1.圆心角的定义圆心角的定义?.OBC在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦、弦心距有一组量相等，那么它们所对应的其余三个量都分别有一组量相等，那么它们所对应的其余三个量都分别相等。相等。答答:顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦、弦心距四个量之间关系的一个结论，这弦、弦心距四个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？个结论是什么？ 一、复习引入一、复习引入:3.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。 如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图, ,人们可以人们可以通过其中的圆弧形玻璃通过其中的圆弧形玻璃AB AB 观看窗内的海洋动物观看窗内的海洋动物, ,同学甲站同学甲站在圆心的在圆心的O O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C C，他们的视角（，他们的视角（AOB AOB 和和ACBACB）有什么关系？如果同学丙、）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置丁分别站在他靠墙的位置D D和和E E，他们的视角（，他们的视角（ ADB ADB 和和AEBAEB ）和同学乙的视角相同吗？）和同学乙的视角相同吗？ 顶点在圆上顶点在圆上，并且，并且两边都和圆相交两边都和圆相交的角的角什么叫做圆周角？什么叫做圆周角？ABCDEO 一、概念一、概念如图：如图： ADB, ACB, AEB都是都是 O的圆周角的圆周角 辩一辩辩一辩 图中的图中的CDE是圆周角吗是圆周角吗?CDECDECDECDE圆周角：圆周角：圆周角：圆周角：_，并且角的并且角的并且角的并且角的_。圆心角圆心角圆心角圆心角: : : : _ _ _ _ 的角的角的角的角. . . .顶点在圆上顶点在圆上顶点在圆上顶点在圆上两边都和圆相交两边都和圆相交两边都和圆相交两边都和圆相交顶点在圆心顶点在圆心顶点在圆心顶点在圆心 如图，在如图，在 O中，请画出中，请画出 BC所对所对的圆心角和圆周角。的圆心角和圆周角。CBO二二.探究同探究同弧所对圆周角与圆心角的关系弧所对圆周角与圆心角的关系 如图，如图， O中，同弧所对的圆心中，同弧所对的圆心角和圆周角情况：角和圆周角情况：CBOACBOACBOA 圆心在圆心在圆周角内部圆周角内部 圆心在圆圆心在圆周角一边上周角一边上 圆心在圆心在圆周角外部圆周角外部（1）在圆周角的一条边上；）在圆周角的一条边上；COAB即即 OA=OC，A=C又又BOC=A+CBOC=2A（2）在圆周角的内部）在圆周角的内部CBOD圆心圆心O在在BAC的内部，作直径的内部，作直径AD，利，利用（）的结果，有用（）的结果，有A（3）在圆周角的外部）在圆周角的外部圆心圆心O在在BAC的外部，作直径的外部，作直径AD，利用（）的结果，有，利用（）的结果，有COABD结论：一结论：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半角的一半 归纳归纳 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。角的一半。圆周角定理：圆周角定理：CBOACBOACBOA: A = 1/2BOC或或 BOC=2A 1 1、已知、已知AOBAOB7575， 求：求：ACB= ACB= 2 2、已知、已知AOBAOB120120， 求：求： ACB = ACB = 3 3、已知、已知ACDACD3030，求：求：AOB =AOB =4 4、已知、已知AOBAOB110110， 求：求：ACB =ACB =思考：在思考：在同圆或等圆中同圆或等圆中，如果两个圆周角相，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？等，它们所对弧一定相等吗？为什么？ 推论推论1 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等它们所对弧一定相等 因为，在同圆或等圆中，因为，在同圆或等圆中，如果圆周角相等，那么它所如果圆周角相等，那么它所对的圆心角也相等，因此它对的圆心角也相等，因此它所对的弧也相等所对的弧也相等CBOAFGE（ABOC1.如图如图,AB是直径是直径,则则ACB=90度度2.若ACB= 90 0 ，弦AB是直径吗？是直径吗？推论推论2:半圆半圆（或直径）所对的圆周角是（或直径）所对的圆周角是90；90的圆周角所对的弦是直径的圆周角所对的弦是直径。 AB是直径是直径,ACB=900 ACB= 90 0 ，弦AB是直径是直径三三.圆内接多边形圆内接多边形 若一个多边形若一个多边形各顶点都在同一个圆上各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆个圆叫做这个多边形的外接圆。OBCDEFAOACDEB如图：圆内接四边形如图：圆内接四边形ABCDABCD中，中，A A C C 180 同理同理B BD D180180圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补. .O OC CA AB BD D圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的性质定理：ABCDO 如图，四边形如图，四边形ABCD是是 O的内接四边形，的内接四边形， O是四边形是四边形ABCD的外接圆。的外接圆。思考：思考：A+ C=? 能用圆周角定理证明你的结论吗？能用圆周角定理证明你的结论吗？ 圆内接四边形的对角互补。圆内接四边形的对角互补。四边形四边形ABCD是是 O的内接四边形，的内接四边形，A+C=1800思考：延长思考：延长BCBC到到E E，DCEDCE与与 A A的数量关系？的数量关系？180所以所以A ADCEDCE又又 A A 1 1 180180C CO OD DB BA AE1DCE1 圆内接四边形圆内接四边形任意一个外角任意一个外角都等于它的内对角都等于它的内对角.推论：推论：A A与与DCEDCE为为内对角内对角例例 如图，如图， O直径直径AB为为10cm，弦，弦AC为为6cm，ACB的平的平分线交分线交 O于于D，求，求BC、AD、BD的长的长又在又在RtABD中，中，AD2+BD2=AB2，解：解：AB是直径，是直径， ACB= ADB=90在在RtABC中，中，CD平分平分ACB，AD=BD.四、四、例题例题 如果三角形一边上的中线等于这条如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角边的一半，那么这个三角形是直角三角形。形。 推推 论论 3ACB在在ABC中中 CD=AD=BDACB=90. D求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）ABCO求证：求证： ABC 为直角三角形为直角三角形.证明：证明：CO= AB,以以AB为直径作为直径作 O，AO=BO，AO=BO=CO.点点C在在 O上上.又又AB为直径为直径,ACB= 180= 90.已知：已知：ABC 中，中，CO为为AB边上的中线，边上的中线， 且且CO= AB ABC 为直角三角形为直角三角形.直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？练习：判断正判断正误：1.同弧或等弧所同弧或等弧所对的的圆周角相等（）周角相等（）2.相等的相等的圆周角所周角所对的弧相等（）的弧相等（）3.90圆周角所周角所对的弦是直径（）的弦是直径（）4.直径所直径所对的角等于的角等于90（）5.长等于半径的弦所等于半径的弦所对的的圆周角周角等于等于3（）填空：填空：1.梯形梯形ABCD内接于内接于 O,ADBC, B=750,则则C=_ DBACO圆的内接梯形圆的内接梯形一定是一定是梯形梯形。2.四边形四边形ABCD内接于内接于 O，则，则A+C=_ B+ADC=_;若若B=80，则，则ADC=_ CDE=_3.四边形四边形ABCD内接于内接于 O，AOC=100则则B=_D=_ 4.四边形四边形ABCD内接于内接于 O, A:C=1:3,则则A=_, EDBAC80DBACO100O OC CD DB BA A已知已知：如图，四边形：如图，四边形ABCDABCD是圆是圆的内接四边形并且的内接四边形并且ABCDABCD是平行是平行四边形。四边形。求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。. .如图，如图，ABAB是是O O的直径，的直径，A A8080求求ABCABC的度数的度数解解 ： ABAB是是O O的直径，的直径， ACB=900 ABCABC180180AAACBACB18018080809090 1010 ABCABC的度数是的度数是1010 图 23.1.12 例例 如图如图O O1 1与与O O2 2都经过都经过A A、B B两点，两点，经过点经过点A A的直线的直线CDCD与与O O1 1 交于点交于点C C，与，与O O2 2 交于点交于点D D。经过点。经过点B B的直线的直线EFEF与与O O1 1 交于点交于点E E，与，与O O2 2 交于点交于点F F。求证：求证：CEDFCEDF12O OO OF FA AB BE EC CD D1CEDFCEDFE EF F180180F F1 1180180、1 1E EABFDABFD是是O O1 1的的内接四边形内接四边形ABECABEC是是O O2 2的的内接四边形内接四边形连结连结ABAB12O OO OF FA AB BE EC CD D1(1)(1)一个概念一个概念（圆周角）（圆周角）内容小结：内容小结：(2)一个定理一个定理：一条弧所对的圆周角等于：一条弧所对的圆周角等于该该弧弧所对的圆心角的一半；所对的圆心角的一半；(3)四个推论四个推论： 半圆或直径所对的圆周角是直角；半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。 同圆内，同弧或等弧所对的圆周角同圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧相等。相等；相等的圆周角所对的弧相等。如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下种方法？与同学交流一下DABCOOO方法一方法一方法二方法二方法三方法三方法四方法四AB练练 习习