第一章第一章 基本概念基本概念1.1 1.1 集合集合1.2 1.2 映射映射1.3 1.3 数学归纳法数学归纳法1.4 1.4 整数的一些整除性质整数的一些整除性质1.5 1.5 数环和数域数环和数域课外学习课外学习1: 山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村 -评析数学进程中的三次危评析数学进程中的三次危机机在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。为重要。为重要。为重要。康托尔（康托尔（康托尔（康托尔（Cantor,Cantor,Cantor,Cantor,集合论的奠基人，集合论的奠基人，集合论的奠基人，集合论的奠基人，18451845184518451918191819181918）算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。-高斯（高斯（高斯（高斯（Gauss,1777-1855Gauss,1777-1855Gauss,1777-1855Gauss,1777-1855）数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被数可以说成是统治整个量的世界，而算术的四则可以被认为是作为数学家的完全的装备。认为是作为数学家的完全的装备。认为是作为数学家的完全的装备。认为是作为数学家的完全的装备。-麦斯韦麦斯韦麦斯韦麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)(James Clark Maxwell 1831-1879)(James Clark Maxwell 1831-1879)(James Clark Maxwell 1831-1879) 1.1集合集合内容分布内容分布1.1.1 集合的描述性定义集合的描述性定义1.1.2 集合的表示方法集合的表示方法1.1.3 集合的包含和相等集合的包含和相等1.1.4 集合的运算及其性质集合的运算及其性质教学目的教学目的 掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法掌握集合概念、运算、证明集合相等的一般方法重点、难点重点、难点 集合概念、证明集合相等集合概念、证明集合相等1.1.1 1.1.1 集合的描述性定义集合的描述性定义表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集表示一定事物的集体，我们把它们称为集合或集，如，如“一队一队”、“一班一班”、“一筐一筐”. . 组成集合的东西叫组成集合的东西叫这个集合的元素这个集合的元素. . 我们常用大写拉丁字母我们常用大写拉丁字母A，B，C，表示集合，用小表示集合，用小写拉丁字母写拉丁字母a，b，c，表示元素表示元素. 如果如果a是集合是集合A的元素，就说的元素，就说a属于属于A，记作，记作 ；或；或者说者说A包含包含a，记作，记作Aa如果如果a不是集合不是集合A的元素，就说的元素，就说a不属于不属于A，记作，记作 ；或者说或者说A不包含不包含a，记作，记作例如，设例如，设A是一切偶数所成的集合，那么是一切偶数所成的集合，那么4A， 而而 . 一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫一个集合可能只含有有限多个元素，这样的集合叫做有限集合做有限集合. 如，前十个正整数的集合；一个学校的如，前十个正整数的集合；一个学校的全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等全体学生的集合；一本书里面的所有汉字的集合等等这些都是有限集合等这些都是有限集合. 如果一个集合是由无限多个元如果一个集合是由无限多个元素组成的，就叫做无限集合素组成的，就叫做无限集合. 如，全体自然数的集合；如，全体自然数的集合；全体实数的集合；小于的全体有理数的集合等等都全体实数的集合；小于的全体有理数的集合等等都是无限集合是无限集合. 不含任何元素的集合叫空集不含任何元素的集合叫空集. 表示为：表示为：1.1.2 1.1.2 集合的表示方法集合的表示方法枚举法枚举法:例如例如,我们把一个含有我们把一个含有n个元素的集合的有限个元素的集合的有限集合集合 表示成：表示成： . 前五个正前五个正整数的集合就可以记作整数的集合就可以记作 .枚举仅用来表示有限集合枚举仅用来表示有限集合.拟枚举拟枚举: 自自然然数数的的集集合合可可以以记记作作 , 拟拟枚枚举举可可以以用用来来表表示示能能够够排排列列出出来来的的的的集集合合, 像像自然数、整数自然数、整数概括原则概括原则:如如果果一一个个集集A是是由由一一切切具具有有某某一一性性质质的的元元素所组成的，那么就用记号素所组成的，那么就用记号来来表表示示. 例例如如 表表示示一一切切大大于于-1且且小小于于1的的实实数数的所组成的集合的所组成的集合. 常用的数集：常用的数集：全体整数的集合，表示为全体整数的集合，表示为Z全体有理数的集合，表示为全体有理数的集合，表示为Q全体实数的集合，表示为全体实数的集合，表示为R全体复数的集合，表示为全体复数的集合，表示为C1.1.3 1.1.3 集合的包含和相等集合的包含和相等设设A A，B B是两个集合，如果是两个集合，如果A A的每一元素都是的每一元素都是B B的元素，那的元素，那么就说么就说是是的子集，记作的子集，记作 （读作（读作属于属于），或），或记作记作 （读作（读作包含包含）. . 根据这个定义，根据这个定义，是是的的的子集必要且只要对于每一个元素的子集必要且只要对于每一个元素x x，如，如果果 ，就有，就有 . . 例例如如，一一切切整整数数的的集集合合是是一一切切有有理理数数的的集集合合的的子子集集，而而后者又是一切实数的集合的子集后者又是一切实数的集合的子集. . A是是B的子集，记作：的子集，记作：如如果果A A不不是是B B的的子子集集，就就记记作作： 或或 . . 因因此此，A A不不是是B B的的子子集集，必必要要且且只只要要A A中中至至少少有有一一个个元元素素不不属属于于B B，即：，即：例如例如，一节可以用被有整除的整数所成的集合，不是一，一节可以用被有整除的整数所成的集合，不是一切偶数所成的集合的子集，因为切偶数所成的集合的子集，因为3 3属于前者但不属于后属于前者但不属于后者者. . 集合集合11，2 2，33不是不是22，3 3，4 4，55的子集的子集. . 根据定义，根据定义，一个集合一个集合A A总是它自己的子集总是它自己的子集，即：，即：如果集合如果集合A A与与B B的由完全相同之处的元素组成部分的，就的由完全相同之处的元素组成部分的，就说说A A与与B B相等，记作：相等，记作：A=BA=B. . 我们有我们有例如例如，设，设A A=1=1，22，B B是二次方程是二次方程 的根的根的集合，则的集合，则A=BA=B. . 1.1.4 1.1.4 集合的运算及其性质集合的运算及其性质并并运运算算 设设A A，B B是是两两个个集集合合. . 由由A A的的一一切切元元素素和和B B的的一一切切元元素素所所成成的的集集合合叫叫做做A A与与B B的的并并集集（简简称称并并），记记作作 . . 如图如图1 1所示所示. . AB例如例如，A=1，2，3，B =1，2，3，4，则，则又又例例如如，A是是一一切切有有理理数数的的集集合合，B是是一一切切无无理理数数的的集集合，则合，则 是一切实数的集合是一切实数的集合. 显然，显然，或或根据定义，我们有根据定义，我们有交运算交运算 由集合由集合A A与与B B的公共元素所组成的集合叫做的公共元素所组成的集合叫做A A与与B B的交集的交集( (简称交简称交) )，记作：，记作： ，如图，如图2 2所示所示. .显然，显然，例如，例如，A=1，2，3，4，B=2，3，4，5，则，则我们有我们有两个集合两个集合A与与B不一定有公共元素，我们就说它们的交不一定有公共元素，我们就说它们的交集是空集集是空集. 例如，例如，设设A是一切有理数的集合，是一切有理数的集合，B是一切无理数的集是一切无理数的集合，那么合，那么 就是空集就是空集. 又如方程又如方程 的实数的实数根的集合为空集根的集合为空集. 空集是任意集合的子集空集是任意集合的子集. 运算性质运算性质:交换律交换律 :; 结合律结合律 :; 分配律分配律 :我们选取一个来证明我们选取一个来证明.例例1 1 证明证明证明证明 设设 ，那么，那么 且且 ，于是，于是 且至少属于且至少属于B与与C 中的之一中的之一. 若若 ，那么因为，那么因为 ，所以，所以， ；同样，若；同样，若 ，则，则 . 不不论哪一种情形都有论哪一种情形都有 . 所以所以反之，若反之，若 ，那么，那么 或者或者 . 但但 ， ，所以不论哪一种情形都有，所以不论哪一种情形都有 ，所以，所以这就证明了上述等式这就证明了上述等式. 两个集的并与交的概念可以推广到任意两个集的并与交的概念可以推广到任意n个集合上去，个集合上去，设设 是给定的集合是给定的集合. 由由 的一切元的一切元素所成的集合叫做素所成的集合叫做 的并；由的并；由 的的一切公共元素所成的集合叫做的一切公共元素所成的集合叫做的 交交. 的并和交分别记为：的并和交分别记为： 和和 . 我们有我们有差运算：差运算：设设A A，B B是两个集合，令是两个集合，令也就是说，也就是说， 是由一切属于是由一切属于A但不属于但不属于B 的元素所组的元素所组成的，称为成的，称为A与与B 的差的差. 注意：并没有要求注意：并没有要求B是是A的子集的子集. 例如，例如，积运算：积运算：设设设设A A，B B是两个集合，令是两个集合，令称为称为A A与与B B的笛卡儿积（简称为积）的笛卡儿积（简称为积）. . 是一切元素对（是一切元素对（a a, , b b ）所成的集合，其中第一个）所成的集合，其中第一个位置的元素位置的元素a a取自取自A A，第二个位置的元素，第二个位置的元素b b取自取自B B. . 1 12 2 映射映射一、一、 内容分布内容分布1.2.1 映射的概念及例映射的概念及例1.2.2 映射的相等及像映射的相等及像1.2.3 映射的合成映射的合成1.2.4 单射、满射、双射单射、满射、双射二、二、 教学目的教学目的 掌握映射的概念, 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。三、三、 重点、难点重点、难点 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。1.2.1 1.2.1 映射的概念及例映射的概念及例定义定义1 设设A，B 是两个非空的集合，是两个非空的集合，A到到B 的一个映射的一个映射指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合指的是一个对应法则，通过这个法则，对于集合A中的中的每一个元素每一个元素 x，有集合，有集合B中一个唯一确定的元素中一个唯一确定的元素 y 与它与它对应对应. 用字母用字母f，g，表示映射表示映射. 用记号用记号 表示表示f 是是A到到B的一个映射的一个映射. 如果通过映射如果通过映射f，与，与A中元素中元素x对应的对应的B中元素是中元素是y，那么，那么就写作就写作 这时这时y 叫做叫做 x 在在f 之下的象，记作之下的象，记作 . 例例1 令令Z是一切整数的集合是一切整数的集合. 对于每一整数对于每一整数n，令，令 与它对应与它对应. 那那 f 是是Z到到Z的一个映射，的一个映射，例例2 令令R是一切实数的集合，是一切实数的集合，B是一切非负实数的集合是一切非负实数的集合 对于每一对于每一 ，令，令 与它对应；与它对应； 那么那么 f 是是R到到B的一个映射的一个映射. ，例例3 设设 这是这是A到到B的一个映射的一个映射. 例例4 设设A是一切非负被减数的集合，是一切非负被减数的集合，B是一切实数的集是一切实数的集 合合. 对于每一对于每一 ，令，令 与它对应与它对应. f 不是不是A 到到B的映射，的映射， 因为当因为当 时，时， 不能由不能由x唯一确唯一确 定定. 例例5 令令A=B等于一切正整数的集合等于一切正整数的集合. 不是不是A到到B的一个映射，因为的一个映射，因为 .例例6 设设A是任意是任意 一个集合，对于每一一个集合，对于每一 ，令，令 与它对应：与它对应：这自然是这自然是A到到A的一个映射，这个映射称为集合的一个映射，这个映射称为集合A的的恒等恒等映射映射. 注意注意: : A A与与B B可以是相同的集合，也可以是不同的集合可以是相同的集合，也可以是不同的集合 对于对于A A的每一个元素的每一个元素x x，需要，需要B B中一个唯一确定的元素与它对中一个唯一确定的元素与它对应应. . 一般说来，一般说来，B B中的元素不一定都是中的元素不一定都是A A中元素的象中元素的象. . A A中不相同的元素的象可能相同中不相同的元素的象可能相同. . 1.2.2 1.2.2 映射的相等及像映射的相等及像设设 是一个映射是一个映射. 对于对于 ，x的象的象 . 一一切这样的象作成切这样的象作成B的一个子集，用的一个子集，用 表示：表示： ，叫做叫做A在在f之下的象，或者叫做映射之下的象，或者叫做映射f的象的象. 例例7令令 ， . 那么那么 . 设设 ， 都是都是A到到B的映射，如果对于每一的映射，如果对于每一 ，都有，都有 ，那么就说映射，那么就说映射f与与g是相等的是相等的. 记作记作1.2.3 1.2.3 映射的合成映射的合成设设 是是A到到B 的一个映射，的一个映射， 是是B 到到C 的的一个映射一个映射. 那么对于每一个那么对于每一个 ，因而是，因而是C中的一中的一个元素个元素. 因此，对于每一因此，对于每一 ，就有，就有C 中唯一的确定中唯一的确定的元素的元素 与它对应，这样就得到与它对应，这样就得到A到到C 的一个映射，的一个映射，这映射是由这映射是由 和和 所决定的，称为所决定的，称为 f 与与g 的合成（乘积），记作的合成（乘积），记作 . 于是有于是有 对于一切对于一切 ,f 与与g 的合成可以用下面的图示意：的合成可以用下面的图示意：fgABC例例8 8 设设那么那么 例例9 9 设设 A=1，2，3 那么那么 设给映射设给映射 ， ， ，有，有 . 但是，一般情况下但是，一般情况下 ， 设设A是非空集合是非空集合 ， 称为设称为设A上的上的 恒等映射。恒等映射。设设A，B是两个非空集合，用是两个非空集合，用 和和 表示表示A和和B的恒等映的恒等映射射. 设设 是是A到到B的一个映射的一个映射. 显然有：显然有： ， .1.2.4 1.2.4 单射、满射、双射单射、满射、双射定义定义2 2 设设f f 是是A A到到B B的一个映射，如果，那么说的一个映射，如果，那么说称称f f 是是A A到到B B上的一个映射，这里也称上的一个映射，这里也称f f 是一个满映射，简称是一个满映射，简称满射满射. . 是满射必要且只要对于是满射必要且只要对于B中的每一元素中的每一元素y，都，都有有A中元素中元素x 使得使得 . 关于映射，只要求对于关于映射，只要求对于A中的每一个元素中的每一个元素x，有，有B中的一中的一个唯一确定的元素个唯一确定的元素y与它对应，但是与它对应，但是A中不同的元素可以中不同的元素可以有相同的象有相同的象. 定义定义3 设设 是一个映射，如果对于是一个映射，如果对于A中任意两个中任意两个元素元素 和和 ，只要，只要 ，就有，就有 ，那么就称，那么就称f是是A到到B的一个单映射，简称单射的一个单映射，简称单射. 如果既是满射，又是单射，即如果如果既是满射，又是单射，即如果f 满足下面两个条件，满足下面两个条件， 对于一切，那么就称对于一切，那么就称f 是是A 到到B 的一个双射的一个双射. 一个有限集集合的一个有限集集合的A到自身的双射到自身的双射 叫做叫做A的一个置换的一个置换. 定理定理1.2.1 令令 是集合是集合A 到到B 的一个映射的一个映射. 那么以那么以下两个条件是等价的：下两个条件是等价的： f是一个双射；是一个双射； 存在存在B到到A的一个映射的一个映射g ，使得，使得 ， 再者，当条件再者，当条件成立时，映射成立时，映射g是由是由f 唯一确唯一确 定的定的. 证证 如果如果成立成立. 因为因为f 是满射，所以对于是满射，所以对于B的每一个的每一个y，有有 ，使得，使得 又因为又因为f 是单射，所以这个是单射，所以这个x 是由是由y唯一确定的：即如果唯一确定的：即如果还有还有 使得使得 ，那么，那么 . 我们规定我们规定，如果，如果 . 则则g g是是B B到到A A的一个映射的一个映射. . 设设 . 而而 . 我们有我们有 所以所以 . 设设 ，而，而 . 那么那么 . 于是于是所以所以 . 故故成立成立. 反过来，设反过来，设成立成立. 先证明先证明f 是满射是满射. 设设 ，令，令 . 由于由于 ，所以，所以即即f是是满射满射. 再证再证f 是单射设是单射设 而而 由于由于 ，所以，所以这说证明了这说证明了f 是单射是单射. 因此，因此，f 是是A到到B 的双射的双射. 最后，设最后，设成立成立. 令令 和和 都具有性质都具有性质:， 那么由那么由和和，我们有，我们有 所以所以 g 是由是由 f 唯一确定的唯一确定的. 定理被证明定理被证明. ， 设设f 是是A到到B的一个映射，我们把满足定理的一个映射，我们把满足定理1.2.1条件条件的的映射映射 叫做叫做f 的逆映射的逆映射. 由定理由定理1.2.1，一个映射，一个映射不一定有逆映射，然而如果映射不一定有逆映射，然而如果映射 有逆映射的有逆映射的话，逆映射是由话，逆映射是由 f 唯一确定的，以后把唯一确定的，以后把 f 的逆映射记的逆映射记作作 . 有有 因此，由定理因此，由定理1.2.1， 也是一个双射，并且也是一个双射，并且f 就就是是 的逆映射，即的逆映射，即 . 如果存在集合如果存在集合A到集合到集合B的一个双射，我们有时候也说，的一个双射，我们有时候也说，在在A与与B的元素之间存在着一一对应的元素之间存在着一一对应. 例例10 设设A是一切非负实数所成的集合；是一切非负实数所成的集合；f 是是A到到B 的一个映射，因为当的一个映射，因为当 时，时， ，并，并且是由且是由x 唯一确定的唯一确定的. 我们证明，我们证明，f 是一个双射是一个双射. 设设 . 取取 因为因为 ，所以，所以 ，且，且 ，所以，所以 . 有有 所以所以f 是满射是满射. 设设 而而 . 那么那么 由此由此 ，所以，所以f 是单射是单射. 于是由定理于是由定理1.2.1，f 有逆映射有逆映射. 易验证，易验证， 一般地，设一般地，设A是一个非空的是一个非空的集合，把集合，把AA到到A的一个映的一个映射叫做集合射叫做集合A的一个代数运的一个代数运算算. 1.3 1.3 数学归纳法数学归纳法内容分布内容分布1.3.11.3.1最小数原理最小数原理1.3.21.3.2数学归纳法的依据数学归纳法的依据教学目的教学目的掌握映射的概念掌握映射的概念, , 映射的合成，满射、单射、可映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。逆映射的判断。重点、难点重点、难点 映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。1.3.1 最小数原理最小数原理数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质质最小数原理最小数原理. 最小数原理最小数原理 正整数集正整数集 的任意一个非空子集的任意一个非空子集S必含有必含有一个最小数，也就是这样一个数一个最小数，也就是这样一个数 ，对任意，对任意 都都有有 . 其中其中 表示全体正整数表示全体正整数 的集合的集合. 1 最小数原理并不是对于任意数集都成立的最小数原理并不是对于任意数集都成立的2 设设c是任意一个整数，令是任意一个整数，令注意注意那么经代替正整数集那么经代替正整数集 ，最小数原理对于，最小数原理对于 仍然成仍然成立立. 也就是说，也就是说， 的任意的任意 一个非空子集必含有一个最一个非空子集必含有一个最小数，特别，小数，特别，N的任意一个非空了集必含有一个最小的任意一个非空了集必含有一个最小数数. 这个原理的一般形式就是数学分析中的下（上）确界这个原理的一般形式就是数学分析中的下（上）确界原理。原理。1.3.21.3.2数学归纳法的依据数学归纳法的依据定理定理1.3.11.3.1（数学归纳法原理）（数学归纳法原理） 设有一个与正整数设有一个与正整数n n有关的命题有关的命题. . 如果如果 当当n=1n=1时时. . 命题成立；命题成立； 假设当假设当n=k n=k 时命题成立，当时命题成立，当n= k+1 n= k+1 时命题也成时命题也成 立；那么这个命题对于一切正整数立；那么这个命题对于一切正整数n n都成立都成立. . 证证 设命题对于一切正整数都成立设命题对于一切正整数都成立. 令令S表示使命题不成表示使命题不成立的正整数所成的集合立的正整数所成的集合. 那么那么 . 于是，由最小数原于是，由最小数原理，理，S中有最小数中有最小数h .因为命题对于因为命题对于n=1成立，所以成立，所以 从而从而h-1是一下正整数是一下正整数. 因为因为h是是S中最小的数，所以中最小的数，所以 . 这就是说当这就是说当n=h-1时，命题成立时，命题成立. 于是由于是由，当，当n=h时时命题也成立命题也成立. 因此因此 . 这就导致矛盾这就导致矛盾. 例例1 证明，当证明，当 时，时，n 边形的内角和等于边形的内角和等于(n-2).证证 当当n=3 时，命题成立时，命题成立. 因为三角形的内角和等于因为三角形的内角和等于= (3-2).假设时命题成立假设时命题成立. 任意一个任意一个k+1多边形多边形 ，联，联结结 ，那么，那么 的内角和就等于三角形的内角和就等于三角形 的内角和加上的内角和加上k边形边形 的内角和的内角和. 前者等于前者等于，后者由归纳法假定，等于后者由归纳法假定，等于(k-2). 因此因此k+1多边形多边形 的内角和等于的内角和等于+(k-2)=(k-1)=(k+1)-2). 命题得证命题得证. 定理定理1.3.2（第二数学归纳法）（第二数学归纳法） 设有一个与正整数设有一个与正整数n有关有关的命题的命题. 如果如果 当当n=1时命题成立；时命题成立； 假设命题对于一切小于假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则命题的自然数来说成立，则命题对于对于k也成立；也成立；那么命题对于一切自然数那么命题对于一切自然数n来说都成立来说都成立.数学归纳法可以推广到良序集合上，即所谓超限归纳原数学归纳法可以推广到良序集合上，即所谓超限归纳原理。理。1.4 1.4 整数的一些整除性质整数的一些整除性质一、内容分布一、内容分布 1.4.1 整除与带余除法整除与带余除法 1.4.2 最大公因数最大公因数 1.4.3 互素互素 1.4.4 素数的简单性质素数的简单性质二、教学目的二、教学目的 1.理解和掌握整除及其性质。理解和掌握整除及其性质。 2.掌握最大公因数性质、求法。掌握最大公因数性质、求法。 3.理解互素、素数的简单性质。理解互素、素数的简单性质。三、重点、难点三、重点、难点 整除、最大公因数性质、互素有关的证明整除、最大公因数性质、互素有关的证明 。1.4.1 1.4.1 整除与带余除法整除与带余除法 设设a，b是两个整数，如果存在一个整数是两个整数，如果存在一个整数d，使得，使得b=ad，那么就说那么就说a整除整除b（或者说（或者说b被被a整除）。用符号整除）。用符号a | b表示表示a整除整除b。这时。这时a叫做叫做b 的一个因数，而的一个因数，而b叫做叫做a的一个倍的一个倍数。如果数。如果a不整除不整除b，那么就记作，那么就记作 . 整除的基本性质：整除的基本性质： 每一个整数都可以每一个整数都可以1和和 - 1整除。整除。 每一个整数每一个整数a都可以被它自己和它的相反数都可以被它自己和它的相反数 - a整除整除 定理定理1.4.1（带余除法）（带余除法） 设设a，b 是整数且是整数且 ，那么，那么存在一对整数存在一对整数q和和r，使得，使得满足以上条件整数满足以上条件整数q和和r 的唯一确定的。的唯一确定的。证证 令令 。因为。因为 ，所以，所以S 是是N 的一个非空子集。根据最小数定理（对于的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），），S 含有含有一个最小数。也就是说，存在一个最小数。也就是说，存在 ，使得，使得r=b-aq是是S 中中最小数。于是最小数。于是b=aq+r，并且，并且 。如果。如果 ，那么，那么 ，而，而 所以所以 。这是与。这是与r是是S中最小数的事实矛盾。中最小数的事实矛盾。因此因此 . 假设还假设还 ，使得，使得 于是就有于是就有 。如果。如果 那么那么由此或者由此或者 ，或者，或者 。不论是哪。不论是哪一种情形，都将导致矛盾。这样必须一种情形，都将导致矛盾。这样必须 ，从而，从而 ，也就是说，也就是说 1.4.2 1.4.2 最大公因数最大公因数设设a，b是两个整数，满足下列条件的整数是两个整数，满足下列条件的整数 d 叫做叫做a与与b的的最大公因数：最大公因数： ； 。 如果如果 一般地，设一般地，设 是是n 个整数。满足下列条件的整个整数。满足下列条件的整数数d 叫做叫做 的一个最大公因数：的一个最大公因数： 定理定理1.4.2 任意任意 个整数个整数 都有最大公都有最大公因数。如果因数。如果d是是 的一个最大公因数，那么的一个最大公因数，那么 - d 也是一个最大公因数；也是一个最大公因数； 的两个最大公因数至的两个最大公因数至多只相差一个符号。多只相差一个符号。证证 由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断是明显的。论断是明显的。现证，任意现证，任意n个整数个整数 有最大公因数。如果有最大公因数。如果 ，那么，那么0显然就是显然就是 的最大公的最大公因数，设因数，设 不全为零。考虑不全为零。考虑Z 的子集的子集 I 显然不是空集，因为对于每一个显然不是空集，因为对于每一个i 又因为又因为 不全为零，所以不全为零，所以I 含有非零整数。因含有非零整数。因此此是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理，是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理， 有有一个最小数一个最小数d。我们说，。我们说，d 就是就是 的一个最大公的一个最大公因数。因数。 首先，因为首先，因为 ，所以，所以d 0并且并且d 有形式有形式又由带余除法，有又由带余除法，有 定理定理1.4.3 设设d是是 的一个最大公因数。那么存的一个最大公因数。那么存在整数在整数 ，使得，使得 。如果某一如果某一 ，如，如 ，那么，那么 而而 。这与。这与d是是 中的最小数的事实矛盾。这样，中的最小数的事实矛盾。这样，必须所有必须所有 ，即，即 。 另一方面，如果另一方面，如果 。那么。那么 。这就证明。这就证明了了d 是是 的的一个最大公因数。一个最大公因数。 证证 若若 ，那么，那么d = 0，定理显然成立。，定理显然成立。设设 不全为零，由定理不全为零，由定理1.4.2的证明，知的证明，知 ，.因而存在因而存在 ，使得，使得 。 1.4.3 互素互素设设a，b是两个整数，如果是两个整数，如果（a, b）=1，那么就说，那么就说a与与b互互素。一般地，素。一般地， 是是n个整数，如果个整数，如果 ，那么就说，那么就说这这n个整数个整数 互素。互素。 （1 1） 定理定理1.4.4 n 个整数个整数 互素的充分且必要条件是互素的充分且必要条件是存在整数存在整数 ，使得，使得 证证 如果如果 互素，互素， 那么由定理那么由定理1.4.2立即得到等立即得到等式（式（1）成立。反过来，设等式（）成立。反过来，设等式（1）成立。令）成立。令 。那么。那么c能整除（能整除（1）式中的左端。所以）式中的左端。所以c | 1，因此，因此c =1,即即 。1.4.4 1.4.4 素数的简单性质素数的简单性质一个正整数一个正整数p1叫做一个素数，如果除叫做一个素数，如果除1和和p外，没有外，没有其它因数。其它因数。定理定理1.4.5 一个素数如果带队两个整数一个素数如果带队两个整数a 与与b的乘积，那的乘积，那么它至少整除么它至少整除a 与与b中的一个。中的一个。证证 设设p是一个素数，如果是一个素数，如果p | ab，但，但 ，由上面所指，由上面所指出的素数的性质，必定有出的素数的性质，必定有（p, a）=1。于是由定理。于是由定理1.4.4，存在整数，存在整数s 和和t 使得使得 sp + ta = 1两边同乘以两边同乘以b ：spb + tab =b .左边的第一项自然能被左边的第一项自然能被p整除；又因为整除；又因为p | ab，所以左边，所以左边第二项也能被第二项也能被p整除。于是整除。于是p整除左边两项的和，从而整除左边两项的和，从而p | b. 1.5 1.5 数环和数域数环和数域定义定义1 设设S是复数集是复数集C的一个非空子集，如果对于的一个非空子集，如果对于S中任中任意两个数意两个数a, b 来说，来说，a +b, a b, ab 都在都在S内，那么就称内，那么就称S是一个数环。是一个数环。例例1取定一个整数取定一个整数a ，令，令 那么那么S是一个数环。事实上，是一个数环。事实上，S显然不是空集。显然不是空集。 设设 。那么。那么如取如取a =2，那么，那么S就是全体偶数所组成的数环。就是全体偶数所组成的数环。 例例2令令 . S显然不是空集，如显然不是空集，如果果 ，那么，那么定义定义2 2 设设F F 是一个数环，如果是一个数环，如果 F 含有一个不等于零的数；含有一个不等于零的数； 如果，如果，那么就称那么就称F 是一个数域。是一个数域。例例3令令 ，则，则F是一个数域。首先，是一个数域。首先，容易看出，容易看出，F是一个数环，并且是一个数环，并且 ，所以，所以成立。成立。现设现设 ，那么，那么 。否则当。否则当d =0 的情的情形将得出形将得出c = 0，这与，这与 矛盾；在矛盾；在 的情形将的情形将得出得出 这与是无理数矛盾。因此这与是无理数矛盾。因此这就证明了这就证明了F 是一个数域。是一个数域。定理定理1.5.11.5.1 任何数域都包含有理数域任何数域都包含有理数域Q Q。证证 设设F 是一个数域。那么由条件是一个数域。那么由条件，F 含有一逐步形含有一逐步形成不等于成不等于0的数的数a ，再由条件，再由条件， 。用。用1 和它自己和它自己重复相加，可得全体正整数，因而全体正整数都属于重复相加，可得全体正整数，因而全体正整数都属于F。另一方面，另一方面， ，所以，所以F也含有也含有0与任一正整数与任一正整数的差，亦即全体负整数。因为的差，亦即全体负整数。因为F含有全体整数。这样，含有全体整数。这样，F 也含有用意两个整数的商（分母不为也含有用意两个整数的商（分母不为0），因而，），因而，F 含含有一切有理数。有一切有理数。