专题提升专题提升( (十三十三) ) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明以圆为背景的相似三角形的计算与证明【教材原型教材原型】如图如图Z131，DB为半圆的直径，为半圆的直径，A为为BD延长线上的一点，延长线上的一点，AC切半圆于点切半圆于点E，BCAC于点于点C，交半圆于点，交半圆于点F.已已知知AC12，BC9，求，求AO的长的长(浙教版九下浙教版九下P44作业题第作业题第5题题)图图Z131教材原型答图教材原型答图【思想方法思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长的长【中考变形中考变形】12015贵州贵州如图如图Z132，在，在RtACB中，中，ACB90，点，点O是是AC边上的边上的一点，以一点，以O为圆心，为圆心，OC为半径的圆与为半径的圆与AB相切于点相切于点D，连结，连结OD.(1)求证：求证：ADOACB；(2)若若 O的半径为的半径为1，求证：，求证：ACADBC.证明证明：(1)AB是是 O的切线，的切线，ODAB，CADO90，AA，ADOACB；图图Z13222014枣庄枣庄如图如图Z133，A为为 O外一外一点，点，AB切切 O于点于点B，AO交交 O于于C，CDOB于于E，交，交 O于点于点D，连结，连结OD，若若AB12，AC8. (1)求求OD的长；的长；(2)求求CD的长的长图图Z13332015怀化怀化如图如图Z134，在，在RtABC中，中，ACB90，E是是BC的中点，以的中点，以AC为为直径的直径的 O与与AB边交于点边交于点D，连结，连结DE.(1)求证：求证：ABCCBD；(2)求证：直线求证：直线DE是是 O的切线的切线证明证明：(1)AC为为 O的直径，的直径，ADC90，BDC90，又又ACB90，ACBBDC，又，又BB，ABCCBD；图图Z134(2)连结连结DO，如答图，如答图，BDC90，E为为BC的中点，的中点，DECEBE，EDCECD，又又ODOC，ODCOCD，而而OCDDCEACB90，EDCODC90，即，即EDO90，DEOD，DE与与 O相切相切中考变形中考变形3答图答图4如图如图Z135，已知，已知AB是是 O的直径，的直径，BCAB，连结，连结OC，弦，弦ADOC，直线，直线CD交交BA的延长线于点的延长线于点E.(1)求证：直线求证：直线CD是是 O的切线；的切线；(2)若若DE2BC，求，求AD OC的值的值解解：(1)证明：如答图，连结证明：如答图，连结DO.ADOC，DAOCOB，ADOCOD.OAOD，DAOADO，CODCOB.又又COCO，ODOB，CODCOB，CDOCBO90，即，即ODCD.又又点点D在在 O上，上，直线直线CD是是 O的切线；的切线；图图Z135中考变形中考变形4答图答图52014东营东营如图如图Z136，AB是是 O的的直径，直径，OD垂直于弦垂直于弦AC于点于点E，且交，且交 O于点于点D.F是为是为BA延长线上一点，延长线上一点，若若CDBBFD.(1)求证：求证：FD是是 O的一条切线；的一条切线；(2)若若AB10，AC8，求，求DF的长的长解解：(1)证明：证明：CDBBFD， CDBCAB，BFDCAB，FDAC，图图Z136OD垂直于弦垂直于弦AC，ODFD，FD是圆是圆O的一条切线；的一条切线；(2)AB是是 O的直径，的直径，AB10，ACB90，半径，半径OAOBOD5，在在RtABC中，中，AB10，AC8，由勾股定理得由勾股定理得BC6，62015湖北改编湖北改编如图如图Z137，AB是是 O的直径，点的直径，点C为为 O上一点，上一点，AE和过点和过点C的切线互相垂直，垂足为的切线互相垂直，垂足为E，AE交交 O于点于点D，直线，直线EC交交AB的延长线于点的延长线于点P，连结连结AC，BC，PB PC1 2.(1)求证：求证：AC平分平分BAD；(2)探究线段探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由之间的数量关系，并说明理由解解：(1)证明：如答图，连结证明：如答图，连结OC，PE是是 O的切线，的切线，OCPE，AEPE，OCAE，DACOCA，图图Z137OAOC，OCAOAC，DACOAC，AC平分平分BAD；(2)线段线段PB，AB之间的数量关系为之间的数量关系为AB3PB.理由：理由：AB是是 O的直径，的直径，ACB90，BACABC90，OBOC，OCBABC，PCBOCB90，PCBPAC，P是公共角，是公共角，PCBPAC，中考变形中考变形6答图答图72014达州达州如图如图Z138，直线，直线PQ与与 O相交于点相交于点A，B，BC是是 O的直径，的直径，BD平平分分CBQ交交 O于点于点D，过点，过点D作作DEPQ，垂足为垂足为E.(1)求证：求证：DE与与 O相切；相切；(2)连结连结AD，已知，已知BC10，BE2，求，求sinBAD的值的值解解：(1)证明：连结证明：连结OD，如答图，如答图，BD平分平分CBQ交交 O于点于点D，CBDQBD，OBOD，OBDODB，图图Z138ODBQBD，ODBQ，DEPQ，ODDE，DE与与 O相切；相切；(2)如答图，连结如答图，连结CD，BC是是 O的直径，的直径，BDC90，DEAB，BED90，CBDQBD，RtBCDBDE，中考变形中考变形7答图答图82014遂宁遂宁已知：如图已知：如图Z139， O的直的直径径AB垂直于弦垂直于弦CD，过点，过点C的切线与直径的切线与直径AB的延长线相交于点的延长线相交于点P，连结，连结PD.(1)求证：求证：PD是是 O的切线；的切线；(2)求证：求证：PD2PBPA；解解：(1)证明：连结证明：连结OD，OC，PC是是 O的切线，的切线，OCPC，OCP90.直径直径ABCD，O，P是是CD垂直平分线上的点，垂直平分线上的点，图图Z139中考变形中考变形8答图答图ODOC，PDPC，OPOP，ODPOCP，ODPOCP90，PD是是 O的切线；的切线；(2)PD是是 O的切线，的切线，PDBA，又又DPBAPD，DPBAPD，PD PAPB PD，PD2PBPA；AD2BD，DPBAPD，PD PAPB PDBD DA1 2，又又PD4，PA8，PB2，AB6.【中考预测中考预测】如图如图Z1310，在，在ABC中，中，ABC90，边边AC的垂直平分线的垂直平分线DE交交BC于点于点D，交，交AC于于点点E，连结，连结BE.(1)若若C30，求证：，求证：BE是是DEC外接外接圆的切线；圆的切线；解解：(1)如答图，取如答图，取CD的中点的中点O，连结，连结OE.点点E为为RtABC斜边斜边AC的中点，的中点，AABE90C903060.图图Z1310中考预测答图中考预测答图OEOC，OECC30.BEO180AEBOEC90，即即BEOE.又又OE为为 O的半径，的半径，BE是是DEC外接圆的切线；外接圆的切线；(2)设设CD的长为的长为x，则，则BCx1.