1.3 正方形的性质与判定第一章 特殊平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时 正方形的判定1掌握正方形的判定方法（重点）2会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 . .(难点)学习目标问题1：什么是正方形？正方形有哪些性质？ABCD正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.正方形性质：四个角都是直角; 四条边都相等; 对角线相等且互相垂直平分.O导入新课导入新课问题2：你是如何判断是矩形、菱形？平行四边形矩形菱形四边形三个角是直角四条边相等定义三个判定定理定义对角线相等定义对角线垂直正方形判定的定理一动一动：过点A作射线AM的垂线AN,分别在AM , AN上取点B , D ,使AB=AD ,作DCAB , BCAD ,得四边形ABCD.AMNBDC问题1：上面所画四边形ABCD是正方形吗？为什么？讲授新课讲授新课想一想：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形展开后是个正方形？（1）（2）（3）（4）菱形问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？矩形正方形一组邻边相等对角线互相垂直问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？正方形一个角是直角对角线相等 1.对角线相等的菱形是正方形.2.对角线垂直的矩形是正方形.3.有一个角是直角的菱形是正方形.定理正方形判定的两条途径：正方形正方形+先判定菱形先判定矩形矩形条件菱形条件(1)(2)一个直角对角线相等一组邻边相等对角线垂直例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分ABC , CE平分DCB , BFCE , CFBE.求证：四边形BECF是正方形.正方形判定定理的应用二典例精析FABECD解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形；再由一个直角，得出是矩形；最后由一组邻边相等可得正方形；4545FABECD证明: BFCE,CFBE， 四边形BECF是平行四边形. 四边形ABCD是矩形, ABC = 90, DCB = 90, BE平分ABC, CE平分 DCB, EBC = 45, ECB = 45, EBC = ECB . EB=EC, BECF是菱形 . 在EBC中 EBC = 45,ECB = 45, BEC = 90, 菱形BECF是正方形.例2：已知：如图所示,在RtABC中, C=90 , BAC , ABC的平分线于点D , DEBC于点E , DFAC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.证明: 如图所示,过点D作DGAB于点G.DFAC , DEBC ,DFC=DEC=90.又C=90,四边形CEDF是矩形 （有三个角是直角的四边形是矩形）.AD平分BAC , DFAC , DGAB.DF=DG. 同理可得 DE=DG , DE=DF.四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.CEBAFDG例3：如图，EG,FH过正方形ABCD的对角线的交点O,且EGFH.求证：四边形EFGH是正方形.证明：四边形ABCD为正方形,OB=OC,ABO=BCO =45,BOC=90=COH+BOH.EGFH,BOE+BOH=90,COH=BOE,CHO BEO, ,OE=OH.同理可证：OE=OF=OG,BACBOEHGFOE=OF=OG=OH.又EGFH,四边形EFGH为菱形.EO+GO=FO+HO ,即EG=HF,四边形EFGH为正方形.BACBOEHGF做一做：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形是平行四边形.顺次连接矩形、正方形各边中点能得到怎样的特殊平行四边形？ABCDABCDABCD矩形正方形任意四边形平行四边形菱形正方形EFGHEFGHEFGH中点四边形三总结归纳常见中点四边形比较1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形2四个内角都相等的四边形一定是（ ） A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.平行四边形DC当堂练习当堂练习3.如图，在四边形ABCD中, AB=BC ,对角线BD平分ABC , P是BD上一点,过点P作PM AD , PN CD ,垂足分别为M、N. (1) 求证： ADB= CDB; (2) 若 ADC=90,求证：四边形MPND是正方形.CABDPMN证明：（1）AB = BC,BD平分ABC. 1=2. ABDCBD (AAS). ADB=CDB.12CABDPMN（2）ADC=90; 又PMAD,PNCD; PMD=PND=90. 四边形NPMD是矩形. ADB=CDB; ADB=CDB=45. MPD=NPD=45. DM=PM,DN=PN. 四边形NPMD是矩形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.有一个角是90（或对角线互相垂直）有一对邻边相等（或对角线相等） 平行四边形矩形菱形正方形一组邻边相等且一个内角为直角（或对角线互相垂直平分且相等）有一个角是90（或对角线互相垂直）有一对邻边相等（或对角线相等） 课堂小结课堂小结