第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分前言前言 这部分知识在一元函数微积分的基础上扩充到多元函数这部分知识在一元函数微积分的基础上扩充到多元函数微积分，说是多元，实际上也只是针对二元函数进行研究。微积分，说是多元，实际上也只是针对二元函数进行研究。有了前面的基础，这部分内容是可以自学的，但还是有些难有了前面的基础，这部分内容是可以自学的，但还是有些难度的。不过我们从历年的试卷中不难发现，试题的形式和难度的。不过我们从历年的试卷中不难发现，试题的形式和难度还是比较固定的，一般来说会出现三种题型：度还是比较固定的，一般来说会出现三种题型： 一是考查对多元函数求偏导；一是考查对多元函数求偏导； 二是考查考查对抽象复合函数求偏导；二是考查考查对抽象复合函数求偏导； 三是考查二重积分的计算。三是考查二重积分的计算。 这三种题型归根结底还是对一元函数求导或求积分，因这三种题型归根结底还是对一元函数求导或求积分，因此，同学们在学习这部分知识的时候更多地要注重解题和实此，同学们在学习这部分知识的时候更多地要注重解题和实际应用，对于一些概念和定理的理解可以暂时地回避，也就际应用，对于一些概念和定理的理解可以暂时地回避，也就是说，首先要记住一些结论和公式，找到解题的规律！是说，首先要记住一些结论和公式，找到解题的规律！第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分1 多元函数微分学多元函数微分学 一、多元函数的概念一、多元函数的概念 人们在实践中，还会遇到许多依赖与两个或两个以上自变人们在实践中，还会遇到许多依赖与两个或两个以上自变量的函数，称这种函数为多元函数。量的函数，称这种函数为多元函数。圆柱体的体积圆柱体的体积定量理想气体的压强定量理想气体的压强例如：例如：1.二元函数的定义二元函数的定义 第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分2.二元函数的定义域二元函数的定义域 一元函数的定义域是数轴上的一元函数的定义域是数轴上的区间区间，对于二元函数，它的，对于二元函数，它的定义域是平面上的定义域是平面上的点集点集，我们把它叫做，我们把它叫做区域区域，一般来说，区域，一般来说，区域就是平面上一条或几条光滑曲线所围成平面图形就是平面上一条或几条光滑曲线所围成平面图形. 围成区域的曲线称为区域的围成区域的曲线称为区域的边界边界，边界上的点称为，边界上的点称为边界点边界点，包括边界在内的区域称为包括边界在内的区域称为闭区域闭区域，不包括边界在内的区域称为，不包括边界在内的区域称为开开区域区域 开区域开区域闭区域闭区域第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分 二元函数定义域的求法与一元函数类似，就是找使函数有二元函数定义域的求法与一元函数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围意义的自变量的范围. 例例1 求函数求函数 的定义域的定义域解：解： 该函数定义域应满足该函数定义域应满足即即所以定义域为所以定义域为O 2 2 2 a y x = + y xaa 如图，这样的区域俗称如图，这样的区域俗称圆域圆域11-1-111-1-1如图，这样的区域俗称如图，这样的区域俗称矩形域矩形域第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分例例2 求函数求函数 的定义域的定义域解：解： 该函数定义域应满足该函数定义域应满足即即所以定义域为所以定义域为如图，这样的区域俗称如图，这样的区域俗称环域环域第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分3.二元函数的图像二元函数的图像 由空间解析几何知识可知，对于二元函数由空间解析几何知识可知，对于二元函数 的图的图形，一般地，它表示一曲面形，一般地，它表示一曲面.11-11第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分4.二元函数的极限与连续性二元函数的极限与连续性极限极限注：二元函数极限的计算不同与一元函数极限的计算，考试注：二元函数极限的计算不同与一元函数极限的计算，考试 一般一般不单独出题不单独出题，即使出现，也只有两种题型，一种是，即使出现，也只有两种题型，一种是 “直接带入直接带入”，一种是变量代换。，一种是变量代换。第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分例例3 求极限求极限直接代入直接代入 得得解：解： 令令 ，则原极限变成，则原极限变成例例4 求极限求极限解：解： 这里就不能直接带入这里就不能直接带入 否则会产生不定式否则会产生不定式第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分连续性连续性注：类似的，我们也可以定义二元函数间断点的概念注：类似的，我们也可以定义二元函数间断点的概念二、偏导数与全微分二、偏导数与全微分 第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分1.偏导数的定义偏导数的定义第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分注：符号注：符号“ ”的读法有很多种，因为它像一个圆，有时候的读法有很多种，因为它像一个圆，有时候读作读作“round”，音译过来就是，音译过来就是“若母达若母达”；又因为偏导数的；又因为偏导数的英文是英文是“partial derivative”，所以又读作，所以又读作“帕修帕修”；我们这；我们这里可以简单地读作里可以简单地读作“偏偏”，比如，比如“偏偏x”、“偏偏y”。第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分2.偏导数的求法偏导数的求法注：偏导数的符号是一个整体，与注：偏导数的符号是一个整体，与 导数导数 有所区别，不是商！有所区别，不是商！第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分解：解： 例例1 求求 在点在点 处的偏导数处的偏导数把把 看作常量，得看作常量，得把把 看作常量，得看作常量，得代入代入 得得注：注：一个二元函数的偏导数如果不特别说明是关于哪个变量一个二元函数的偏导数如果不特别说明是关于哪个变量的偏导数，应该有两个；如果是三元函数，同样可以把前面偏的偏导数，应该有两个；如果是三元函数，同样可以把前面偏导数的定义加以推广，如函数导数的定义加以推广，如函数 ，它有三个偏导数，它有三个偏导数，分别是：分别是：第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分 通过上题，我们还可以发现这样一个规律，就是如果一通过上题，我们还可以发现这样一个规律，就是如果一个函数中的自变量是对称的（即调换它们的位置原函数不发生个函数中的自变量是对称的（即调换它们的位置原函数不发生改变），那么相对于各个变量的偏导数也具有对称性。这样一改变），那么相对于各个变量的偏导数也具有对称性。这样一来，我们只需要求出其中的一个变量的偏导数，另一个变量的来，我们只需要求出其中的一个变量的偏导数，另一个变量的偏导数只需要把上一个变量的偏导数中的变量互换位置即可。偏导数只需要把上一个变量的偏导数中的变量互换位置即可。例如：例如：就不是对称的就不是对称的第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分解：解： 例例2 设设 ，求证：，求证：把把 看作常量，得看作常量，得由对称性可知由对称性可知因此原命题成立因此原命题成立第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分3.高阶偏导数高阶偏导数混合偏导数混合偏导数第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分解：解： 例例3 设设 ，求它的四个二阶偏导数，求它的四个二阶偏导数注：在后面的抽象复合函数求偏导的问题中，我们会利用到注：在后面的抽象复合函数求偏导的问题中，我们会利用到 这个结论，前提是这个结论，前提是“连续连续”，一般题目中会直接给出。，一般题目中会直接给出。第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分4.全微分全微分回顾一元函数的微分：回顾一元函数的微分：对于二元函数也有类似对于二元函数也有类似“微分微分”的概念，只是叫法有所不同的概念，只是叫法有所不同称为函数称为函数 在点在点 处的处的全微分全微分若若则称则称 可微可微若若则称则称 可微可微第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分在一元函数中，可导与可微是等价的，并且有：在一元函数中，可导与可微是等价的，并且有： 可导（可微）一定可导（可微）一定连续，连续不一定可导（可微）连续，连续不一定可导（可微）在二元函数中，没有在二元函数中，没有“可导可导”的概念，但是有偏导数的概念，的概念，但是有偏导数的概念，下面我们给出在二元函数中偏导数，可微，连续之间的关系：下面我们给出在二元函数中偏导数，可微，连续之间的关系：可微可微连续连续偏导数存在偏导数存在偏导数存在且连续偏导数存在且连续可微可微注：由上面的关系可以看出，在二元函数中，偏导数和可微注：由上面的关系可以看出，在二元函数中，偏导数和可微 并不是等价的，而且偏导数存在也推不出连续，这些并不是等价的，而且偏导数存在也推不出连续，这些 都与一元函数不同。都与一元函数不同。偏导数存在偏导数存在可微可微连续连续第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分例例4 设设 ，则，则解：解： 第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分例例5 设设 ，求，求解：解： 这里我们利用这里我们利用“直接取自然对法直接取自然对法”（也可以两边取）（也可以两边取）先变形先变形第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分三、多元函数的求导法则三、多元函数的求导法则 1.多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则基本公式基本公式设设则则例如：例如：令令即即则则第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分公式的推广（联线相乘，分线相加）公式的推广（联线相乘，分线相加）前面的基本公式以及例题中的函数，用树状图表示就是：前面的基本公式以及例题中的函数，用树状图表示就是：第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分注：上述这些公式不管是简单还是复杂，都是可以通过第一个注：上述这些公式不管是简单还是复杂，都是可以通过第一个 基本公式的思想推出来，然而在实际解题过程中，我们遇基本公式的思想推出来，然而在实际解题过程中，我们遇 的多元函数一般来说都是给出了具体的解析式的，即使不的多元函数一般来说都是给出了具体的解析式的，即使不 找出其中的找出其中的 之类的所谓之类的所谓“中间函数中间函数”，我们仍旧可以，我们仍旧可以 按照普通求偏导数的方法来求解。在这里，我们只要做到按照普通求偏导数的方法来求解。在这里，我们只要做到 对对“联线相乘，分线相加联线相乘，分线相加”的思想理解即可，主要还是记住的思想理解即可，主要还是记住 基本公式，而在考试中，重点考查的是抽象复合函数求偏基本公式，而在考试中，重点考查的是抽象复合函数求偏 导数的问题。导数的问题。2.多元抽象复合函数的偏导数多元抽象复合函数的偏导数 我们把没有给出具体解析式的函数称为我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数抽象函数，题目中一，题目中一般给出一些有关函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性、连般给出一些有关函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性、连续或可导等等，这类题可以更加全面地考查学生对基本知识概续或可导等等，这类题可以更加全面地考查学生对基本知识概念的理解和掌握。念的理解和掌握。 前面的一元函数微积分中有很多抽象函数的例子，我们这前面的一元函数微积分中有很多抽象函数的例子，我们这里不再举例了，下面主要学习求多元抽象复合函数的偏导数。里不再举例了，下面主要学习求多元抽象复合函数的偏导数。第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分符号约定：符号约定：设设在这种符号的约定下，复合函数的基本公式变形为：在这种符号的约定下，复合函数的基本公式变形为：如果在上面一阶偏导数的基础上继续求二阶偏导数，结果中就如果在上面一阶偏导数的基础上继续求二阶偏导数，结果中就会出现会出现 这些符号，然后再按照普通的导数四则这些符号，然后再按照普通的导数四则运算法则就可以了。下面我们用具体的例题来说明上述公式的应运算法则就可以了。下面我们用具体的例题来说明上述公式的应用。用。这里的这里的 仍然是含有仍然是含有 的复合函数的复合函数第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分例例1 设设 解：解： 二阶偏导数连续二阶偏导数连续第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分注：这类题是考试中的重点题型，但并不是难点，关键是细心注：这类题是考试中的重点题型，但并不是难点，关键是细心 对上述公式中的符号约定，还可以推广到中间有两个以上对上述公式中的符号约定，还可以推广到中间有两个以上 变量的情况，看下面一个例题变量的情况，看下面一个例题第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分例例2 设设 ，求，求解：解： 还有一些题目，在解析式中某一部分是抽象函数，例如：还有一些题目，在解析式中某一部分是抽象函数，例如：注：这两题都是书上的例题，需要注意一点的是，对于注：这两题都是书上的例题，需要注意一点的是，对于 求偏导的时候，应该写成求偏导的时候，应该写成 ，因为这里只有一个中，因为这里只有一个中 间变量。间变量。第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分3.隐函数的偏导数隐函数的偏导数 在一元函数微分学中，我们已经学习了由在一元函数微分学中，我们已经学习了由 所确定的所确定的隐函数的求导方法（两边同时关于隐函数的求导方法（两边同时关于x或或y求导）求导）现在我们换一种方法，通过多元复合函数的求导法则，求出由现在我们换一种方法，通过多元复合函数的求导法则，求出由 所确定的隐函数的导数所确定的隐函数的导数对方程对方程 两边同时关于两边同时关于x求偏导，得求偏导，得则则于是，我们又得到了一种求隐函数的导数的方法于是，我们又得到了一种求隐函数的导数的方法第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分我们看教材上的一道例题（我们看教材上的一道例题（P30页，例页，例1）通过两边关于通过两边关于x求导，可以得到求导，可以得到下面我们用公式下面我们用公式 来求解来求解设设则则所以所以相比之下，应用公式解题就比较简单一些相比之下，应用公式解题就比较简单一些第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分接下来，我们仍然用刚才多元复合函数求偏导的方法来解决由接下来，我们仍然用刚才多元复合函数求偏导的方法来解决由 所确定的隐函数的偏导数公式所确定的隐函数的偏导数公式对方程对方程 两边同时关于两边同时关于x求偏导，得求偏导，得则则同理，有同理，有（方程两边同时关于（方程两边同时关于y求偏导）求偏导）则则第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分解：解： 例例3 设方程设方程 确定确定 ，求，求令令则则于是根据隐函数求偏导的公式，有于是根据隐函数求偏导的公式，有注：有些时候，题目中要求的是二阶偏导数，那么我们再利用注：有些时候，题目中要求的是二阶偏导数，那么我们再利用 上面的结果继续下去就可以了上面的结果继续下去就可以了第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分所以，有些这类题目在求二阶偏导数的时候看似只需要关于所以，有些这类题目在求二阶偏导数的时候看似只需要关于x或或y其中一个一阶偏导数，而实际上在我们继续求二阶偏导其中一个一阶偏导数，而实际上在我们继续求二阶偏导数的时候会发现还需要另外一个变量的一阶偏导数数的时候会发现还需要另外一个变量的一阶偏导数第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分同理，我们还可以用同样的方法继续求同理，我们还可以用同样的方法继续求在这里，有两点是需要提醒大家注意的：在这里，有两点是需要提醒大家注意的：由于隐函数自身的特点，我们求出的一阶偏导数中一般会由于隐函数自身的特点，我们求出的一阶偏导数中一般会 含有除自变量含有除自变量x，y以外的因变量以外的因变量z，这一点与一元函数中的，这一点与一元函数中的 隐函数类似，所以当我们继续求二阶偏导数的时候，要把隐函数类似，所以当我们继续求二阶偏导数的时候，要把z 看成是看成是x，y的复合函数；的复合函数；由于由于中提到的缘故，继续求二阶偏导数的时候变会产生中提到的缘故，继续求二阶偏导数的时候变会产生因此，这个时候就要用到前面关于因此，这个时候就要用到前面关于 的信息的信息第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分注：最后再补充一点，与一元函数中隐函数求导问题类似的是注：最后再补充一点，与一元函数中隐函数求导问题类似的是 也会遇到求具体点的偏导数问题，这个时候我们先用公式也会遇到求具体点的偏导数问题，这个时候我们先用公式 求出偏导数（偏导函数），然后再把具体点的值代入即可求出偏导数（偏导函数），然后再把具体点的值代入即可四、多元函数极值及偏导数应用四、多元函数极值及偏导数应用 这部分知识，从历年的试卷（这部分知识，从历年的试卷（01-09全部）来看，从来没有涉及全部）来看，从来没有涉及到，而且也只是要求大家学会对结论的应用（极值问题），因到，而且也只是要求大家学会对结论的应用（极值问题），因此，这里我们暂时不再叙述。此，这里我们暂时不再叙述。驻点驻点ABCD=B2-AC判定判定(x0，y0)补充：多元函数求极值学会列表会更加清晰明了补充：多元函数求极值学会列表会更加清晰明了第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分2 多元函数积分学多元函数积分学 一、二重积分的概念与性质一、二重积分的概念与性质1.引例引例 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积xzy第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分平面薄片的质量平面薄片的质量第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分2.二重积分的概念二重积分的概念第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分在二重积分的定义中，对区域在二重积分的定义中，对区域D的分割是任意的，如果我们用的分割是任意的，如果我们用平行于坐标轴的直线网来划分区域平行于坐标轴的直线网来划分区域D，那么除了靠近边界的一，那么除了靠近边界的一些小区域外，其余绝大部分的小区域都是矩形的，小矩形些小区域外，其余绝大部分的小区域都是矩形的，小矩形的边长为的边长为 和和 ，则，则 的面积的面积 ，又在直角坐标，又在直角坐标系中面积微元系中面积微元 可记作可记作 ，从而二重积分又可以记作：，从而二重积分又可以记作：由二重积分的定义可知，曲顶柱体由二重积分的定义可知，曲顶柱体的体积是函数的体积是函数 在区域在区域D上的上的二重积分二重积分平面薄片的质量是它的密度函数平面薄片的质量是它的密度函数 在薄片所占区域在薄片所占区域D上上的二重积分的二重积分第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分3.二重积分的几何意义二重积分的几何意义4.二重积分的性质二重积分的性质与定积分相比，二重积分有非常类似的一些性质与定积分相比，二重积分有非常类似的一些性质第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分当然本性质也可以推广到两个部分以上的情形当然本性质也可以推广到两个部分以上的情形第六讲第六讲 多元函数微积分多元函数微积分二、二重积分的计算二、二重积分的计算 一一一一、利用直角坐标计算二重积分、利用直角坐标计算二重积分、利用直角坐标计算二重积分、利用直角坐标计算二重积分 y x O x abD (a) (a) （）（）上式也可简记为上式也可简记为 O y x ) ( 2 y x x = = x ) ( 1 y x c d D 化二重积分为累次积分时化二重积分为累次积分时, ,需注意以下几点：需注意以下几点：（1 1）累次积分的下限必须小于上限）累次积分的下限必须小于上限; ; Oy x DO y x D 1 1 x O y x D 2 y x = 2 + = y x 1 - 2 ) 1 , 1 ( - A ) 2 , 4 ( B O yxD 注：此题若选择另一种积分次序较烦琐，读者不妨一试。注：此题若选择另一种积分次序较烦琐，读者不妨一试。 注：此题若选择另一种积分次序，会出现注：此题若选择另一种积分次序，会出现“积不积不出来出来”的积分。的积分。1. 1. 极坐标系下的面积元素极坐标系下的面积元素 二、利用极坐标系计算二重积分二、利用极坐标系计算二重积分O x s d q d r r d q d q (a)(a) 2.2.极坐标系下化二重积分为累次积分极坐标系下化二重积分为累次积分 (b)(b) O x b a ) ( 1 q r r = ) ( 2 q r r = O x q ) ( q r r = y x O q D q cos 2 R r = R 2 2 y x 1 O x y O D 4 z