时域离散信号和时域离散系统第 1 章1.4习题与上机题解答习题与上机题解答1. 用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。 题1图时域离散信号和时域离散系统第 1 章解： x(n)=(n+4)+2(n+2)(n+1)+2(n)+(n1)+2(n2)+4(n3)+0.5(n4)+2(n6)2 给定信号： 2n+54n160n40 其它(1) 画出x(n)序列的波形， 标上各序列值； (2) 试用延迟的单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列；(x(n)=时域离散信号和时域离散系统第 1 章（3） 令x1(n)=2x(n2)， 试画出x1(n)波形； （4） 令x2(n)=2x(n+2)， 试画出x2(n)波形； （5） 令x3(n)=x(2n)， 试画出x3(n)波形。 解解： (1) x(n)序列的波形如题2解图（一）所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)时域离散信号和时域离散系统第 1 章（3） x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（二）所示。 (4) x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位， 再乘以2， 画出图形如题2解图（三）所示。 (5) 画x3(n)时， 先画x(n)的波形(即将x(n)的波形以纵轴为中心翻转180)， 然后再右移2位， x3(n)波形如题2解图（四）所示。 时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（一）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（二）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（三）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题2解图（四）时域离散信号和时域离散系统第 1 章3 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 (1)(2)解解： （1） 因为=, 所以, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T=14。（2） 因为=, 所以=16, 这是无理数， 因此是非周期序列。时域离散信号和时域离散系统第 1 章4 对题1图给出的x(n)要求： (1) 画出x(n)的波形； (2) 计算xe(n)=x(n)+x(n)， 并画出xe(n)波形； (3) 计算xo(n)= x(n)x(n)， 并画出xo(n)波形; (4) 令x1(n)=xe(n)+xo(n), 将x1(n)与x(n)进行比较， 你能得到什么结论？时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解：（1） x(n)的波形如题4解图（一）所示。(2) 将x(n)与x(n)的波形对应相加， 再除以2， 得到xe(n)。 毫无疑问， 这是一个偶对称序列。 xe(n)的波形如题4解图（二）所示。 (3) 画出xo(n)的波形如题4解图（三）所示。时域离散信号和时域离散系统第 1 章题4解图（一）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题4解图（二）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题4解图（三）时域离散信号和时域离散系统第 1 章(4) 很容易证明： x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式说明实序列可以分解成偶对称序列和奇对称序列。 偶对称序列可以用题中(2)的公式计算， 奇对称序列可以用题中(3)的公式计算。 5 设系统分别用下面的差分方程描述， x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出， 判断系统是否是线性非时变的。 （1）y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) （2）y(n)=2x(n)+3 （3）y(n)=x(nn0)n0为整常数 （4）y(n)=x(n)时域离散信号和时域离散系统第 1 章（5）y(n)=x2(n) （6）y(n)=x(n2) （7）y(n)= （8）y(n)=x(n)sin(n)解解： （1） 令输入为x(nn0)输出为 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n)时域离散信号和时域离散系统第 1 章故该系统是非时变系统。 因为 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（2） 令输入为x(nn0)输出为y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故该系统是非时变的。 由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故该系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为x(nn1)输出为y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延时器是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延时器是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章(4) y(n)=x(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系统是线性系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)因此系统是非时变系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（5） y(n)=x2(n)令输入为 x(nn0)输出为y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系统是非时变系统。 由于 Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n)因此系统是非线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（6） y(n)=x(n2)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n)故系统是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（7） y(n)=x(m)令输入为x(nn0)输出为 y(n)=0DD)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系统是时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章（8） y(n)=x(n) sin(n)令输入为x(nn0)输出为y(n)=x(nn0) sin(n)y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n)故系统不是非时变系统。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系统是线性系统。时域离散信号和时域离散系统第 1 章6 给定下述系统的差分方程， 试判定系统是否是因果稳定系统， 并说明理由。 （1） y(n)=x(nk) （2） y(n)=x(n)+x(n+1) （3） y(n)= x(k) （4） y(n)=x(nn0) （5） y(n)=ex(n)时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解：（1）只要N1， 该系统就是因果系统， 因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入有关。 如果|x(n)|M， 则|y(n)|M， 因此系统是稳定系统。（2） 该系统是非因果系统， 因为n时间的输出还和n时间以后（n+1）时间）的输入有关。如果|x(n)|M, 则|y(n)|x(n)|+|x(n+1)|2M, 因此系统是稳定系统。（3） 如果|x(n)|M， 则|y(n)|x(k)|2n0+1|M， 因此系统是稳定的； 假设n00， 系统是非因果的， 因为输出还和x(n)的将来值有关。 时域离散信号和时域离散系统第 1 章（4）假设n00， 系统是因果系统， 因为n时刻输出只和n时刻以后的输入有关。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|M， 因此系统是稳定的。（5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果|x(n)|M, 则|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM， 因此系统是稳定的。7 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示， 要求画出y(n)输出的波形。解解： 解法（一）采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm)时域离散信号和时域离散系统第 1 章题7图时域离散信号和时域离散系统第 1 章y(n)=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5时域离散信号和时域离散系统第 1 章解法（二）采用解析法。 按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式分别为x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+ (n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故时域离散信号和时域离散系统第 1 章y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+x(n2)将x(n)的表示式代入上式， 得到 y(n)=2(n+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5)时域离散信号和时域离散系统第 1 章8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况， 分别求出输出y(n)。 （1） h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)（2） h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2)（3） h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)解解： （1） y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm) 先确定求和域。 由R4(m)和R5(nm)确定y（n）对于m的非零区间如下:0m34mn时域离散信号和时域离散系统第 1 章根据非零区间， 将n分成四种情况求解： n7时， y(n)=0时域离散信号和时域离散系统第 1 章最后结果为 0 n7 n+1 0n3 8n4n7y(n)的波形如题8解图（一）所示。 (2) y(n) =2R4(n)*(n)(n2)=2R4(n)2R4(n2) =2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如题8解图（二）所示y(n)=时域离散信号和时域离散系统第 1 章题8解图（一）时域离散信号和时域离散系统第 1 章题8解图（二）时域离散信号和时域离散系统第 1 章(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu(nm)y（n）对于m 的非零区间为 0m4, mn n0时， y(n)=0 0n4时， 时域离散信号和时域离散系统第 1 章=(10.5n1)0.5n=20.5n n5时最后写成统一表达式： y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5)时域离散信号和时域离散系统第 1 章9 证明线性卷积服从交换律、 结合律和分配律， 即证明下面等式成立： （1） x(n)*h(n)=h(n)*x(n)（2） x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)（3） x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)证明： （1） 因为令m=nm, 则时域离散信号和时域离散系统第 1 章(2) 利用上面已证明的结果， 得到时域离散信号和时域离散系统第 1 章交换求和号的次序， 得到时域离散信号和时域离散系统第 1 章10 设系统的单位脉冲响应h(n)=(3/8)0.5nu(n)， 系统的输入x(n)是一些观测数据， 设x(n)=x0, x1, x2, , xk, ， 试利用递推法求系统的输出y(n)。 递推时设系统初始状态为零状态。时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解：n=0时， n0n=1时， 时域离散信号和时域离散系统第 1 章n=2时， 最后得到11 设系统由下面差分方程描述： 设系统是因果的， 利用递推法求系统的单位脉冲响应。时域离散信号和时域离散系统第 1 章解解： 令x(n)=(n), 则n=0时， n=1时， 时域离散信号和时域离散系统第 1 章n=2时， n=3时， 归纳起来， 结果为时域离散信号和时域离散系统第 1 章12. 设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述， 初始条件y(-1)=0， 试分析该系统是否是线性非时变系统。 解解： 分析的方法是让系统输入分别为(n)、 (n1)、 (n)+(n1)时， 求它的输出， 再检查是否满足线性叠加原理和非时变性。 （1） 令x(n)=(n), 这时系统的输出用y1(n)表示。该情况在教材例1.4.1 中已求出， 系统的输出为y1(n)=anu(n)时域离散信号和时域离散系统第 1 章(2) 令x(n)=(n1)， 这时系统的输出用y2(n)表示。 n=0时， n=1时， n=2时， 任意 n 时， 时域离散信号和时域离散系统第 1 章最后得到(3) 令x(n)=(n)+(n1), 系统的输出用y3(n)表示。 n=0时， n=1时， n=2时， 时域离散信号和时域离散系统第 1 章n=3时， 任意 n 时， 最后得到时域离散信号和时域离散系统第 1 章由（1）和（2）得到y1(n)=T(n), y2(n)=T(n1)y1(n)=y2(n1)因此可断言这是一个时不变系统。 情况（3）的输入信号是情况（1）和情况（2）输入信号的相加信号， 因此y3(n)=T(n)+(n1)。 观察y1(n)、 y2(n)、 y3(n)， 得到y3(n)=y1(n)+y2(n)， 因此该系统是线性系统。 最后得到结论： 用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n), 0a1描写的系统， 当初始条件为零时， 是一个线性时不变系统。 时域离散信号和时域离散系统第 1 章13 有一连续信号xa(t)=cos(2ft+j)， 式中， f=20 Hz, j=/2。（1） 求出xa(t)的周期；（2） 用采样间隔T=0.02 s对xa(t)进行采样， 试写出采样信号 的表达式；（3） 画出对应 的时域离散信号（序列）x(n)的波形， 并求出x(n)的周期。 解解： （1） xa(t)的周期为时域离散信号和时域离散系统第 1 章（2）（3） x(n)的数字频率=0.8， 故， 因而周期N=5， 所以 x(n)=cos(0.8n+/2)画出其波形如题13解图所示。时域离散信号和时域离散系统第 1 章题13解图时域离散信号和时域离散系统第 1 章14. 已知滑动平均滤波器的差分方程为（1） 求出该滤波器的单位脉冲响应；（2） 如果输入信号波形如前面例1.3.4的图1.3.1所示， 试求出y(n)并画出它的波形。解： （1） 将题中差分方程中的x(n)用(n)代替， 得到该滤波器的单位脉冲响应， 即时域离散信号和时域离散系统第 1 章（2） 已知输入信号， 用卷积法求输出。 输出信号y(n)为表1.4.1表示了用列表法解卷积的过程。 计算时， 表中x(k)不动， h(k)反转后变成h(k)， h(nk)则随着n的加大向右滑动， 每滑动一次， 将h(nk)和x(k)对应相乘， 再相加和平均， 得到相应的y(n)。 “滑动平均”清楚地表明了这种计算过程。 最后得到的输出波形如前面图1.3.2所示。 该图清楚地说明滑动平均滤波器可以消除信号中的快速变化， 使波形变化缓慢。 时域离散信号和时域离散系统第 1 章