第第3 3章章 走向混沌的道路走向混沌的道路 一一个个动动力力学学系系统统运运动动的的充充分分发发展展是是进进入入混混沌沌状状态态。进进入入混混沌沌状状态态有有哪哪些些方方式式呢呢？这这是是非非线线性性动动力学研究中的一个重要问题。力学研究中的一个重要问题。 混混沌沌现现象象是是一一种种普普遍遍存存在在的的复复杂杂的的运运动动形形式式。是是确确定定论论系系统统所所表表现现的的内内在在随随机机行行为为的的总总称称，其其根根源源在在于于系系统统内内部部的的非非线线性性交叉耦合作用，而不在于大量交叉耦合作用，而不在于大量 “分子分子” 的无规则运动。的无规则运动。 蝴蝴蝶蝶效效应应的的姊姊妹妹效效应应很很多多，如如“蚁蚁穴穴效效应应”、“蹄蹄钉钉效效应应”等等，这些效应都是混沌现象的例子。等等，这些效应都是混沌现象的例子。 “ “千里之堤，溃于蚁穴千里之堤，溃于蚁穴” ” “蚁穴效应蚁穴效应” ” 控控制制论论的的创创立立者者维维纳纳曾曾引引用用一一首首民民摇摇对对混混沌沌现现象象作作了了生生动动描描述述：丢丢失失一一个个钉钉子子，坏坏了了一一只只蹄蹄铁铁；坏坏了了一一只只蹄蹄铁铁，折折了了一一匹匹战战马马；折折了了一一匹匹战战马马，伤伤了了一一位位骑骑士士；伤伤了了一一位位骑骑士士，输输了了一一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国。 “蹄钉效应蹄钉效应” ” 1平方映射的倍周期分岔道路2费根鲍姆常数3杜芬方程的倍周期分岔第一节第一节 由倍周期分岔走向混沌由倍周期分岔走向混沌 1. 倍周期分岔道路倍周期分岔道路 对对平平方方映映射射的的计计算算表表明明，随随着着参参数数的的增增长长，平平方方映映射射发发生生一一系系列列的的倍倍周周期期分分岔岔。但但倍倍周周期期分分岔岔在在一一临临界界点点c =3.5699时时终终止止。此此后后，每每次次迭迭代代得得到到的的值值是是随机地出现的。随机地出现的。 =3.7时时，每每次次迭迭代代计计算算得得到到的的 xn 值值既既不不趋趋向向于于零零或或稳稳定定值值，也也不不是是重重复复，而而是是随随机机地地出出现现。随随迭迭代代计计算算将将无无限限地地延延续续下下去去，迭迭代代值值偶偶尔尔出出现现先先前前得得到到过过某某个个迭迭代代值值点点附附近近，但但并并没没有有准准确确相相同同，于于是是在在继继续续迭迭代代计计算算中中又又很很快快地地分分离离开开来来了了，说说明明系系统统已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。已从周期运动进入到了非周期运动或称混沌运动。临界点以上的迭代计算 平方映射的平方映射的分岔图分岔图平方映射的平方映射的分岔分岔序列：序列： 分分岔岔是是在在=1=1处处开开始始的的，从从这这里里迭迭代代由由零零值值进进入入到到单单周周期期运运动动，出出现现一一次次霍霍夫夫分分岔岔；随随后后在在3处处开开始始了了倍倍周周期期分岔：分岔： 3.000 3.4495 ， 二周期循环二周期循环 ； 3.4496 3.5441 ， 四周期循环四周期循环 ； 3.5441 3.5644 ， 八周期循环八周期循环 ； 3.5644 3.56993.56443.56883.54413.56443.49953.54413 3.49951 31m m2费根鲍姆常数 此此外外，他他发发现现2n周周期期分分岔岔的的超超稳稳定定点点之之间间的的距距离离dn 之之比比也也趋趋于于一一个个常常数数，称称为为费费根根鲍鲍姆第二常数。姆第二常数。费根鲍姆常数 2费根鲍姆常数 设设n n为为第第n 次次分分岔岔的的值值，则则相相继继两两次次分分岔岔的的间间隔隔之之比比趋趋于一个常数，被称为费根鲍姆第一常数。于一个常数，被称为费根鲍姆第一常数。研研究究发发现现，对对于于所所有有在在0，1区区间间内内的的单单峰峰光光滑滑映映射射，如如正正弦弦映映射射、圆圆与与椭椭圆圆映映射射等等，都都可可计计算算得得同同样样常常数数。而而且且许许多多包包含含耗耗散的非线性系统，只要发生倍周期分岔也会有同样的常数。散的非线性系统，只要发生倍周期分岔也会有同样的常数。 两两个个费费根根鲍鲍姆姆常常数数 d d 与与 a a 都都反反映映了了非非线线性性系系统统沿沿倍倍周周期期分分岔岔系系列列通通向向混混沌沌过过程程所所具具有有的的某某种种普普适适特特性性。可可见见费费根根鲍鲍姆姆常常数数具具有普遍意义。有普遍意义。 费根鲍姆常数的意义 2费根鲍姆常数大大自自然然中中存存在在一一些些普普适适常常数数，例例如如长长度度与与直直径径之之比比的的圆圆周周率率，反反映映物物理理量量随随时时间间衰衰变变的的自自然然对对数数e，反反映映物物质质微微观观量量度度的的普普朗朗克克常常数数h，真真空空中中光光速速c等等，但但普普适适常常数数为为数数不不多多，它它们们代代表表了了大大自然运动所遵循的某些规律自然运动所遵循的某些规律。 费费根根鲍鲍姆姆常常数数的的发发现现说说明明在在对对自自然然规规律律的的认认识识上上又又前前进进一一步步，它所包含的意义还有待进一步去发掘。它所包含的意义还有待进一步去发掘。杜芬方程杜芬方程的的倍周期分岔倍周期分岔 倍倍周周期期分分岔岔不不仅仅在在平平方方映映射射中中存存在在，利利布布沙沙伯伯的的液液氦氦证证明明，在在真真实实的的物物理理学学系系统统中中，如如LCR振振荡荡、激激光光振振荡荡等等许许多多系系统统中中都都存存在在，这这里里分分析析一一下下受受驱驱杜杜芬芬方方程程中中的的分分岔岔现现象象。一一个个软软弹弹簧系统杜芬方程可以写成：簧系统杜芬方程可以写成：曾曾经经分分析析过过受受驱驱杜杜芬芬方方程程的的幅幅频频特特性性是是倾倾倒倒的的。并并且且在在 nw nw 时时有个多值共振区。它的倍周期分岔与混沌也发生在这里。有个多值共振区。它的倍周期分岔与混沌也发生在这里。3杜芬方程的倍周期分岔杜芬方程：杜芬方程：设设=0.4,=1,=4, F=0.115，从小到大改变驱动频率从小到大改变驱动频率n n。 计计算算表表明明，在在n n 0.8时时，杜杜芬芬方方程程的的解解是是反反对对称称的的极极限限环环，极极限限环环呈呈椭圆形状；椭圆形状； 当当n n 0.8时时，极极限限环环的的反反对对称称性性虽虽然然仍仍存存在在，但但椭椭圆圆形形状状已已明明显显变变形。形。 当当到到达达n n 0.535处处时时出出现现对对称称性性破破缺缺，极极限限环环分分裂裂为为两两个个周周期期 1 的的不不对称极限环，这两个不对称的极限环互为反演。对称极限环，这两个不对称的极限环互为反演。 在在n n 0.53杜杜芬芬方方程程的的解解开开始始倍倍周周期期分分岔岔。由由于于两两个个吸吸引引子子在在n n 0.53保保持持互互为为反反演演，可可以以在在观观察察n n 0.53时时的的分分岔岔特特性性可可以以只只考考虑虑其其中中一一个个极限环。极限环。杜芬方程杜芬方程的的倍周期分岔倍周期分岔3杜芬方程的倍周期分岔倍周期分岔倍周期分岔杜芬方程杜芬方程的的倍周期分岔倍周期分岔两个不对称极限环两个不对称极限环奇奇怪怪吸吸引引子子3杜芬方程的倍周期分岔第二节第二节 阵发性混沌阵发性混沌1. 1. 阵发性混沌现象阵发性混沌现象2. 2. 阵发性混沌机理阵发性混沌机理 自自然然界界、科科学学实实验验乃乃至至社社会会经经济济生生活活中中，经经常常可可以以遇遇到到突突发发性性现现象象：太太阳阳黑黑子子、野野生生动动物物数数量量涨涨落落、电电子子或或激激光光振振荡荡中中的的冲冲击击现现象象，社社会会经经济济中中的的例例子子是是股股市市的的涨涨落落。在在非非线线性性科科学学中中是是否否相相应的现象呢？应的现象呢？ 动动力力学学系系统统经经过过突突发发性性冲冲击击现现象象进进入入随随机机的的不不规规则则的的运运动动状状态态称称为为阵阵发发性性混沌混沌 (Intermittent chaos)。 1979年年，法法国国数数学学家家玻玻木木(Pomeau)和和曼曼维维尔尔(Manneville)在在计计算算洛洛论论兹兹方方程的程的y分量时发现：分量时发现： 当当瑞瑞利利参参数数r在在到到达达临临界界值值rc附附近近时时y分分量量的的周周期期性性变变化化被被一一种种随随机机的的、突突发发性性的的冲冲击击所所打打断断。当当rrc时时，系系统统处处于于长长时时间间周周期期运运动动状状态态；当当 r 刚刚超超过过阈阈值值 rc 时时，开开始始偶偶尔尔出出现现一一些些突突发发性性冲冲击击；随随着着 r 数数值值的的逐逐渐渐增增长长，这这种种突突发发性性冲冲击越来越频繁，最后周期运动几乎完全消失，系统进入完全随机的运动状态。击越来越频繁，最后周期运动几乎完全消失，系统进入完全随机的运动状态。 1. 阵发性混沌现象阵发性混沌现象玻木和曼维尔的发现玻木和曼维尔的发现 x -对流的翻动速率，对流的翻动速率， y -比比例例于于上上流流与与下下流流液液体体之之间的温差间的温差 z-是垂直方向的温度梯度是垂直方向的温度梯度， r -相对瑞利数相对瑞利数 r = R/RC。 1. 阵发性混沌现象阵发性混沌现象洛洛论论兹兹方方程程 y 分分量量 rc 附附近近的的四四个个参参数数:一一个个 rrc 计算结果计算结果 b8/3，s s10 时时 临界值临界值rc166.07阵发现象(洛论兹方程洛论兹方程)阵发现象(平方映射)平平方方映映射射在在=3.8285附附近的近的 xnn 时间序列。时间序列。1. 阵发性混沌现象阵发性混沌现象平方映射的周期3窗口 在在参参数数3.5699时时，平平方方映映射射是是规规则则运运动动，但但随随发发生生一一系系列列的的倍周期分岔。倍周期分岔。 在在3.56994基基本本上上是是混混沌沌区区，其其中中有有大大小小不不一一的的窗窗口口，这这里里仍仍规规则则运运动动，=3.833.85间间是是一一个个较较大大的的规规则则运运动动窗窗口口。阵阵发发性性混混沌沌发发生生在在从从混混沌沌回回到到规规则则运运动动的的边界附近。边界附近。=3.83附近附近平方映射的周期平方映射的周期3窗口窗口 2. 阵发性混沌机理阵发性混沌机理 阵阵发发性性发发生生在在 周周期期3 3 出出现现地地点点，即即在在 =3.83=3.83附附近近。在在=3.84=3.84附附近近出出现现倍倍周周期期分分岔岔，产产生生出出周周期期6 6 (32)(32)，周周期期12(3212(322)2)，周期轨道，在周期轨道，在=3.85=3.85附近再次进入混沌。附近再次进入混沌。 为为解解释释阵阵发发性性混混沌沌机机理理，需需要要分分析析平平方方映映射射在在= =3.83附附近近特特性性。类类似似于于周周期期2，周周期期 3 可可由由三三次次平平方方映映射射 f 3(x)产生。产生。 f 3(x)有有四四个个不不动动点点，一一个个由由f (x)带带来来的的不不稳稳定定不不动动点点，另另外外三三个个与与迭迭代代线线相相切切。切切点点处处f 3(x)曲曲线线的的斜斜率率为为+1，是稳定性条件的最大值。，是稳定性条件的最大值。 周期周期 3 3 轨道轨道2. 阵发性混沌机理阵发性混沌机理 稍稍许许增增大大一一点点， , f 3(x)将将越越过过切切点点与与迭迭代代线线相相交交为为两两个个交交点点，产产生生出出六六个个交交点点。相相切切点点斜斜率率为为+1，每每对对相相交的两个交点处斜率一个大于交的两个交点处斜率一个大于1，另一个小于，另一个小于1。 周期 3 轨道2. 阵发性混沌机理阵发性混沌机理 根根据据稳稳定定性性条条件件，斜斜率率大大于于1的的轨轨道道是是不不稳稳定定的的，小小于于1的的是是稳稳定定的的，即即f 3(x)有有三三个个稳稳定定不不动动点点与与三三个个不不稳稳定定的的不不动动点点。它它们们分分别别给给出出一一条条稳稳定定的的周周期期3轨轨道道，和和一一条条不不稳稳定定的的周周期期3轨轨道道。不不稳稳定定的的周周期期3轨轨道道已已经退化。经退化。不动点稳定性分析不动点稳定性分析2. 阵发性混沌机理阵发性混沌机理 由由每每个个切切点点产产生生出出一一对对稳稳定定的的与与不不稳稳定定的的轨轨道道是是切切分分岔岔的的特特征征。说说明明在在=3.83=3.83附附近近，平平方方映映射射中中周周期期3 3轨轨道道与与切切分分岔岔紧紧密密地地联联系着。系着。 狭窄走廊中的迭代狭窄走廊中的迭代 将将略略为为减减小小一一些些，在在f 3(x)与与对对角角线线的的三三个个切切点点处处，形形成成一一条条狭狭窄窄走走廊廊。f 3(x)进进行行迭迭代代成成为为在在走走廊廊中中的的行行走走。当当某某一一轨轨道道点点落落入入某某一一走走廊廊的的入入口口处处时时，在在经经过过若若干干次次迭迭代代以以后后走走到到了了走走廊廊出出口口处处，并并从从这这里里离离开开走走廊廊，迭迭代代的的次次数数的的多多少少决决定定于于走走廊廊的的狭狭窄窄程程度度，也也即即与与切切分分岔岔起起点点t 之之间间的的距距离离决定。决定。2. 阵发性混沌机理阵发性混沌机理 狭窄走廊中的迭代狭窄走廊中的迭代 走走廊廊中中的的迭迭代代很很象象是是在在不不动动点点附附近近的的迭代，因此它相应于周期的运动。迭代，因此它相应于周期的运动。 走走出出了了走走廊廊后后，迭迭代代是是无无规规则则的的大大幅幅度度跳跳跃跃。当当随随机机地地再再进进入入到到某某个个走走廊廊入入口口附附近近时时，又又会会重重复复出出现现以以上上走走廊廊中中的的迭代过程。迭代过程。 由由于于重重复复是是不不可可能能准准确确相相同同的的，每每次次走走廊廊中中的的迭迭代代次次数数也也不不会会相相同同。当当- t = 0 时时，迭迭代代穿穿越越时时间间趋趋向向于于无无穷穷长长，即达到完全周期的状态。即达到完全周期的状态。2. 阵发性混沌机理阵发性混沌机理 上面这个例子对从有序上面这个例子对从有序(周期周期)到无序的阵发性混沌道路给出了解释到无序的阵发性混沌道路给出了解释.2. 阵发性混沌机理阵发性混沌机理 华华裔裔数数学学家家李李天天岩岩和和约约克克通通过过严严格格的的数数学学分分析析证证明明：在在任任何何一一维维系系统统中中，只只要要出出现现规规则则的的周周期期3 3，必必然会给出任意的规则周期运动和完全混沌运动的循环。然会给出任意的规则周期运动和完全混沌运动的循环。