双曲线及标准方程双曲线及标准方程人教A版高中数学选修习习椭圆的定义是什么？平面内与两定点平面内与两定点F1，F2的距离的和等于的距离的和等于常数（大于常数（大于 |F1F2| ）的点的轨迹叫做椭）的点的轨迹叫做椭圆。圆。F1F2M复复x2a2+y2b2=1y2x2a2+b2= 1a2=b2+c2图图象象集合表示集合表示P=M| |MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）标准标准方程方程焦点焦点 (-c,0), (c,0)(0, c) ,(0, -c)a. b. c的的关系关系（ab0）（ab0）yoxF1F2xyoF1F2 MM平面内与两定点平面内与两定点F1，F2的距离的的距离的 为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？呢？F1F2思思 考考差差A1A2F1F2M此时点的轨迹是线段此时点的轨迹是线段F1F2F1F2的垂直平分线。的垂直平分线。则则|MF1|=|MF2|MF1|=|MF2|F1F2M思考思考: :定义中这个常数能否为定义中这个常数能否为0 0？ 若常数若常数= |MF= |MF1 1| |MF|MF2 2| =0| =0 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫双曲线。的点的轨迹叫双曲线。(小于F1F2）双曲线的定义双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫双曲线。常数一般用2a表示（a0）, 这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点。 两焦点的距离|F1F2|叫做双曲线的焦距，的点的轨迹叫双曲线。(小于F1F2）双曲线的焦距一般用2c表示(c0)则2a0,代入整理得：代入整理得：xyo如图建立坐标系，使如图建立坐标系，使x轴经过轴经过F1、F2， 并且原点并且原点O与线段与线段F1F2的中点重合。的中点重合。设设M(x , y)为双曲线上任一点为双曲线上任一点,双曲线双曲线焦距为焦距为2c(c0),则则F1(-c,0), F2(c,0)F1F2M即即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = + 2a_双曲线的标准方程双曲线的标准方程由定义可知，双曲线就是集合：由定义可知，双曲线就是集合： P= M |MF1 | - | MF2| = + 2a _cx -a2=+ a (x-c)2+y2 _ 移移项平方整理得平方整理得再次平方，得：再次平方，得： (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)由双曲线的定义知，由双曲线的定义知，2c2a0,即即ca,故故c2-a20,x2a2-y2c2-a2= 1x2a2-y2b2=1(a0,b0)xyoF1F2M双曲线的标准方程：=x2a2-y2b21(a0,b0)方程方程叫做双曲线的标准方程叫做双曲线的标准方程 它表示的双曲线焦点在它表示的双曲线焦点在x轴上，轴上，焦点为焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且且c2=a2+b2xyoF1F2MyxxyoF1F2双曲线的标准方程：=x2a2-y2b21(a0,b0)方程方程叫做双曲线的标准方程叫做双曲线的标准方程 它表示的双曲线焦点在它表示的双曲线焦点在x轴上，轴上，焦点为焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且且c2=a2+b2MyxxyoF1F2MyxxyoF1F2MyxxyoF1F2MyxyxyxF2F1MyxoyxyxF2F1Myoxy-x=x2a2-y2b21(a0,b0)(-x)2x2y2方程方程叫做双曲线的标准方程叫做双曲线的标准方程它表示的双曲线焦点在它表示的双曲线焦点在y轴上，轴上，焦点为焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且且c2=a2+b2x2a2+y2b2=1y2x2a2+b2= 1a2=b2+c2图图象象集合表示集合表示P=M| |MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）标准标准方程方程焦点焦点 (-c,0), (c,0)(0, c) ,(0, -c)a. b. c的关系的关系（ab0）（ab0）yoxF1F2xyoF1F2 MMx2a2+y2b2=1y2x2a2+b2= 1a2=b2+c2图图象象集合表示集合表示标准标准方程方程焦点焦点 (-c,0), (c,0)(0, c) ,(0, -c)a. b. c的关系的关系（ab0）（ab0）yoxF1F2xyoF1F2 MMP=M|MF1|MF2|=2a（0b0）（ab0）yoxF1F2yF1F2xoP=M|MF1|MF2|=2a（00,b0)(a0,b0)P=M|MF1|MF2|=2a（02a|F1F2|）焦点焦点yF1F2xoc2=a2+b2c2=a2+b2(-c,0),(c,0)(0, c) (0,-c)yoxF1F2图图象象集合表示集合表示a.b.c的关系P=M|MF1|MF2|=2a（00,b0)(a0,b0)练一练练一练:1、求下列双曲线的焦点坐标及、求下列双曲线的焦点坐标及a:(2) x2 - 3 y2 = 3(-2,0),(2,0) a=(0,-5),(0,5) a=32、已知方程、已知方程表示焦点在表示焦点在x轴的双曲线，求轴的双曲线，求m的取值范围。的取值范围。m-1变式：变式：若方程若方程表示双曲线表示双曲线求求m的取值范围的取值范围。m-1例例1, 已知双曲线的两个焦点坐标为已知双曲线的两个焦点坐标为F1(-5,0)、F2(5,0)双曲线上一双曲线上一 点点P到到F1、F2的距离的差的距离的差的绝对值等于的绝对值等于6,求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的2a=6, 2c=10a=3 , c=5所以所求双曲线的标准方程为所以所求双曲线的标准方程为 b2=52-32=16x2a2-y2b2=1标准方程为标准方程为(a0,b0)练一练练一练:求适合下列条件的双曲线的标准方程：求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在）焦点在x轴上，轴上，a=4，b=3 ：（2）焦点在）焦点在x轴上，经过点轴上，经过点（3）焦点为（）焦点为（0，6），（），（0，6），）， 且经过点（且经过点（2, 5）ABP例例2, 已知已知A、B两地相距两地相距800m，在，在A地听地听到炮弹爆炸声比在到炮弹爆炸声比在B地晚地晚2s，且声速为，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程。，求炮弹爆炸点的轨迹方程。XY0解：如图：建立直角坐标系解：如图：建立直角坐标系xOy ，使使A、B两点在两点在x轴上，并且坐标原轴上，并且坐标原点点O与线段与线段AB的中点重合。的中点重合。即即b2 =c2 a2 =44400所以所以 2c=800 ，c=400， 2a=680 ，a=340 因此炮弹爆因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为炸点的轨迹（双曲线）的方程为设设爆炸点爆炸点P的坐标为（的坐标为（x，y），则），则|PA|PB|=3402=680（x0）所以爆炸点在靠近所以爆炸点在靠近B 处的双曲线的一支上。处的双曲线的一支上。800C思考：如果再增加一点思考：如果再增加一点C，在，在A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在C地晚地晚2s，那么我们能不能确定爆炸点的位置？，那么我们能不能确定爆炸点的位置？探探 究究XY0ABM如图，点如图，点A，B的坐标分别是的坐标分别是（-5，0），（），（5，0），直线），直线AM，BM相交于点相交于点M，且它且它们的斜率之积是们的斜率之积是 ，试求点，试求点M的轨迹方程，并由点的轨迹方程，并由点M的轨的轨迹方程判断轨迹的形状，与迹方程判断轨迹的形状，与2.2例例3比较，你有什么发现？比较，你有什么发现？1. 1. 双曲线的定义、焦点、焦距概念；双曲线的定义、焦点、焦距概念；2. 2. 双曲线标准方程的两种形式及双曲线标准方程的两种形式及a a、b b、c c的关系：的关系：c c2 2=a=a2 2+b+b2 2小结小结 P54 2 P54 2作作 业业