20、本钱最小化、本钱最小化Cost Minimization20.1 本钱最小化本钱最小化s.t.求解可得：，被称为，被称为有条件的要素需求函数或派生的要素需求有条件的要素需求函数或派生的要素需求conditional demands for inputs 1 and 2。留意与利润最大化的要素需求的区别。留意与利润最大化的要素需求的区别。本钱函数本钱函数本钱函数本钱函数c(w1,w2,y)就是指当要素价钱为就是指当要素价钱为w1,w2 时，消费时，消费y单位产量的最小本钱。单位产量的最小本钱。等本钱线等本钱线Iso-cost Linesn一切本钱相等的要素投入组合点的轨迹。一切本钱相等的要素投入组合点的轨迹。经整理可得：经整理可得：斜斜 率：率： -w1/w2纵截距：纵截距：c/ w2c w1x1+w2x2c w1x1+w2x2c cx1x2Slopes = -w1/w2.n本钱最小化问题可重新表述为：求出本钱最小化问题可重新表述为：求出等产量线上的某一点使之与尽最低的等产量线上的某一点使之与尽最低的等本钱线相联络。等本钱线相联络。x1x2f(x1,x2) yx1*x2*最优选择等本钱线斜率w1/w2等产量曲线最优条件：最优条件：柯布道格拉斯消费函数柯布道格拉斯消费函数求使其本钱最小化的要素投入组合。求使其本钱最小化的要素投入组合。知 (x1*,x2*) 满足以下两个条件：满足以下两个条件：ab(a)(b)由由 (b)可知可知,将其代入将其代入a可得：可得：(a)(b)由由 (b)可知可知,将其代入将其代入a可得：可得：这是企业对要素这是企业对要素2的条件需求。的条件需求。由由是企业对要素是企业对要素1的条件需求。的条件需求。可知要素的条件需求曲线要素的条件需求曲线x1x2yyy产量扩展曲线产量扩展曲线yyy几个例子几个例子完全替代完全替代完全互补完全互补柯布道格拉斯技术柯布道格拉斯技术完全互补技术完全互补技术最小本钱将是：x1x2min4x1,x2 y4x1 = x2x1x24x1 = x2min4x1,x2 yx1x2 x1*= y/4x2* = y4x1 = x2min4x1,x2 y完全替代技术完全替代技术x1x2假设，厂商只用要素，厂商只用要素2x1x2假设，厂商只用要素，厂商只用要素1柯布道格拉斯技术柯布道格拉斯技术其本钱函数为：其本钱函数为：20.2 显示的本钱最小化显示的本钱最小化n假设有两组要素价钱和，假定上述两种选择都消费同样的产量y,假设每种选择都属于本钱最小化的选择，那么有：与此相关的厂商的选择为和12假设厂商总是选择本钱最小的方法消费假设厂商总是选择本钱最小的方法消费y单位单位的产量，那么式的产量，那么式1和和2必定满足。这被称为必定满足。这被称为本钱最小化弱公理本钱最小化弱公理WACM。n将式将式2左右两边乘以左右两边乘以1，加到式，加到式1上，整理可得：上，整理可得：3假假设设，式，式3就变成：就变成：这阐明要素这阐明要素1的有条件的要素需求曲线向下倾斜。的有条件的要素需求曲线向下倾斜。本钱的变化本钱的变化n一种要素价钱的上升会使本钱上升一种要素价钱的上升会使本钱上升n产量的添加会使本钱上升产量的添加会使本钱上升x1x2x1*x2*20.3 规模报酬和本钱函数规模报酬和本钱函数n厂商技厂商技术的的规模模报酬特性决酬特性决议了平均本了平均本钱函数。函数。n假假设一个追求本一个追求本钱最小化的厂商初始最小化的厂商初始产量量为y。n问题：假：假设产量添加量添加为2y ，厂商的平均，厂商的平均本本钱如何如何变化？化？不变的规模报酬和平均本钱不变的规模报酬和平均本钱n在不在不变的的规模模报酬技酬技术下，下，产量加倍，量加倍，要求一切的要素投入量也加倍。要求一切的要素投入量也加倍。n总本本钱加倍。加倍。nACTC/y坚持不持不变。规模报酬递减和平均本钱规模报酬递减和平均本钱n在在递减的减的规模模报酬技酬技术下，下，产量加倍，量加倍，要求一切的要素投入量添加大于要求一切的要素投入量添加大于2倍。倍。n总本本钱的添加超越的添加超越2倍。倍。nACTC/y递增。增。规模报酬递增和平均本钱规模报酬递增和平均本钱n在在递增的增的规模模报酬技酬技术下，下，产量加倍，量加倍，要求一切的要素投入量小于要求一切的要素投入量小于2倍。倍。n总本本钱的添加小于的添加小于2倍。倍。nACTC/y递减。减。y规模报酬递减规模报酬递减AC(y)规模报酬不变规模报酬不变规模报酬递增规模报酬递增递减的规模报酬和总本钱递减的规模报酬和总本钱y$y2yc(y)c(2y)斜率斜率 = c(2y)/2y = AC(2y).斜率斜率 = c(y)/y = AC(y).y$y2yc(y)c(2y)c(y)y$y2yc(y)c(2y) 斜率斜率 = c(2y)/2y = AC(2y). 斜率斜率 = c(y)/y = AC(y).递增的规模报酬和总本钱递增的规模报酬和总本钱y$y2yc(y)c(2y)c(y)y$c(y)y2yc(y) c(2y)=2c(y) 斜率斜率 = c(2y)/2y = 2c(y)/2y = c(y)/yAC(y) = AC(2y).不变的规模报酬和总本钱不变的规模报酬和总本钱20.4 长期本钱和短期本钱长期本钱和短期本钱n短期本钱函数指在只需可变消费要素可短期本钱函数指在只需可变消费要素可以调整的情况下，消费既定程度的产量以调整的情况下，消费既定程度的产量的最小本钱；的最小本钱；n长期本钱函数表示在一切消费要素都可长期本钱函数表示在一切消费要素都可调整的情况下，消费既定产量的最小本调整的情况下，消费既定产量的最小本钱。钱。n长期本钱最小化问题：长期本钱最小化问题：n短期本钱最小化问题：短期本钱最小化问题：长期本钱函数长期本钱函数S.t .S.t .n要素要素1的短期要素需求函数为：的短期要素需求函数为： 这阐明按任何既定的要素价钱和产量选择厂商所这阐明按任何既定的要素价钱和产量选择厂商所能雇佣的工人数量通常取决于工厂的规模。能雇佣的工人数量通常取决于工厂的规模。n长期要素需求函数为：长期要素需求函数为：长期本钱函数为：长期本钱函数为：n短期本短期本钱最小最小问题实践上是在的践上是在的约束条件下求束条件下求长期本期本钱最小。最小。n长期本期本钱函数可以写成：函数可以写成：n表示当一切要素都可表示当一切要素都可变动时的最小本的最小本钱，恰好就是要素恰好就是要素2固定在使固定在使长期本期本钱最小化的最小化的程度上程度上时的最小本的最小本钱。短期本钱函数与长期本钱函数的关系短期本钱函数与长期本钱函数的关系n假设厂商对要素假设厂商对要素2的长期选择恰好是，那的长期选择恰好是，那么消费产量么消费产量y所需的长期总本钱和短期总本所需的长期总本钱和短期总本钱一样。钱一样。n假设厂商对要素假设厂商对要素2的长期选择不是，那么的长期选择不是，那么在短期约束条件将妨碍厂商到达长在短期约束条件将妨碍厂商到达长期消费本钱，从而导致消费一样的产量期消费本钱，从而导致消费一样的产量y,厂厂商的短期消费本钱大于长期消费本钱。商的短期消费本钱大于长期消费本钱。x1x2yyy长期产量扩展曲线长期产量扩展曲线长期本钱长期本钱x1x2yyy长期产量扩展曲线长期产量扩展曲线x1x2yyy短期产量扩展曲线短期产量扩展曲线短期本钱x1x2yyy短期产量扩展曲线短期产量扩展曲线短期本钱短期本钱长期本钱：长期本钱：短期本钱：短期本钱：n短期总本钱大于长期总本钱，除非短期要短期总本钱大于长期总本钱，除非短期要素素2的投入量恰好等于其长期最优投入量。的投入量恰好等于其长期最优投入量。n这意味着长期总本钱曲线与短期总本钱曲这意味着长期总本钱曲线与短期总本钱曲线之间存在一个公共点。线之间存在一个公共点。yc(y)cs(y)短期本钱线短期本钱线长期本钱线长期本钱线c