不重叠的三角形共有_个。个。图图(1) 图图(2) 图图(3)3n+16.在平面内，分在平面内，分别用用3根、根、5根、根、6根根火柴首尾依次火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如，列表如下所示：下所示：问：（：（1）4根火柴能拾成三角形根火柴能拾成三角形吗？（2）8根、根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它并画出它们的示意的示意图（1）4根火柴不能搭成根火柴不能搭成三角形；三角形； （2）8根火柴能搭成一根火柴能搭成一种三角形（种三角形（3，3，2）；）； 12根火柴能搭成三种不根火柴能搭成三种不同三角形（同三角形（4，4，4；5，5，2；3，4，5） 7.观察图和所给表格中的数据后回答：梯形个数1234图形周长581114当梯形的个数为n时，图形周长为（ ） A.3n B.3n+1 C.3n+2 D.3n+3211122111122111211C_ ( 3 )_ ( 2 )_ ( 1 )B_ A_ C_ P_ 1_ P_ 1_ C_ A_ B_ P_ 2_ P_ 2_ B_ A_ C_ P_ 1_ P_ 38.阅读材料并填表：在ABC中，有一点P1,当P1,A,B,C没有任何三点在同一条直线上时，可构成三个不重叠的小三角形如图(1).当ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？ABC内点的个数1231002构成不重叠的小三角形的个数35720059.用黑白两种颜色的正六边形地板砖按图所示的规律镶嵌成若干个图案：第四个图案中有白色地板砖_块；第n个图案中有白色地板砖_块.184n+21.已知等腰三角形的两边长分别为10和6， 则三角形的周长为_2.等腰三角形的两边和与差分别为16和8, 则此三角形的周长为_ 3.以线段3、4、x-5为边组成三角形， 那么x的取值范围是_ 22或26286x125.两根木棒长分别为5和7，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，则第三根木棒的取值情况有_种6.等腰三角形的周长为18厘米，若腰长是底边的2倍，则三边的长分别是 、 、_; 7.直角三角形两个锐角平分线的夹角是 .8.ABC中,B=C=2A,则B= ,A=_. 47.2cm 7.2cm 3.6cm9.ABC中已知A:B:C =1:2:3,则是_三角形; 若A+B=C，则此三角形是_三角形。10.（1）直角三角形中，一个锐角是30，则另一个锐角的外角是_。（2）直角三角形的一个锐角是另一个锐角的3倍，这两个锐角分别是_。 （3）三角形的一个外角等于与相邻内角的4倍，等于与它不相邻的一个内角的2倍，则三角形的各角的度数是_.11.11.在在ABCABC中，最大角中，最大角A A是最小角是最小角C C的的3 3倍，倍， 且且A A 与与B B的差等于的差等于B B与与C C 的差，的差， 则则A= A= ，B=B= ，C=_;C=_;12.12.ABCABC中，已知中，已知3A=C3A=C，3B=2C3B=2C， 则则 ABCABC是是 三角形三角形; ;13.13.已知已知ABCABC中中,C=ABC =2A,C=ABC =2A, BD BD是是ACAC边上的高，则边上的高，则DBC=DBC= 。 14.14.如图，已知如图，已知DEDE分别交分别交ABCABC的边的边ABAB、ACAC于于D D、E E，交，交BCBC的延长线于的延长线于F F，B=67B=67O O，ACB=74ACB=740 0，AED=48AED=480 0，则则BDF=_BDF=_ABCDEF1、已知一个三角形的三边、已知一个三角形的三边长为长为3、8、x, ,则则x 的取值范的取值范围是围是 。2、已知一个三角形的三边、已知一个三角形的三边长长3、a+2、8，则，则a的取值的取值范围是范围是 。5x113a93、等腰三角形一边的长是、等腰三角形一边的长是 另一边的长是另一边的长是8，则它的周，则它的周长是长是 。18或或21195 34、一个三角形的两边长分别、一个三角形的两边长分别是是 和和 ,第三边的长为奇第三边的长为奇数数,则第三边的长为则第三边的长为_ .6、同上题图，若、同上题图，若ACD的面积为的面积为 ，则，则ABC的面积为的面积为 . 5、如图，已知：、如图，已知：AD是是ABC的中线，的中线，ABC的面积为的面积为 ,则则ABD的面积是的面积是 .ABCD50cm225cm280cm240cm260cm2120cm230cm260cm27、如图，在、如图，在ABC中，中，CE，BF是两条高，若是两条高，若A= ，BCE= ，则，则EBF的度数的度数是是 ，FBC的度的度数是数是 .2520403050652540207040ABCEF1 2 32 3 4A=380，B=730 ， C= B=400，AC=3 4 C= 10、若三角形三个内角的度数、若三角形三个内角的度数之比为之比为 ，则这三个内角，则这三个内角的度数分别是的度数分别是_.1 3 6180、540、1080300、600、900400、600、80011、在、在ABC中，根据下列条中，根据下列条件，求件，求C的度数的度数.690ABBC，A=350 C=550800