第四节 向量的运用内内 容容 要要 求求 A AB BC C平面向量的应用平面向量的应用高考指数高考指数:1.1.向量在平面几何中的运用向量在平面几何中的运用(1)(1)平面向量在平面几何中的运用主要是用向量的平面向量在平面几何中的运用主要是用向量的线性运算及数性运算及数量量积处理平面几何中的平行、垂直、理平面几何中的平行、垂直、长度、度、夹角等角等问题. .(2)(2)用向量用向量处理常理常见平面几何平面几何问题的技巧的技巧线平行、点共平行、点共线利用共利用共线向量定理：向量定理： _ _垂直垂直问题利用数量利用数量积的运算性的运算性质： _ _夹角角问题利用利用夹角公式：角公式：cos=_(cos=_(为 的的夹角角) )(3)(3)用向量方法用向量方法处理平面几何理平面几何问题的的“三步曲三步曲平面几何平面几何问题 向量向量问题 处理向量理向量问题 处理几何理几何问题【即【即时运用】运用】判判别以下命以下命题的正的正误.(.(请在括号中填写在括号中填写“或或“) )(1)(1)假假设 那么三点那么三点A A、B B、C C共共线.( ).( )(2)(2)在在ABCABC中，假中，假设 0 0，那么，那么ABCABC为钝角三角形角三角形.( ).( )(3)(3)在在ABCABC中，假中，假设 =0 =0，那么，那么ABCABC为直角三角形直角三角形.( ).( )(4)(4)在四在四边形形ABCDABCD中，中，边ABAB与与CDCD为对边，假，假设 ，那么此，那么此四四边形形为平行四平行四边形形.( ).( )【解析】【解析】(1)(1)由于由于 共始点共始点A A，且，且 故故(1)(1)正确；正确；(2) B(2) B为锐角，不能判角，不能判别ABCABC的外形，故的外形，故(2)(2)不不正确；正确；(3) B(3) B为直角，故直角，故(3)(3)正确；正确；(4)(4)答案：答案：(1) (2) (3) (4)(1) (2) (3) (4)2.2.向量在物理中的运用向量在物理中的运用(1)(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的成和向量的_和和_类似，可以用向量的知识来处理类似，可以用向量的知识来处理. .(2)(2)物理学中的功是一个标量，是力物理学中的功是一个标量，是力 与位移与位移 的数量积的数量积. .即即加法加法减法减法【即【即时运用】运用】(1)(1)知两个力知两个力 的的夹角角为9090，它，它们的合力的合力 的的大小大小为10N10N，合力与，合力与 的的夹角角为60,60,那么那么 的大小的大小为_._.(2)(2)知知 =(cosx,sinx), =(cosx,-sinx), =(cosx,sinx), =(cosx,-sinx),那么函数那么函数y=y=的最小正周期的最小正周期为_._.【解析】【解析】(1)(1)如下如下图. .(2)(2)=cos2x,=cos2x,答案：答案：(1)5N (2)(1)5N (2)10 N60 向量在平面几何中的运用向量在平面几何中的运用【方法点睛】平面几何【方法点睛】平面几何问题的向量解法的向量解法平面向量的数量平面向量的数量积是是处理平面几何中相关理平面几何中相关问题的有力工具：利的有力工具：利用用 可以求可以求线段的段的长度，利用度，利用 ( (为 与与 的的夹角角) )可以求角，利用可以求角，利用 可以可以证明垂直，利用明垂直，利用 可以断定平行可以断定平行. .【提示】向量关系与几何关系并不完全一【提示】向量关系与几何关系并不完全一样，要留意区，要留意区别，例，例如：向量如：向量 并不能并不能阐明直明直线ABCD. ABCD. 【例【例1 1】(2021(2021天津高考天津高考) )知直角梯形知直角梯形ABCDABCD中，中，ADBC, ADBC, ADC=90,AD=2,BC=1,PADC=90,AD=2,BC=1,P是腰是腰DCDC上的上的动点，那么点，那么 的最小的最小值为_._.【解【解题指南】以直角指南】以直角顶点点为原点建立平面直角坐原点建立平面直角坐标系，用参数系，用参数表示出点表示出点P P、C C、B B、A A的坐的坐标，进而表示出而表示出 ，然后，然后转化化为函数函数问题求解求解. .【规范解答】建立平面直角坐范解答】建立平面直角坐标系如下系如下图. .设P(0,y),C(0,b)P(0,y),C(0,b)，那么那么B(1,b),A(2,0),B(1,b),A(2,0),那么那么 =(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y). =(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y). =25+(3b-4y)2(0yb), =25+(3b-4y)2(0yb),当当 时， 最小，最小，答案：答案：5 5【反思【反思感悟】平面几何感悟】平面几何问题的向量解法的向量解法(1)(1)坐坐标法法把几何把几何图形放在适当的坐形放在适当的坐标系中，就系中，就赋予了有关点与向量予了有关点与向量详细的坐的坐标，这样就能就能进展相展相应的代数运算和向量运算，从而使的代数运算和向量运算，从而使问题得到得到处理理. .这种解种解题方法具有普遍性，方法具有普遍性，应该把它掌握好把它掌握好. .(2)(2)基向量法基向量法适中适中选取一取一组基底，沟通向量之基底，沟通向量之间的的联络，利用向量共，利用向量共线构造构造关于关于设定未知量的方程来定未知量的方程来进展求解展求解. . 向量在三角函数中的运用向量在三角函数中的运用【方法点睛】平面向量与三角函数的综合问题的命题方式与解题【方法点睛】平面向量与三角函数的综合问题的命题方式与解题思绪思绪(1)(1)命题方式：普通标题条件给出向量，其中向量的坐标中含有命题方式：普通标题条件给出向量，其中向量的坐标中含有三角函数，然后给出向量的运算规那么，按照规那么得到三角函三角函数，然后给出向量的运算规那么，按照规那么得到三角函数的关系式，然后经过恒等变形，调查三角函数的图象性质数的关系式，然后经过恒等变形，调查三角函数的图象性质. .(2)(2)解题思绪：此类题解题的根本思绪是转化，即把向量的模或解题思绪：此类题解题的根本思绪是转化，即把向量的模或平行平行( (垂直垂直) )条件转化为三角函数式，再利用三角函数知识求解条件转化为三角函数式，再利用三角函数知识求解. . 【例【例2 2】(1)(1)知向量知向量xx0, 0, ，那么函数，那么函数 的的值域域为_._.(2)(2)在在ABCABC中，角中，角A A、B B、C C所所对的的边分分别为a a、b b、c c，向量，向量求求sinAsinA的的值；假假设b=2,ABCb=2,ABC的面的面积为3 3，求，求a.a.【解【解题指南】指南】(1)(1)利用向量的根本运算写出关于利用向量的根本运算写出关于x x的函数，然后求的函数，然后求出出值域域. .(2)(2)利用利用 列出关于列出关于sinAsinA的方程求解；的方程求解；由由sinA,bsinA,b及及 可求出可求出c c，再由余弦定理求，再由余弦定理求a.a.【规范解答】范解答】(1) (1) g(x)= g(x)= g(x) g(x)0,20,2. .答案：答案：0,20,2(2) cos2A=(1-sinA)2sinA,(2) cos2A=(1-sinA)2sinA,6(1-2sin2A)=7sinA(1-sinA),6(1-2sin2A)=7sinA(1-sinA),5sin2A+7sinA-6=0,5sin2A+7sinA-6=0,sinA= .(sinA=-2sinA= .(sinA=-2舍舍) )由由SABC = bcsinA=3,b=2,SABC = bcsinA=3,b=2,得得c=5,c=5,又又cosAcosAa2=b2+c2-2bccosA=4+25-225cosAa2=b2+c2-2bccosA=4+25-225cosA=29-20cosA,=29-20cosA,当当cosA= cosA= 时,a2=13,a= ;,a2=13,a= ;当当cosA=- cosA=- 时，a2=45,a=a2=45,a=【反思【反思感悟】解向量与三角函数感悟】解向量与三角函数综合合题的关的关键把向量关系把向量关系转化化为向量的运算，再向量的运算，再进一步一步转化化为三角函数的运三角函数的运算，即算，即该类题的解的解题关关键是是“转化思想方法的运用化思想方法的运用. . 向量在解析几何中的运用向量在解析几何中的运用【方法点睛】向量在解析几何中的作用【方法点睛】向量在解析几何中的作用(1)(1)载体作用：向量在解析几何体作用：向量在解析几何问题中出中出现，多用于，多用于给出出标题条条件，件，处理此理此类问题的关的关键是利用向量的意是利用向量的意义、运算脱去、运算脱去“向量外向量外衣衣. .(2)(2)工具作用：利用工具作用：利用 可可处理垂直、平行理垂直、平行问题，特，特别地，向量垂直、平行的坐地，向量垂直、平行的坐标表示表示对于于处了解析几何中的垂直、平行了解析几何中的垂直、平行问题是一种比是一种比较可行的方法可行的方法. . 【例【例3 3】知两点】知两点M(-1,0),N(1,0)M(-1,0),N(1,0)，且点，且点P P使使 成公差非成公差非负的等差数列的等差数列. .(1)(1)求点求点P P的的轨迹方程迹方程; ;(2)(2)假假设为 与与 的的夹角，求角，求的最大的最大值及此及此时点点P P的坐的坐标. .【解【解题指南】指南】(1)(1)设P(x,y),P(x,y),直接求点直接求点P P的的轨迹方程迹方程; ;(2)(2)先求出先求出coscos的范的范围，再求，再求的最大的最大值. .【规范解答】范解答】(1)(1)设点点P P的坐的坐标为(x,y),(x,y),那么那么 =(-1-x,-y), =(-1-x,-y), =(1-x,-y), =(1-x,-y), =(2,0), =(2,0), =2(1-x), =2(1-x), =x2+y2-1, =x2+y2-1, =2(1+x) =2(1+x)，依依题意得意得点点P P的的轨迹方程迹方程为x2+y2=3(x0).x2+y2=3(x0).(2) =(-1-x,-y)(1-x,-y)(2) =(-1-x,-y)(1-x,-y)=x2+y2-1=2,=x2+y2-1=2,0x , cos1,0x , cos1,0 .0 .的最大的最大值为 , ,此此时x=0,x=0,点点P P的坐的坐标为(0, ).(0, ).【反思【反思感悟】感悟】1.1.向量法向量法处理平面解析几何理平面解析几何问题的关的关键是把点的是把点的坐坐标转换成向量的坐成向量的坐标，然后，然后进展向量的运算展向量的运算. .2.2.相等向量、共相等向量、共线向量、垂直向量的坐向量、垂直向量的坐标方式方式经常用到，必需常用到，必需熟熟练掌握掌握. .【易【易错误区】忽区】忽视对直角位置的直角位置的讨论致致误【典例】【典例】(2021(2021宿迁模宿迁模拟) )知平面上三点知平面上三点A A、B B、C C， =(2-k,3), =(2,4). =(2-k,3), =(2,4).(1)(1)假假设三点三点A A、B B、C C不能构成三角形，不能构成三角形，务虚数虚数k k应满足的条件；足的条件；(2)(2)假假设ABCABC为直角三角形，求直角三角形，求k k的的值. .【解【解题指南】指南】(1)(1)三点三点A A、B B、C C不能构成三角形，即不能构成三角形，即A A、B B、C C三点三点共共线. .(2)(2)对A A、B B、C C谁为直角直角顶点点进展分展分类讨论. .【规范解答】范解答】(1)(1)由三点由三点A A、B B、C C不能构成三角形，得不能构成三角形，得A A、B B、C C在在同不断同不断线上，即向量上，即向量 与与 平行，平行， 4(2-k)-23=0, 4(2-k)-23=0,解得解得(2) =(2-k,3), =(k-2,-3),(2) =(2-k,3), =(k-2,-3),ABCABC为直角三角形，直角三角形，那么当那么当BACBAC是直角是直角时， 即即2k+4=02k+4=0，解得，解得k=-2;k=-2;当当ABCABC是直角是直角时， 即即k2-2k-3=0,k2-2k-3=0,解得解得k=3k=3或或k=-1;k=-1;当当ACBACB是直角是直角时， 即即16-2k=016-2k=0，解得，解得k=8.k=8.综上得上得k-2,-1,3,8.k-2,-1,3,8.【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们可以得到如下【阅卷人点拨】经过阅卷数据分析与总结，我们可以得到如下误区警示和备考建议：误区警示和备考建议：误误区区警警示示 解答本题易出现以下两个错误：解答本题易出现以下两个错误：(1)(1)由于思维定势误认为由于思维定势误认为AA一定是直角，从而使解答不一定是直角，从而使解答不完整完整. .(2)(2)混淆向量坐标运算中垂直与平行的充要条件导致错误混淆向量坐标运算中垂直与平行的充要条件导致错误. . 备备考考建建议议 建议在学习平面向量的应用时，要高度关注：建议在学习平面向量的应用时，要高度关注：(1)(1)加强向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去加强向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问题，考虑问题要全面思考问题，考虑问题要全面. .(2)(2)要熟记向量运算中的常用公式，如向量平行或垂直的要熟记向量运算中的常用公式，如向量平行或垂直的坐标运算等坐标运算等. . 1.(20211.(2021无无锡模模拟) )在在ABCABC中，知中，知 =(-1 =(-1，2)2)， =(2 =(2，1)1)，那么，那么ABCABC的面的面积等于等于_._.【解析】【解析】ABACABAC，SABC SABC 答案：答案：2.(20212.(2021南通模南通模拟) )知平面向量知平面向量 满足足 且且 与与 的的夹角角为120120，那么，那么 的取的取值范范围是是_._.【解析】【解析】由由 得得答案：答案：(0, (0, 3.(20213.(2021连云港模云港模拟) )在在OABOAB中，中， =(2cos,2sin), =(2cos,2sin), =(5cos,5sin), =(5cos,5sin),假假设 那么那么SOAB=_.SOAB=_.【解析】【解析】设 与与 的的夹角角为,那么那么 =10cos=-5, =10cos=-5,cos cos 又又是是OABOAB的内角的内角, ,答案：答案：