教学目标1、了解反证法的概念。 2、理解反证法证明命题题的基本方法。3、培养用反证法简单推理的技能。14.1.3反反 证证 法法简阳市石桥镇海井九义校简阳市石桥镇海井九义校张宗盛张宗盛复习复习1.1.直接证明的两种基本证法：直接证明的两种基本证法：综合法和分析法综合法和分析法2.2.这两种基本证法的推证过程和特点：这两种基本证法的推证过程和特点：由因由因导果导果: :看条件，想性质（由已知，看可知，推未知）看条件，想性质（由已知，看可知，推未知）执果索因执果索因看结论，想判定（执未知，看需知，靠已知）看结论，想判定（执未知，看需知，靠已知）3 3、在实际解题时，两种方法如何运用？、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法通常用分析法寻求证明思路寻求证明思路，再由综合法，再由综合法书写证书写证明过程明过程综合法综合法已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 从前有个聪明的孩子叫王戎。从前有个聪明的孩子叫王戎。他他7岁时岁时,与小伙伴们外出游玩与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子小伙伴们纷纷去摘取果子,只有只有王戎站在原地不动王戎站在原地不动.有人问王戎为什么，有人问王戎为什么，王戎回答说王戎回答说:“树在道边而多子树在道边而多子,此必苦李此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法他运用了怎样的推理方法?王戎王戎推理方法是推理方法是:假设假设“李子甜李子甜”树在道边则李子少树在道边则李子少与已知条件与已知条件“树在道边而多子树在道边而多子”产生矛产生矛盾盾假设假设 “李子甜李子甜”不成立不成立所以所以“树在道边而多子树在道边而多子,此必为苦李此必为苦李” 是正确的是正确的 例例: :小华睡觉前，地上是干的，早晨起小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上来，看见地上全湿全湿了。小华对婷婷说：了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。昨天晚上下雨了。”您能对小华的判断说出理由吗？您能对小华的判断说出理由吗？ 假设昨天晚上没有下雨，那么地上应假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。以说昨晚下雨是正确的。（1 1）如果有）如果有5 5只只鸽子飞进鸽子飞进两只鸽笼两只鸽笼，至少，至少有有3 3只鸽子在同一只鸽笼，对吗？只鸽子在同一只鸽笼，对吗？（2 2）A A、B B、C C三个人，三个人，A A说说B B撒谎，撒谎，B B说说C C撒谎，撒谎，C C 说说A A、B B都撒谎。则都撒谎。则C C在撒谎吗？为什么？在撒谎吗？为什么？分析分析: :假设假设C C没有撒谎没有撒谎, , 则则A A、B B都撒谎都撒谎. . 由由A A撒谎撒谎, , 知知B B没有没有撒谎撒谎. . 那么那么假设假设C C没有撒谎不成立没有撒谎不成立, , 则则C C必定是在撒谎必定是在撒谎. .这与这与B B撒谎矛盾撒谎矛盾. .思考思考？理论理论 把这种不是直接从原命题的条件逐步把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为推得命题成立的证明方法称为间接证明间接证明注：反证法注：反证法是最常见的是最常见的间接证法间接证法， 同一法同一法也是一种间接证法也是一种间接证法( (现行教材不作要求现行教材不作要求).).反证法的证明过程：反证法的证明过程：否定结论否定结论推理论证推理论证得出矛盾得出矛盾肯定结论，肯定结论，即分三个步骤：即分三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真反设反设假设命题的结论不成立；假设命题的结论不成立；存真存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而由矛盾结果，断定反设不成立，从而 肯定原结论成立。肯定原结论成立。归谬归谬从假设出发，经过一系列正确的推理，从假设出发，经过一系列正确的推理， 得出得出矛盾（矛盾（核心步骤核心步骤）；用用反证法证明命题的过程用框图表示为：反证法证明命题的过程用框图表示为： 肯定条件肯定条件否定结论否定结论导导 致致逻辑矛盾逻辑矛盾反设反设 不成立不成立结论结论成立成立 反证法：定理的证明，不是直接从反证法：定理的证明，不是直接从题设推出结论，而是先提出与结论相反的假设，然后从结论的反面出发,推导出和已经证明的定理或公理、定义、题设等相矛盾的结果，,从而说明从而说明假设是错误的是错误的，进而证明原命题结论成立进而证明原命题结论成立, ,这种间接证明命题的方法叫这种间接证明命题的方法叫反证法反证法（归（归谬法）谬法） 。1、写出下列各结论的反面（并写出由此可能产生的情况）：、写出下列各结论的反面（并写出由此可能产生的情况）：（1）a/b（2）a0（3）b是正数是正数（4）ab ( 5 ) 至多有一个至多有一个（6）至少有三个）至少有三个 ( 7 ) 至少有一个至少有一个 ( 8 ) 至少有至少有n个个 （9）ab （10）ab a00, , ab+ +bc+ +ca0, 0, abc0.0.求证求证: : a, ,b, ,c00证明证明: : 假设假设c0, 0, 0, ab0.0.ab+bc+ca=ab+(a+b)c00. . 矛盾矛盾! !假设不成立假设不成立. .例例1 1用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么注：注：直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。补充补充例题例题发生在身边的例子发生在身边的例子:妈妈妈妈:小华小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅游听说邻居小芳全家这几天在外地旅游.小华小华:不可能不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢呢!上述对话中上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么小华要告诉妈妈的命题是什么?他是如何推断该命题的正确性的他是如何推断该命题的正确性的?在你的日常生活中也有类似的例子吗在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一请举一至两个例子至两个例子.小芳全家没外出旅游小芳全家没外出旅游.（1）直接证明有困难）直接证明有困难（正难则反）（正难则反）：联系不明显，线索不清晰联系不明显，线索不清晰归纳总结归纳总结哪些命题适宜用反证法加以证明？哪些命题适宜用反证法加以证明？牛顿曾经说过：牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一反证法是数学家最精当的武器之一” ” （3）唯一性命题）唯一性命题（2）否定性命题）否定性命题（4）至多，至少型命题：从正面入手需要分成多种情）至多，至少型命题：从正面入手需要分成多种情形进行讨论，而从反面证明，只要研究一种或很少的几形进行讨论，而从反面证明，只要研究一种或很少的几种情形种情形.（5）解决整除性问题；）解决整除性问题；（6）一些不等量命题的证明；）一些不等量命题的证明；（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段；（8）涉及各种）涉及各种“无限无限”结论的命题等等。结论的命题等等。常用的互为否定的表述方式：常用的互为否定的表述方式：是是不是；不是； 存在存在不不存在存在平行平行不不平行；垂直平行；垂直不不垂直垂直等于等于不不等于；都是等于；都是不都是不都是（即至少有一个不是即至少有一个不是）大于大于不不大于；大于； 小于小于不不小于小于至少有一个至少有一个一个一个也没有也没有 有有没有没有至少有三个至少有三个至多有至多有两个两个 成立成立不成立不成立至少有至少有n个个至多有至多有(n-1)个个至多至多n n个个-至少至少n+1n+1个个有无穷多个有无穷多个-只有有限多个只有有限多个都有都有不都有，即至少有一个没有不都有，即至少有一个没有都不是都不是部分或全部是，即至少有一个是部分或全部是，即至少有一个是唯一唯一至少有两个至少有两个至少有一个不至少有一个不全部都全部都唐吉诃德悖论 小说唐吉诃德里描写过一个国家它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。问，你来这里做什么？如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 一天，有个旅游者回答旅游者：我来这里是要被绞死。这时，卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。 为了做出决断，旅游者被送到国王那里。苦苦想了好久，国王才说国王：不管我做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。我们还是宽大为怀算了，让这个人自由吧。趣味趣味数学数学(1)(1)用反证法证明命题的用反证法证明命题的一般步骤是什么一般步骤是什么? ? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾, ,与与假设矛盾假设矛盾, ,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等反设反设归谬归谬结论结论(2)(2)用反证法证题用反证法证题, ,矛盾的主要类型有哪些矛盾的主要类型有哪些? ?方法小结方法小结: : 1 1直接证明直接证明: :直接从原命题的条件逐步推得结论成立直接从原命题的条件逐步推得结论成立. .2.2.反证法反证法是一种常用的间接证明方法是一种常用的间接证明方法. .(3)(3)适宜使用反证法的情况适宜使用反证法的情况: : (1)(1)结论以否定形式出现；结论以否定形式出现；(2)(2)结论以结论以“至多至多-,” ,“-,” ,“至少至少-” -” 形式出现；形式出现；(3)(3)唯一性、存在性问题唯一性、存在性问题;(4);(4)结论结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题。的反面比原结论更具体更容易研究的命题。正难则反正难则反! !推推理理与与证证明明推理推理证明证明合情推理合情推理演绎推理（演绎推理（三段论）三段论）直接证明直接证明间接间接证明证明类比推理类比推理归纳推理归纳推理 分析法分析法 综合法综合法反证法反证法知识结构知识结构德国数学家希尔伯特说：禁止数学家使用反反证法证法，就象禁止拳击手使用拳头 同一法同一法 枚举法（枚举法（完全归纳法完全归纳法 ） (1)课本第课本第117页练习页练习1.2 P118第第6题（书上）题（书上）演练反馈演练反馈1 1、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个点为A、B、C、D。考虑点D在之内或之外两种情况。(1)如果点D在之内，根据假设，DABC都为锐角三角形所以这与一个周角为这与一个周角为360矛盾。矛盾。 演练反馈演练反馈1 1、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线，、平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形(1)如果点D在之外，根据假设，ADBC都是锐角三角形，即这与四边形内角和矛盾。这与四边形内角和矛盾。所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。即这些三角形不可能都为锐角三角形。即这些三角形不可能都为锐角三角形。用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求求证：证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.例例 1 1证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分平分，连结连结 AD、BD、BC、AC, DPOBAC因为弦因为弦AB、CD被被P点平分，所以四边形点平分，所以四边形ACBD是平行四边形是平行四边形所以所以因为因为 ABCD为圆内接四边形为圆内接四边形所以所以因此因此所以，对角线所以，对角线AB、CD均为直径，均为直径，这与已知条件矛盾，即假设不成立这与已知条件矛盾，即假设不成立所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。用反证法证明：圆的两条不是直径用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。的相交弦不能互相平分。已知已知：如图，在：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于点交于点P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求求证：证：弦弦AB、CD不被不被P平分平分.POBADC例例 1 1由于由于P点点一定不是圆心一定不是圆心O，连结连结OP，根据垂径定理的推论，有根据垂径定理的推论，有所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，即过点即过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，即假设不成立这与垂线性质矛盾，即假设不成立证法二证法二OPAB，OPCD，