第第1 1章章 函数与极限函数与极限引言引言1函数与极限PPT课件 (2)初等数学 研究对象为常量常量,以静止观点研究问题.高等数学 研究对象为变量变量,运动运动和辩证法辩证法进入了数学.一、什么是高等数学一、什么是高等数学 ?2函数与极限PPT课件 (2)1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分(上册)(下册)3. 常微分方程主要内容主要内容多元微积分3函数与极限PPT课件 (2)应用广泛、威力强大应用广泛、威力强大感受感受 微积分微积分是人类智慧最伟大的成就之一是人类智慧最伟大的成就之一是关于运动和变化的数学是关于运动和变化的数学是科学而优美的语言是科学而优美的语言4函数与极限PPT课件 (2)修完本课程，你将能修完本课程，你将能解释雨后彩虹的形成解释雨后彩虹的形成计算水坝承受的压力计算水坝承受的压力推算火箭逃逸的速度推算火箭逃逸的速度5函数与极限PPT课件 (2)二、如何学习高等数学二、如何学习高等数学 ? ?1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.2. 学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习 , 天才在于积累天才在于积累 .学而优则用学而优则用 , 学而优则创学而优则创 .由薄到厚由薄到厚 , 由厚到薄由厚到薄 .马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学.一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 .华罗庚华罗庚6函数与极限PPT课件 (2)关键：强化概念的理解！关键：强化概念的理解！方法：方法：“数值化数值化”“代数化代数化” “几何化几何化” 具体具体 准确准确 形象形象7函数与极限PPT课件 (2)习题册：习题册：大学数学标准化习题（四川大学出版社）8函数与极限PPT课件 (2)1.1 1.1 映射与函数映射与函数9函数与极限PPT课件 (2)分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁10函数与极限PPT课件 (2)元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合 M , 记作一、一、 集合集合1. 定义及表示法定义及表示法定义定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合集合.组成集合的事物称为元素元素.不含任何元素的集合称为空集空集 , 记作 . ( 或) .注注: M 为数集 表示 M 中排除 0 的集 ;表示 M 中排除 0 与负数的集 .11函数与极限PPT课件 (2)表示法：表示法：(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例例: 有限集合自然数集(2) 描述法： x 所具有的特征例例: 整数集合或有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数开区间闭区间12函数与极限PPT课件 (2)无限区间点的 邻域邻域其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .半开区间半开区间去心 邻域邻域左左 邻域邻域 :右右 邻域邻域 :13函数与极限PPT课件 (2)是 B 的子集子集 , 或称 B 包含 A ,2. 2. 集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义定义2 .则称 A若且则称 A 与 B 相等相等,例如 ,显然有下列关系 : , ,若设有集合记作记作必有14函数与极限PPT课件 (2)定义定义 3 . 3 . 并集交集且差集且给定两个集合 A, B,定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或15函数与极限PPT课件 (2)二、二、 映射映射1. 映射的概念映射的概念 某校学生的集合某校学生的集合学号的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合某教室座位某教室座位的集合的集合按一定规则入座引例引例1. 16函数与极限PPT课件 (2)引例引例2.2.引例引例3.(点集)(点集)向 y 轴投影17函数与极限PPT课件 (2)定义定义4.4.设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规则 f , 使得有唯一确定的与之对应 , 则称 f 为从 X 到 Y 的映射映射, 记作元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像像 , 记作元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像原像 .集合 X 称为映射 f 的定义域定义域 ;Y 的子集称为 f 的 值域值域 .注意注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . 18函数与极限PPT课件 (2)对映射若, 则称 f 为满射满射; 若有 则称 f 为单射单射;若 f 既是满射又是单射, 则称 f 为双射双射 或一一映射一一映射. 引例引例2, 3引例引例2引例引例219函数与极限PPT课件 (2)例例1. 如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射满射)例例2. 如图所示, 则有(满射满射)20函数与极限PPT课件 (2)X (数集 或点集 ) 说明说明: :在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集) f 称为X 上的泛函X ( ) X f 称为X 上的变换 R f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子. 名称. 例如, 21函数与极限PPT课件 (2)2. 2. 逆映射与复合映射逆映射与复合映射(1) 逆映射的定义 定义定义: 若映射为单射, 则存在一新映射使习惯上 ,的逆映射记成例如, 映射其逆映射为其中称此映射为 f 的逆映射 .22函数与极限PPT课件 (2)(2) (2) 复合映射复合映射手电筒D引例. 复合映射 23函数与极限PPT课件 (2)定义定义. . 则当由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复设有映射链记作合映射 ,时,或注意: 构成复合映射的条件 不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.24函数与极限PPT课件 (2)定义域三、函数三、函数1. 函数的概念函数的概念 定义定义4. 设数集则称映射为定义在D 上的函数 ,记为 f ( D ) 称为值域 函数图形函数图形:自变量因变量25函数与极限PPT课件 (2)例如, 反正弦主值定义域值域又如, 绝对值函数定义域值 域26函数与极限PPT课件 (2)例4. 已知函数已知函数求 及解解:函数无定义并写出定义域及值域 .定义域 值 域 27函数与极限PPT课件 (2)2. 2. 函数的几种特性函数的几种特性设函数且有区间(1) 有界性有界性使称 使称 说明说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )(2) 单调性单调性为有界函数.在 I 上有界. 使若对任意正数 M , 均存在 则称 f ( x ) 无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界当时,称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数 ;单调减函数 .28函数与极限PPT课件 (2)(3) (3) 奇偶性奇偶性且有若则称 f (x) 为偶函数;若则称 f (x) 为奇函数. 说明说明: 若在 x = 0 有定义 ,为奇函数奇函数时,则当必有例如, 偶函数双曲余弦 记29函数与极限PPT课件 (2)又如又如, ,奇函数双曲正弦 记再如,奇函数双曲正切 记30函数与极限PPT课件 (2)(4) (4) 周期性周期性且则称为周期函数 ,若称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为注注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数31函数与极限PPT课件 (2)3. 3. 反函数与复合函数反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质若函数为单射, 则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数 .其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增且也单调递增 性质: 32函数与极限PPT课件 (2)2) 函数与其反函数的图形关于直线对称 .例如 ,对数函数互为反函数 ,它们都单调递增, 其图形关于直线对称 .指数函数33函数与极限PPT课件 (2)(2) (2) 复合函数复合函数 则设有函数链称为由, 确定的复合函数 , 复合映射的特例 u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如例如, 函数链 :函数但函数链不能构成复合函数 .可定义复合34函数与极限PPT课件 (2)练习：下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?不是不是是是不是不是提示提示: (2)35函数与极限PPT课件 (2)两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 可定义复合函数:36函数与极限PPT课件 (2)4. 4. 初等函数初等函数(1) 基本初等函数幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数(2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .( 自学, P17 P21 )37函数与极限PPT课件 (2)非初等函数举例非初等函数举例: :符号函数当 x 0当 x = 0当 x 0取整函数当38函数与极限PPT课件 (2)练习：下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?以上各函数都是初等函数 .39函数与极限PPT课件 (2)例5. 求求的反函数及其定义域.解解: 当时,则当时,则当时,则反函数定义域为40函数与极限PPT课件 (2)四、小结四、小结1. 集合及映射的概念定义域对应规律3. 函数的特性有界性, 单调性,奇偶性, 周期性4. 初等函数的结构2. 函数的定义及函数的二要素41函数与极限PPT课件 (2)