第二十八讲数据的分析一、数据的代表一、数据的代表1.1.平均数平均数: :(1)(1)算算术术平均数平均数: :如果有如果有n n个数个数x x1 1,x,x2 2,x,xn n, ,那么那么= = . ._(2)(2)加加权权平均数平均数: :若若n n个数个数x x1 1,x,x2 2,x,x3 3,x,xn n的的权权分分别别是是1 1,2 2,3 3,n n, ,则则叫做叫做这这n n个数的加个数的加权权平均数平均数. ._2.2.中位数中位数: :将一将一组组数据按照从小到大数据按照从小到大( (或从大到小或从大到小) )的的顺顺序排列后序排列后, ,若有奇数个数若有奇数个数时时, ,则则取取_的一个数的一个数为为中位中位数数; ;若有偶数个数若有偶数个数时时, ,则则取中取中间间两个数的两个数的_为为中位中位数数. .3.3.众数众数: :一一组组数据中出数据中出现现_的数据的数据, ,称称为该组为该组数数据的众数据的众数. .中中间间平均数平均数次数最多次数最多二、数据的波二、数据的波动动方差方差:n:n个数据个数据x x1 1,x,x2 2,x,xn n的平均数的平均数为为 , ,则这组则这组数据的方数据的方差差为为s s2 2= .= ._【自我【自我诊诊断】断】( (打打“”“”或或“”)“”)1.1.中位数是一中位数是一组组数据中中数据中中间间位置的数位置的数. .( )( )2.2.某班体育委某班体育委员记录员记录了了7 7位女生位女生1 1分分钟钟仰卧起坐的个仰卧起坐的个数分数分别为别为28,38,38,35,35,38,48,28,38,38,35,35,38,48,这组这组数据的中位数数据的中位数为为38.38.( )( )3.3.若一若一组组数据数据-1,0,2,4,x-1,0,2,4,x的极差的极差为为7,7,则则x x的的值值是是-3.-3. ( )( )4.4.数据数据-2,-1,0,1,2-2,-1,0,1,2的方差是的方差是2.2.( )( )考点一考点一 平均数、中位数、众数的平均数、中位数、众数的计计算算 【考情分析】【考情分析】平均数、中位数、众数是刻画数据集中平均数、中位数、众数是刻画数据集中趋势趋势的的统计统计量量, ,在各地的中考在各地的中考试题试题是命是命题题的的热热点点, ,题题型型以以选择题选择题、填空、填空题为题为主主, ,也与也与统计统计的的图图表表题结题结合合综综合出合出题题. .命命题题角度角度1:1:平均数的平均数的计计算算【示范【示范题题1 1】(2017(2017聊城中考聊城中考) )为满为满足足顾顾客的需求客的需求, ,某商某商场场将将5kg5kg奶糖奶糖,3kg,3kg酥心糖和酥心糖和2kg2kg水果糖合称什水果糖合称什锦锦糖出售糖出售, ,已知奶糖的售价已知奶糖的售价为为每千克每千克4040元元, ,酥心糖每千酥心糖每千克克2020元元, ,水果糖水果糖为为每千克每千克1515元元, ,混合后什混合后什锦锦糖的售价糖的售价为为每千克每千克( () )A.25A.25元元B.28.5B.28.5元元C.29C.29元元D.34.5D.34.5元元【思路点拨】【思路点拨】先求出买先求出买5kg5kg奶糖奶糖,3kg,3kg酥心糖和酥心糖和2kg2kg水果水果糖的总钱数糖的总钱数, ,再除以总的斤数再除以总的斤数, ,即可得出混合后什锦糖即可得出混合后什锦糖的售价的售价. .【自主解答】【自主解答】选选C.C.根据题意得根据题意得:(405+203+152)(5+3+2)=29(:(405+203+152)(5+3+2)=29(元元).).命命题题角度角度2:2:中位数与众数的中位数与众数的计计算算【示范【示范题题2 2】(2017(2017临临沂中考沂中考) )某公司有某公司有1515名名员员工工, ,他他们们所在部所在部门门及相及相应应每人所每人所创创年利年利润润如下表所示如下表所示: :部部门门人人数数每人所每人所创创年利年利润润( (单单位位: :万元万元) )A A1 11010B B3 38 8C C7 75 5D D4 43 3这这1515名名员员工每人所工每人所创创年利年利润润的众数、中位数分的众数、中位数分别别是是 ( () )A.10,5A.10,5B.7,8B.7,8C.5,6.5C.5,6.5D.5,5D.5,5【思路点拨】【思路点拨】根据表格中的数据可以将这组数据按照根据表格中的数据可以将这组数据按照从小到大的顺序排列起来从小到大的顺序排列起来, ,从而可以找到这组数据的从而可以找到这组数据的中位数和众数中位数和众数. .【自主解答】【自主解答】选选D.D.由题意可得由题意可得, ,这这1515名员工的每人创名员工的每人创年利润从小到大排列为年利润从小到大排列为:3,3,3,3,5,5,5,5,5,5,5,8, :3,3,3,3,5,5,5,5,5,5,5,8, 8,8,10.8,8,10.这组数据的众数是这组数据的众数是5,5,中位数是中位数是5.5.命命题题角度角度3:3:平均数、中位数、众数与平均数、中位数、众数与统计图统计图表表【示范【示范题题3 3】(2017(2017南京中考南京中考) )某公司共某公司共2525名名员员工工, ,下表下表是他是他们们月收入的月收入的资资料料. .月收入月收入/ /元元45 45 00000018 18 00000010 10 0000005 5 5005004 4 8008003 3 4004003 3 0000002 2 200200人数人数1 11 11 13 36 61 111111 1(1)(1)该该公司公司员员工月收入的中位数是工月收入的中位数是_元元, ,众数是众数是_元元. .(2)(2)根据上表根据上表, ,可以算得可以算得该该公司公司员员工月收入的平均数工月收入的平均数为为62766276元元. .你你认为认为用平均数用平均数, ,中位数和众数中的哪一个反中位数和众数中的哪一个反映映该该公司全体公司全体员员工月收入水平工月收入水平较为较为合适合适? ?说说明理由明理由. .【思路点拨】【思路点拨】(1)(1)根据大小排列确定中间一个或两个根据大小排列确定中间一个或两个的平均数的平均数, ,得到中位数得到中位数, ,然后找到出现最多的为众数然后找到出现最多的为众数. .(2)(2)根据表格信息根据表格信息, ,结合中位数、平均数、众数说明即结合中位数、平均数、众数说明即可可. .【自主解答】【自主解答】(1)3400(1)340030003000(2)(2)本题答案不唯一本题答案不唯一, ,下列解法供参考下列解法供参考, ,例如例如, ,用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适. .在这组数据中有差异较大的数据在这组数据中有差异较大的数据, ,这会导致平均数不这会导致平均数不能反映平均水平能反映平均水平. .该公司员工月收入的中位数是该公司员工月收入的中位数是34003400元元, ,这说明除去收入为这说明除去收入为34003400元的员工元的员工, ,一半员工收入高于一半员工收入高于34003400元元, ,另一半员工收入低于另一半员工收入低于34003400元元. .因此因此, ,利用中位利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势数可以更好地反映这组数据的集中趋势. .而众数为而众数为30003000元元, ,只有一位员工的月收入比此值小只有一位员工的月收入比此值小, ,故故也不能反映该公司的平均水平也不能反映该公司的平均水平. .【答【答题题关关键键指指导导】 平均数、众数、中位数的概念及求法平均数、众数、中位数的概念及求法名称名称求法求法个数个数平均数平均数根据定根据定义义一一组组数据中的平均数是唯一的数据中的平均数是唯一的众数众数根据定根据定义义一一组组数据中数据中, ,可能不止一个众数可能不止一个众数, ,也可能没有众数也可能没有众数中位数中位数根据定根据定义义一一组组数据中的中位数是唯一的数据中的中位数是唯一的【变变式式训练训练】1.(20171.(2017威海中考威海中考) )某校排球某校排球队队1010名名队员队员的身高的身高( (厘米厘米) )如下如下:195,186,182,188,188,182,186,188, 186,188.:195,186,182,188,188,182,186,188, 186,188.这组这组数据的众数和中位数分数据的众数和中位数分别别是是( () )A.186,188A.186,188B.188,187B.188,187C.187,188C.187,188D.188,186D.188,186【解析】【解析】选选B.B.众数是出现次数最多的数众数是出现次数最多的数, ,故众数是故众数是188,188,数据由小到大排列后数据由小到大排列后, ,位于中间的两个数据是位于中间的两个数据是186186和和188,188,这两个数据的平均数是这两个数据的平均数是187,187,故中位数是故中位数是187.187.2.(20172.(2017德阳中考德阳中考) )截至截至20102010年年“菲菲尔尔兹奖兹奖”得主得主中最年中最年轻轻的的8 8位数学家位数学家获奖时获奖时的年的年龄龄分分别为别为29,28,29,29,28,29,31,31,31,29,31,31,31,31,29,31,则则由年由年龄组龄组成的成的这组这组数据的中位数数据的中位数是是( () )A.28A.28B.29B.29C.30C.30D.31D.31【解析】【解析】选选C.C.将这组数据从小到大排列将这组数据从小到大排列, ,可得这组数可得这组数据排列后的中间数为据排列后的中间数为2929和和31,31,所以中位数为所以中位数为30.30.考点二考点二 方差的方差的计计算及算及应应用用 【示范【示范题题4 4】(2017(2017枣枣庄中考庄中考) )如表如表记录记录了甲、乙、丙、了甲、乙、丙、丁四名跳高运丁四名跳高运动员动员最近几次最近几次选选拔拔赛赛成成绩绩的平均数与方的平均数与方差差: :甲甲 乙乙 丙丙 丁丁平均平均数数(cm)(cm)1 18 85 51 18 80 01 18 85 51 18 80 0方差方差3.3.6 63.3.6 67.7.4 48.8.1 1根据表中数据根据表中数据, ,要从中要从中选择选择一名成一名成绩绩好且好且发挥稳发挥稳定的运定的运动员动员参加比参加比赛赛, ,应该选择应该选择( () )A.A.甲甲B.B.乙乙C.C.丙丙D.D.丁丁【思路点拨】【思路点拨】首先比较平均数首先比较平均数, ,平均数相同时选择方平均数相同时选择方差较小的运动员参加差较小的运动员参加. .【自主解答】【自主解答】选选A. A. 从甲和丙中选择一人参加比赛从甲和丙中选择一人参加比赛, , 选择甲参赛选择甲参赛. .【答【答题题关关键键指指导导】 关于方差的常关于方差的常见题见题型型方差就是衡量一方差就是衡量一组组数据中心偏离程度大小的数据中心偏离程度大小的标标准准, ,在在样样本容量相同的情况下本容量相同的情况下, ,方差越大方差越大, ,说说明数据的波明数据的波动动越大越大, ,越不越不稳稳定定. .常常见见的的题题目目类类型有型有:(1):(1)在已知一在已知一组组数据数据方差大小的情况下方差大小的情况下, ,可直接比可直接比较较方差的大小方差的大小, ,作出判断作出判断.(2).(2)对对于已知一于已知一组组数据数据, ,可先根据方差的可先根据方差的计计算公式算公式, ,计计算算出方差出方差, ,再比再比较较方差大小方差大小, ,最后作出判断最后作出判断. .【变变式式训练训练】1.(20171.(2017菏菏泽泽中考中考) )某某兴兴趣小趣小组为组为了解我市气温了解我市气温变变化化情况情况, ,记录记录了今年了今年1 1月份月份连续连续6 6天的最低气温天的最低气温( (单单位位:):-:):-7,-4,-2,1,-2,2.7,-4,-2,1,-2,2.关于关于这组这组数据数据, ,下列下列结论结论不正确的是不正确的是( () )A.A.平均数是平均数是-2-2B.B.中位数是中位数是-2-2C.C.众数是众数是-2-2D.D.方差是方差是7 7【解析】【解析】选选D.D.A.A.平均数是平均数是-2,-2,结论正确结论正确, ,故故A A不符合题意不符合题意; ;B.B.中位数是中位数是-2,-2,结论正确结论正确, ,故故B B不符合题意不符合题意; ;C.C.众数是众数是-2,-2,结论正确结论正确, ,故故C C不符合题意不符合题意; ;D.D.方差是方差是9,9,结论错误结论错误, ,故故D D符合题意符合题意. .2.(20172.(2017德州中考德州中考) )某某专卖专卖店店专营专营某品牌的某品牌的衬衬衫衫, ,店主店主对对上一周中不同尺上一周中不同尺码码的的衬衬衫衫销销售情况售情况统计统计如下如下: :尺尺码码3 39 94 40 04 41 14 42 24 43 3平均每天平均每天销销售数量售数量/ /件件1 10 01 12 22 20 01 12 21 12 2该该店主决定本周店主决定本周进货时进货时, ,增加一些增加一些4141码码的的衬衬衫衫, ,影响影响该该店主决策的店主决策的统计统计量是量是( () )A.A.平均数平均数B.B.方差方差C.C.众数众数D.D.中位数中位数【解析】【解析】选选C.C.由于众数是数据中出现次数最多的数由于众数是数据中出现次数最多的数, ,故影响该店主决策的统计量是众数故影响该店主决策的统计量是众数. .3.(20173.(2017青青岛岛中考中考) )小明家小明家1 1至至6 6月份的用水量月份的用水量统计统计如如图图所示所示, ,关于关于这组这组数据数据, ,下列下列说说法法错误错误的是的是( () )A.A.众数是众数是6 6吨吨B.B.平均数是平均数是5 5吨吨C.C.中位数是中位数是5 5吨吨D.D.方差是方差是 【解析】【解析】选选C.C.这组数据的众数是这组数据的众数是6 6吨吨, ,平均数是平均数是5 5吨吨, ,这这组数据是组数据是4,6,3,5,6,6,4,6,3,5,6,6,按照由小到大的顺序排列为按照由小到大的顺序排列为3,4,5,6,6,6,3,4,5,6,6,6,其中位数其中位数 =5.5. =5.5.方差是方差是 . .4.(20174.(2017烟台中考烟台中考) )甲、乙两地去年甲、乙两地去年1212月前月前5 5天的日平天的日平均气温如均气温如图图所示所示, ,下列描述下列描述错误错误的是的是( () ) A.A.两地气温的平均数相同两地气温的平均数相同B.B.甲地气温的的中位数是甲地气温的的中位数是66C.C.乙地气温的众数是乙地气温的众数是44D.D.乙地气温相乙地气温相对对比比较稳较稳定定【解析】【解析】选选C.AC.A项项, ,由图读取数据由图读取数据, ,可计算两地平均气可计算两地平均气温都是温都是6,6,该项正确该项正确;B;B项项, ,将甲地气温按顺序重新排将甲地气温按顺序重新排列为列为:2,4,6,8,10,:2,4,6,8,10,所以中位数是所以中位数是6,6,该项正确该项正确;C;C项项, ,乙地气温的众数是乙地气温的众数是44和和8,8,该项错误该项错误;D;D项项, ,由图知乙由图知乙地极差小地极差小, ,所以乙地气温相对比较稳定所以乙地气温相对比较稳定, ,该项正确该项正确. .考点三考点三 平均数、中位数、众数、方差在平均数、中位数、众数、方差在实际实际生活中生活中的的应应用用 【示范【示范题题5 5】(2016(2016青青岛岛中考中考) )甲、乙两名甲、乙两名队员队员参加射参加射击训练击训练, ,成成绩绩分分别别被制成下列两个被制成下列两个统计图统计图: :根据以上信息根据以上信息, ,整理分析数据如下整理分析数据如下: :平均平均成成绩绩/ /环环中位中位数数/ /环环众众数数/ /环环方方差差甲甲a a7 77 71.1.2 2乙乙7 7b b8 8c c(1)(1)写出表格中写出表格中a,b,ca,b,c的的值值. .(2)(2)分分别别运用上表中的四个运用上表中的四个统计统计量量, ,简简要分析要分析这这两名两名队员队员的射的射击训练击训练成成绩绩. .若若选选派其中一名参派其中一名参赛赛, ,你你认为应选认为应选哪哪名名队员队员? ?【自主解答】【自主解答】(1)a=7,b=7.5,c=4.2.(1)a=7,b=7.5,c=4.2.(2)(2)根据表中数据可知根据表中数据可知, ,甲和乙的平均成绩相等甲和乙的平均成绩相等, ,乙的乙的中位数大于甲的中位数中位数大于甲的中位数, ,乙的众数大于甲的众数乙的众数大于甲的众数, ,说明说明乙的成绩好于甲的成绩乙的成绩好于甲的成绩; ;虽然乙的方差大于甲的方差虽然乙的方差大于甲的方差, ,但乙的成绩呈上升趋势但乙的成绩呈上升趋势, ,故应选乙队员故应选乙队员. .【答【答题题关关键键指指导导】 平均数、中位数、众数和方差平均数、中位数、众数和方差平均数、中位数和众数都是反映一平均数、中位数和众数都是反映一组组数据集中数据集中趋势趋势的的量量, ,平均数、中位数和众数所描述的角度不同平均数、中位数和众数所描述的角度不同, ,它它们们分分别别代表代表这组这组数据的数据的“一般水平一般水平”“”“中等水平中等水平”“”“多数多数水平水平”;”;而方差反映的是一而方差反映的是一组组数据的波数据的波动动范范围围. .方差是方差是用来衡量一用来衡量一组组数据波数据波动动大小的量大小的量, ,方差越大方差越大, ,表明表明这组这组数据偏离平均数越大数据偏离平均数越大, ,即波即波动动越大越大, ,数据越不数据越不稳稳定定; ;反之反之, ,方差越小方差越小, ,表明表明这组这组数据分布比数据分布比较较集中集中, ,各数据偏离平各数据偏离平均数越小均数越小, ,即波即波动动越小越小, ,数据越数据越稳稳定定. .【变变式式训练训练】(2017(2017潍潍坊中考坊中考) )甲、乙、丙、丁四名射甲、乙、丙、丁四名射击击运运动员动员在在选选拔拔赛赛中中, ,每人射每人射击击了了1010次次, ,甲、乙两人的成甲、乙两人的成绩绩如表所示如表所示, ,丙、丁两人的成丙、丁两人的成绩绩如如图图所示所示. .欲欲选选一名运一名运动员动员参参赛赛, ,从从平均数和方差两个因素分析平均数和方差两个因素分析, ,应选应选( () )甲甲乙乙平平均均数数9 9 8 8方方差差1 1 1 1A.A.甲甲B.B.乙乙C.C.丙丙D.D.丁丁【解析】【解析】选选C.C.由折线统计图可得由折线统计图可得, ,丙的平均数是丙的平均数是 =9, =9,方差是方差是0.4,0.4,丁的平丁的平均数是均数是 =8.2, =8.2,从平均数来从平均数来看应该从甲、丙中选择看应该从甲、丙中选择, ,再从方差来看选择丙参赛再从方差来看选择丙参赛. .