第二章第二章 数学模型基础数学模型基础(I)(I)2.1 2.1 数学模型的定义和分类数学模型的定义和分类2.2 2.2 模型的建立模型的建立2.3 2.3 模型参数的估值方法模型参数的估值方法2.4 2.4 模型的验证与误差分析模型的验证与误差分析2.5 2.5 灵敏度分析灵敏度分析2.1 2.1 数学模型的定义和分类数学模型的定义和分类一、数学模型的定义和特征一、数学模型的定义和特征1.1.定义定义：2. 2. 特征：特征：抽象性抽象性 多变量模拟；多变量模拟； 方便考察方便考察; 节省费用、研究周期短；节省费用、研究周期短；局限性局限性 人的认识能力有限；人的认识能力有限； 求解计算过程中的累积误差；求解计算过程中的累积误差； 系统结构与参数的不确定性（系统结构与参数的不确定性（-适用区间）适用区间） 建立和应用数学模型的重要原则建立和应用数学模型的重要原则尊重客观、尊重实际尊重客观、尊重实际数学模型数学模型 = = 公式公式+ +算法算法简洁明晰；简洁明晰；抽象和简化抽象和简化失真失真二、数学模型的分类二、数学模型的分类从不同的角度可以对模型作各种形式的分类：从不同的角度可以对模型作各种形式的分类：按变量与时间的关系：动态模型和静态模型按变量与时间的关系：动态模型和静态模型按变量之间的关系：线性模型和非线性模型按变量之间的关系：线性模型和非线性模型按变量的变化规律：确定性模型和随机模型按变量的变化规律：确定性模型和随机模型按模型的用途：模拟模型和管理模型按模型的用途：模拟模型和管理模型按模型参数的性质：集中参数模型和分布参数模型按模型参数的性质：集中参数模型和分布参数模型一、基本方法与思想一、基本方法与思想 1. 演绎法演绎法 -对系统的结构和性质的认识和理解对系统的结构和性质的认识和理解 2. 归纳法归纳法 -对系统的输入和输出的观测数据对系统的输入和输出的观测数据2.2 2.2 模型的建立模型的建立机理模型机理模型经验模型经验模型二二. . 建立模型的基本要求建立模型的基本要求1. 真实可靠真实可靠 理论推导理论推导-严谨严谨 数据资料数据资料-可靠（质量保证）可靠（质量保证） 检验合格检验合格2. 精确易解精确易解 考虑主要变量，分析主要问题；考虑主要变量，分析主要问题；改变变量的性质：不重要的变量改变变量的性质：不重要的变量-常量常量 连续变量连续变量-线性线性 离散变量离散变量-连续变量连续变量 改变变量的函数关系；改变变量的函数关系；注意特征尺度。注意特征尺度。3. 模型中应有可控变量（可操纵变量）模型中应有可控变量（可操纵变量） 应该有一个或多个可控变量，否则不能付诸实用应该有一个或多个可控变量，否则不能付诸实用精确精确复杂复杂易解易解简单简单数据的收集与分析数据的收集与分析模型结构的选择模型结构的选择 白箱模型（机理模型）白箱模型（机理模型）质量平衡建立微分方程质量平衡建立微分方程 灰箱模型（半机理模型）灰箱模型（半机理模型） 黑箱模型（输入黑箱模型（输入- -输出模型，纯经验模型）输出模型，纯经验模型） 工程实际中，应用较多的是灰箱模型工程实际中，应用较多的是灰箱模型模型参数的估计模型参数的估计模型的检验和修正模型的检验和修正二、建立模型的过程二、建立模型的过程观测数据组观测数据组观测数观测数据组据组模型结构选择模型结构选择参数估计参数估计检验和验证检验和验证模型应用模型应用三. 建模的几种方法1. 图解建模法2. 质量平衡法3. 因次分析法4. 概率统计法5. 数量化理论预测法6. 灰色系统建模法1. 图解建模法管道铺设情况关键路法关键路法(Critical Path Method-CPM)3. 因次分析法 自然界物理现象的规律，可以用完整的物理公式来表示； 完整的物理公式不随所采用的单位不同而改变公式的形式； 完整的物理公式必须符合因次和谐的条件； 因次和谐的条件为各个变量积的基本因此指数彼此相等。因次分析的主要作用（1）帮助认识物理现象之内在规律，有助于判断模型定律之选择；（2）指导实验方向，减少分析实验资料的变量数目；（3）校核公式。4. 概率统计法1）回归分析 一元线性回归 多元线性回归 非线性回归2）时间序列预测 滑动平均法 加权滑动平均法 指数平均法5. 数量化理论预测法6. 灰色系统建模法2.3 模型参数的估值方法图解法图解法最小二乘法最小二乘法网格法网格法( (穷举法）穷举法）最优化方法最优化方法经验公式计算法经验公式计算法一. 图解法估参二. 最小二乘法估参三. 网格法（穷举法）估参四.最优化方法最优化方法( (梯度法梯度法) )估参2.4 模型的验证与误差分析图形表示法：图形表示法：相关系数法：相关系数法： r r相对误差法相对误差法 模型验证所用的数据对于参数估值来说应该是独立的。模型验证所用的数据对于参数估值来说应该是独立的。一个模型是否满足使用要求，以模型的计算结果和实际一个模型是否满足使用要求，以模型的计算结果和实际观测数据之间的吻合程度观测数据之间的吻合程度误差来判断。误差来判断。一、灵敏度分析的意义一、灵敏度分析的意义 模型的稳健性模型的稳健性-Robustness（鲁棒性）（鲁棒性） 观测值存在的误差与波动观测值存在的误差与波动所估参数存在的误差与波动所估参数存在的误差与波动模拟计算的误差与波动模拟计算的误差与波动 有助于设计低灵敏度系统；有助于设计低灵敏度系统； 有助于确定合理的设计裕量。有助于确定合理的设计裕量。2.5 灵敏度分析 系统的状态向量，由描述系统的各种状态组成，如河流中的 BOD、大气中的SO2浓度等； 系统的决策向量，由系统中的可以控制的变量组成，如污染源 排放的SO2、TSP的量； 系统的参数向量，由系统中的各种参数组成，如污染物的衰减 速度常数、河流的弥散系数Dy、Dz等； 在环境系统的模拟、控制中，灵敏度的研究主要包括两个方面: 一是状态与目标对参数的灵敏度, 即参数的估计误差一定会对状态和目标产生影响， 这种影响有多大?如何确定参数估计的必要精度? 另一个是目标对决策的灵敏度 在污染控制规划中，决策变量（如水质标准的选择)的变化对目标（如费用）有很大的影响，如何确定这种影响的大小？如何确定合理的决策变量？约束函数，符号S.t 表示系统的约束条件。定义：在某取值点附近，状态或目标的变化率与参数变化率的比值研究内容：根据参数的变化范围估计目标或状态的灵敏度目标对状态的灵敏度二二. . 状态与目标对参数的灵敏度状态与目标对参数的灵敏度考虑合理的设计容量为设计合理的灵敏度系统提供依据1.1.单变量时的灵敏度单变量时的灵敏度一个最优化模型通一个最优化模型通常由状态方程和目常由状态方程和目标函数构成标函数构成,状态方状态方程表达周围环境条程表达周围环境条件的约束件的约束:当状态变量和参数的数目都为当状态变量和参数的数目都为1,且决策变量且决策变量u=u*保持不变，那么状态变量保持不变，那么状态变量x和目标和目标Z都都可写为参数可写为参数0 0的函数：的函数：x*=f(x*=f(0 0),Z*=F(),Z*=F(0 0) )状态变量对参数的灵敏度状态变量对参数的灵敏度目标函数对参数的灵敏度目标函数对参数的灵敏度当当0 0时，可忽略高阶微分项：时，可忽略高阶微分项：2.2.多变量时的灵敏度多变量时的灵敏度3.3.目标对状态约束的灵敏度目标对状态约束的灵敏度