第四章 因式分解九江市同文中学 贾朝霞2 提公因式法（一）一、因式分解的概念 把一个多项式化为几把一个多项式化为几个整式的积的形式个整式的积的形式, ,这种这种变形叫做把这个多项式变形叫做把这个多项式分分解因式解因式. .二、整式乘法与分解因式之间的关系互为逆运算互为逆运算计算：问：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？ 解：解： 如图：两个长和宽分别为如图：两个长和宽分别为a和和m，b和和m的长方形，合并成一个较大的的长方形，合并成一个较大的长方形，求这个新长方形的面积长方形，求这个新长方形的面积？认真观察等式两边各有什么特点？认真观察等式两边各有什么特点？多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式公因式多项式 ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式 x +4x呢？多项式mb +nbb呢？ 中各项的公因式是什么？ 多项式你能尝试将多项式因式分解吗？ 多项式 中各项的公因式是什么？你认为怎样确定一个多项式的公因式？结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数； （2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分； （3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式 例例: 找找 2 x 2 + 6 x 的公因式。的公因式。定系数定系数2定字母定字母x 定指数定指数23所以，公因式是所以，公因式是 2 x22 X + 6 x = 2 X 1+ 2 X2 3 x= 2 X2 (1 +3 X)232 如果一个多项式的各项含有公因式，那么如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做方法叫做提公因式法。提公因式法。2 X + 6 x = 2 X (1 +3 X)232 （1）把）把 3a2-9ab分解因式分解因式.温馨提示温馨提示分两步分两步第一步，找出公因式；第一步，找出公因式；第二步，提取公因式第二步，提取公因式 ，(即将多项式化为两个因式即将多项式化为两个因式的乘积的乘积)例例1解：解：原式原式 =3aa-3a3b =3a(a-3b) 例2 把 9x2 6xy+ +3xz 分解因式.=3x3x - 3x2y + 3xz 解：解：=3x (3x-2y+z)9x2 6 x y + 3x z 例例3（2）把）把 -24x3 12x2 +28x 分解因式分解因式.当多项式第一项系当多项式第一项系数是负数，通常先数是负数，通常先提出提出“-”号，使号，使括号内第一项系数括号内第一项系数变为正数，注意括变为正数，注意括号内各项都要变号。号内各项都要变号。解：原式解：原式=小颖解的有误吗？小颖解的有误吗？把把 8 a 3 b2 12ab 3 c + ab分解因式分解因式.解：解：8 a3b2 12ab3c + ab= ab8a2b - ab12b2 c +ab1= ab(8a2b - 12b2c) 当多项式的某一项和当多项式的某一项和公因式相同时，提公因公因式相同时，提公因式后剩余的项是式后剩余的项是1 1。错误错误提公因式法分解因式提公因式法分解因式正确的找出多项式各项的公因式。正确的找出多项式各项的公因式。注意：注意：1 1 多项式是多项式是几项几项，提公因式后也剩，提公因式后也剩几项几项。2 2 当多项式的某一项和公因式相同时提公当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是因式后剩余的项是1 1。3 3、当多项式、当多项式第一项系数第一项系数是负数，通常是负数，通常先提先提出出“- -”号，使括号内第一项系数变为正数，号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。注意括号内各项都要变号。 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：看你能否过关？看你能否过关？a 提公因式法分解因式与单项式提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？乘多项式有什么关系？提公因式法与单项式乘多项是提公因式法与单项式乘多项是互为逆运算关系互为逆运算关系2 2、确定公因式的方法：确定公因式的方法：小结与反思小结与反思3 3、提公因式法分解因式：提公因式法分解因式：1、什么叫因式分解？什么叫因式分解？第一步，找出公因式；第一步，找出公因式；第二步，提公因式（第二步，提公因式（ 把多项式化为把多项式化为两个因式的乘积）两个因式的乘积）1)1)定系数定系数 2)2)定字母定字母 3)3)定指数定指数1、 多项式是多项式是几项几项，提公因式后也剩，提公因式后也剩几项几项。2 、当多项式的某一项和公因式相同时提、当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是公因式后剩余的项是1。3、当多项式、当多项式第一项系数第一项系数是负数，通常是负数，通常先提先提出出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。注意括号内各项都要变号。4、用提公因式法分解因式应注意的问题：、用提公因式法分解因式应注意的问题：1、习题、习题4.2 1,2,3题题小小数学家小小数学家 今年是今年是2006年，这儿有一年，这儿有一道与道与2005有关的计算题。已知有关的计算题。已知x3+x2+x+1=0，求求1+x+x2+x3+ +x2006的值。聪明的同学，你能得到这个的值。聪明的同学，你能得到这个计算结果吗？（计算结果吗？（课余探索课余探索） 2. 思考：思考： 公因式可能是多项式吗？如果公因式可能是多项式吗？如果可能，那又当如何分解因式呢？举可能，那又当如何分解因式呢？举例并尝试。例并尝试。祝同学们：祝同学们：天天快乐，天天快乐，学业有成。学业有成。