四边形综合题41（2023吉林）【操作发现】如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形其判定的依据是 两组对边分别相平行的四边形是平行四边形【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（ABBC，FGBC），其中ABEF，BFEH，将它们按图放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点M，N求证：EFMN是菱形【结论应用】保持图中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，且EF始终在边BC上，当MDMG时，延长CD，HG交于点P，得到图若四边形ECPH的周长为40，sinEFG=45（EFG 为锐角），则四边形ECPH的面积为 80【答案】【操作发现】两组对边分别相平行的四边形是平行四边形；【探究提升】见解析；【结论应用】80【分析】【操作发现】根据平行四边形的判定定理即可得到结论；【探究提升】根据平行四边形的性质得到MNEF，ENFM，推出四边形EFMN是平行四边形，得到四边形ABEN是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；【结论应用】根据平移的性质得到四边形GFCP是平行四边形，根据平行四边形的性质得到PGCF，PGCF，推出四边形PDMG是平行四边形，证得四边形PDMG是菱形，根据菱形的性质得到PGPD，由【探究提升】知EFMN是菱形，FMEF，推出四边形ECPH是菱形，根据三角函数的定义得到GQ8，于是得到结论【解答】【操作发现】解：如图，四边形EFMN总是平行四边形其判定的依据是两组对边分别相平行的四边形是平行四边形；故答案为：两组对边分别相平行的四边形是平行四边形；【探究提升】证明：四边形纸条ABCD和EFGH是平行四边形，MNEF，ENFM，四边形EFMN是平行四边形，BFEH，ABNF，ANBE，四边形ABEN是平行四边形，ABEN，ABEF，ENEM，EFMN是菱形；【结论应用】解：将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，四边形GFCP是平行四边形，PGCF，PGCF，DMCF，DMPG，四边形PDMG是平行四边形，MDMG，四边形PDMG是菱形，PGPD，由【探究提升】知EFMN是菱形，FMEF，EFCD，CECP，四边形ECPH是菱形，四边形ECPH的周长为40，HEPC10，FGHE10，过G作GQBC于Q，sinEFG=GQFG=45，GQ8，四边形ECPH的面积为CEGQ10880故答案为：80【点评】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质定理是解题的关键四边形综合题28（2023宁波）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角（1）如图1，在四边形ABCD中，ADBC，A90，对角线BD平分ADC求证：四边形ABCD为邻等四边形（2）如图2，在65的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D（3）如图3，四边形ABCD是邻等四边形，DABABC90，BCD为邻等角，连结AC，过B作BEAC交DA的延长线于点E若AC8，DE10，求四边形EBCD的周长【考点】四边形综合题版权所有【分析】（1）根据邻等四边形定义证明即可；（2）根据邻等四边形定义利用网格即可画图；（3）先证明四边形AEBC是平行四边形，得AEBCDC，设AEBCDCx，得ADDEAE10x，过点D作DFBC于点F，得矩形ABFD，得ABDF，ADBF10x，所以CFBCBFx（10x）2x10，根据勾股定理得82x2x2（2x10）2，求出x的值，进而可得四边形EBCD的周长【解答】（1）证明：在四边形ABCD中，ADBC，A90，ABC180A90，对角线BD平分ADC，ADBCDB，ADBC，ADBCBD，CBDCDB，CDCB，四边形ABCD为邻等四边形；（2）解：如图21，22，点D、D即为所求；（3）解：如图3，四边形ABCD是邻等四边形，CDCB，DABABC90，ADBC，BEAC，四边形AEBC是平行四边形，EBAC8，AEBC，AEBCDC，设AEBCDCx，DE10，ADDEAE10x，过点D作DFBC于点F，得矩形ABFD，ABDF，ADBF10x，CFBCBFx（10x）2x10，在RtABE和RtDFC中，根据勾股定理得：BE2AE2AB2，CD2CF2DF2，BE2AE2CD2CF2，82x2x2（2x10）2，整理得x220x+820，解得x11032，x210+32（不符合题意，舍去），CDCB1032，四边形EBCD的周长BE+DE+2CD8+10+2（1032）3862【点评】本题属于四边形的综合题，考查了邻等四边形定义，矩形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，解决本题的关键是理解邻等四边形定义29（2023南充）如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC（1）求证：EDEC；（2）将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B落在AC上，连接MB当点M在边BC上运动时（点M不与B，C重合），判断CMB的形状，并说明理由（3）在（2）的条件下，已知AB1，当DEB45时，求BM的长【考点】四边形综合题版权所有【分析】（1）根据正方形的性质和直角三角形斜边中线的性质可证EADEBC（SAS），根据全等三角形的性质即可得证；（2）根据折叠的性质可得根据旋转的性质可得，EBEB，再根据直角三角形斜边的中线的性质可得EBAEME，进一步可得ABM90，可得CBM90，再根据正方形的性质可得BCM45，进一步可得BMBC，可证MBC是等腰直角三角形；（3）延长BE交AD于点F，根据三角形外角的性质可得BEB90，进一步可得DEF45，根据EADEBC，可得AEDBEC，进一步可得CEMDEF45，再证明CMEAMC，根据相似三角形的性质可得CM：AMEM：CM，可得CM2=12AM2，设BMx，则CM1x，根据勾股定理，AM21+x2，列方程求解即可【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，ADBC，BADABC90，E为AM的中点，AEBE，EABEBA，EADEBC，在EAD和EBC中，AE=BEEAD=EBCAD=BC，EADEBC（SAS），EDEC；（2）解：CMB是等腰直角三角形，理由如下：根据旋转的性质可得，EBEB，EBAEME，EBAEME，EABEBA，EMBEBM，EAB+EBA+EBM+EMB180，ABM90，MBC90，在正方形ABCD中，ACB45，BMC45，BMBC，CMB是等腰直角三角形；（3）解：延长BE交AD于点F，如图所示：BEM2BAE，BEM2BAE，BAB45，BEB90，BEF90，DEB45，DEF45，EADEBC，AEDBEC，AEFBEM，CEMDEF45，MCA45，CEMMCA，又CMEAMC，CMEAMC，CM：AMEM：CM，EM=12AM，CM2=12AM2，在正方形ABCD中，BCAB1，设BMx，则CM1x，根据勾股定理，AM21+x2，12(1+x2)=（1x）2，解得x=23或x2+3（舍去），BM=23【点评】本题考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等，本题综合性较强，难度较大四边形综合题36（2023郴州）已知ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CEAD，连接DE交射线AC于点F（1）如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；（2）如图2，当点D在线段AB的延长线上时，线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3，连接AE设AB4，若AEBDEB，求四边形BDFC的面积【答案】（1）CF=12BD，理由见解析过程；（2）成立，理由见解析过程；43+66【分析】（1）由“AAS”可证DGFECF，得到CFGF=12CG=12BD；（2）由“AAS”可证DGFECF，得到CFFG=12CG=12BD；根据已知条件推出tanAEHtanMDN，得到 AHEH=MNDN，证明ABCADG，得到 BCDG=AHAN=AHAM+MN，可以DG的长，由面积的和差关系可求解【解答】解：（1）CF=12BD，理由如下：如图，过点D作DGBC，交AC于点G，ABC是等边三角形，ABACBC，ABCACBBAC60，DGBC，ADGABC60，AGDACB60，GDFCEF，ADG为等边三角形，ADAGDG，ADCE，ABADACAG，DGCE，BDCG，又DFGCFE，DGFECF（AAS），CFGF=12CG=12BD；（2）成立，理由如下：如图2，过点D作DGBC，交AC的延长线于点G，ABC是等边三角形，ABACBC，ABCACBBAC60，DGBC，ADGABC60，AGDACB60，GDFCEF，ADG是等边三角形，ADAGDG，ADCE，ADABAGAC，DGCE，BDCG，又DFGCFE，DGFECF（AAS），CFFG=12CG=12BD；如图，过点D作DGBC，交AC的延长线于点G，过点A作 ANDG，交BC于点H，交DE于点N，则：ANBC，由知：ADG为等边三角形，DGFECF（AAS），CF=FG=12