第七第七节 晶体的非晶体的非简谐效效应3.7.1 3.7.1 热膨膨胀本本节主要内容主要内容: :3.7.2 3.7.2 热传导编辑ppt3.7 晶体的非简谐效应简谐近似：近似： (1) (1)在在简谐近似的情况下，晶格原子振近似的情况下，晶格原子振动可描述可描述为3N个个线性独立的性独立的谐振子的迭加，振子的迭加，各振子各振子间不不发生作用，也不交生作用，也不交换能量；能量；编辑ppt (2) (2)晶体中某种声子一旦晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不生，其数目就一直保持不变，既不能把能量，既不能把能量传递给其其他声子，也不能使自己他声子，也不能使自己处于于热平衡状平衡状态。用用简谐近似理近似理论不能解不能解释晶体的晶体的热膨膨胀和和热传导现象。象。晶体的非晶体的非简谐效效应：微微扰项声子声子间有相互有相互作用作用能量交能量交换系系统达到达到热平衡平衡 两个声子通两个声子通过非非简谐项的作用，而的作用，而产生第三个声子。生第三个声子。这可以看成是两个声子的可以看成是两个声子的相互碰撞，最后相互碰撞，最后产生第三个声子。生第三个声子。微微扰项编辑ppt声子声子间的相互作用遵循能量守恒和准的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒量守恒碰撞前后系碰撞前后系统准准动量不量不变，对热流无影响。流无影响。-正常正常过程程( ( N过程程) )；(1)(1)-反常反常过程程( ( U过程程) )。(2)(2)以下用非以下用非简谐近似理近似理论解解释晶体的晶体的热膨膨胀和和热传导现象象编辑ppt3.7.1 热膨胀 热膨膨胀：在不施加：在不施加压力的情况下，晶体体力的情况下，晶体体积随温度随温度变化的化的现象称象称为热膨膨胀。 假假设有两个原子，一个在原点固定不有两个原子，一个在原点固定不动，另一个在平衡位置，另一个在平衡位置R0附近作振附近作振动，离，离开平衡位置的位移用开平衡位置的位移用 表示，表示，势能在能在平衡位置附近展开：平衡位置附近展开：0R0R0编辑ppt（1 1）简谐近似近似RU( (r) )R0两原子两原子间距不距不变，无，无热膨膨胀现象象（2 2）非）非简谐效效应编辑ppt两原子两原子间距增大，有距增大，有热膨膨胀现象。象。由玻由玻尔兹曼曼统计，原子离开平衡位置的平均位移，原子离开平衡位置的平均位移编辑ppt( (c、g均均为正常数。正常数。) )(1)(1)简谐近似：近似：在在简谐近似下无近似下无热膨膨胀现象。象。是是 的奇函数的奇函数编辑ppt(2)(2)非非简谐效效应: :在非在非简谐效效应下，有下，有热膨膨胀现象。象。编辑ppt公式推公式推导 编辑ppt结束束编辑ppt线膨膨胀系数系数当当势能只保留到能只保留到3次方次方项时，线膨膨胀系数与温度无关。系数与温度无关。若保留更高次若保留更高次项，则线膨膨胀系数与温度有关。系数与温度有关。显然，在然，在简谐近似下，近似下，g=0=0， =0=0。编辑ppt3.7.2 热传导 当晶体中温度不均匀当晶体中温度不均匀时，将会有，将会有热能从高温能从高温处流向低温流向低温处，直至各，直至各处温度相等达温度相等达到新的到新的热平衡平衡, , 这种种现象称象称为热传导。( (为正正值) )为热传导系数或系数或热导率。率。负号表明号表明热能能传输总是从高温区流向低温区。是从高温区流向低温区。晶体晶体热传导电子子热导晶格晶格热导电子运子运动导热( (金属金属) )格波的格波的传播播导热( (绝缘体、半体、半导体体) )编辑ppt(1)(1)气体气体热传导CV单位体位体积热容容 -平均自由程平均自由程热运运动平均速度平均速度放能放能吸能吸能高高温温区区低低温温区区气体分子气体分子碰碰 撞撞碰碰 撞撞编辑ppt(2)(2)晶格晶格热传导晶格晶格热振振动看成是看成是“声子气体声子气体”，声子数密声子数密度大度大声子数密声子数密度小度小扩散散低低温温区区高高温温区区CV单位体位体积热容容 -声子自由程声子自由程声子平均速度声子平均速度( (常取固体中声速常取固体中声速) )编辑ppt与T的关系1)1)高温高温时，T DCV单位体位体积热容，容， -声子自由程，声子自由程， 声子平均速度声子平均速度( (常取固常取固体中声速体中声速) )。基本与温度无关，基本与温度无关，Cv v和和 与温度密切相关与温度密切相关编辑ppt(2)(2)低温低温时，T D 因因为在在实际晶体中存在晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。对于完整于完整的晶体，的晶体， ( (D为晶体晶体线度度) )。实际上上热导系数并不会系数并不会趋向无向无穷大。大。低温低温时：完整晶体当温度完整晶体当温度趋向零度向零度时，热导率是多少？率是多少？编辑ppt第三章第三章 晶格振晶格振动总 结v三三维晶格振晶格振动、声子、声子v一一维晶格振晶格振动v确定晶格振确定晶格振动谱的的实验方法方法v晶体比晶体比热v晶体的非晶体的非简谐效效应v长波近似波近似编辑ppt 振振动很微弱很微弱时，势能展式中只保留到能展式中只保留到( ( r) )2 2项, ,3次方以上的高次次方以上的高次项均忽略掉的近均忽略掉的近似似为简谐近似近似( (忽略掉作用力中非忽略掉作用力中非线性性项的近似的近似) )。 格波格波：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微振：晶体中的原子都在它的平衡位置附近不断地作微振动，由于原子，由于原子间的相的相互关互关联，以及晶体的周期性，以及晶体的周期性，这种原子振种原子振动在晶体中形成格波。在晶体中形成格波。一维晶格振动 在在简谐近似下，格波可以分解成近似下，格波可以分解成许多多简谐平面波的平面波的线性叠加。性叠加。编辑ppt模型模型运运动方程方程 试探解探解色散关系色散关系波矢波矢q范范围一一维无限无限长原子原子链，m，a， 晶格振晶格振动波矢的数目波矢的数目=晶体晶体的原胞数的原胞数B-K条件条件波矢波矢q取取值n- -2nn+ +1n+ +2n- -1amm编辑ppt一一维双原子双原子链振振动2n- -22n2n+ +12n+ +22n- -1Mma编辑ppt3nN声子声子3N声学声子声学声子， ( (3n- -3) )N光学声子光学声子。3nN个振个振动模式模式晶格振晶格振动的波矢数目的波矢数目 = =晶体的原胞数晶体的原胞数N，格波振格波振动频率数目率数目= =晶体的自由度数晶体的自由度数mNn，独立的振独立的振动模式数模式数= =晶体的自由度数晶体的自由度数mNn。N是晶体的原胞个数，是晶体的原胞个数，n是原胞内原子个数，是原胞内原子个数，m是是维数数。声子声子：晶格振：晶格振动的能量量子。能量的能量量子。能量为准准动量量为 。三维晶格振动、声子编辑ppt长 波 近 似长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。离子晶体的离子晶体的长光学波光学波 (1) (1)式代表振式代表振动方程，右方程，右边第一第一项 为准准弹性恢复力，第二性恢复力，第二项表示表示电场 附加了附加了恢复力。恢复力。 (2) (2)式代表极化方程，式代表极化方程， 表示离子位移引起的极化，第二表示离子位移引起的极化，第二项表示表示电场 附加了极附加了极化。化。 -黄昆方程黄昆方程编辑ppt-著名的著名的LST关系关系光光频介介电常量常量静静电介介电常量常量(2)(2)铁电软模模( (光学光学软模模) ) 因因为长光学波是极化波，且只有光学波是极化波，且只有长光学光学纵波才伴随着宏波才伴随着宏观的极化的极化电场，所以，所以长光学纵波声子称为极化声子极化声子。 长光学横波与光学横波与电磁磁场相耦合，它具有相耦合，它具有电磁性磁性质，称，称长光学横波声子为电磁声子磁声子。2.LST关系编辑ppt确定晶格振动谱的实验方法中子的非中子的非弹性散射、光子散射、性散射、光子散射、X射射线散射散射。1.方法：2.原理(中子的非弹性散射)3.仪器：由能量守恒和准由能量守恒和准动量守恒得：量守恒得：“+”表示吸收一个声子表示吸收一个声子“- -”表示表示发射一个声子射一个声子三三轴中子中子谱仪。编辑ppt定定义：计算：算：晶 体 比 热(1)(1)在高温在高温时，晶体的比，晶体的比热为3 3NkB； (2) (2)在低温在低温时，绝缘体的比体的比热按按T3 3趋于零。于零。编辑ppt(1)(1)晶体中原子的振晶体中原子的振动是相互独立的；是相互独立的；(2)(2)所有原子都具有同一所有原子都具有同一频率率 ；(3)(3)设晶体由晶体由N个原子个原子组成成, ,共有共有3N个个频率率为 的振的振动。(1)(1)晶体晶体视为连续介介质, ,格波格波视为弹性波；性波；(2)(2)有一支有一支纵波两支横波；波两支横波；(3)(3)晶格振晶格振动频率在率在 之之间( ( D为德拜德拜频率率) )。爱因斯坦模型因斯坦模型德拜模型德拜模型编辑ppt高温高温时与与实验相吻合，低温相吻合，低温时以比以比T3 3更更快的速度快的速度趋于零。于零。高低温高低温时均与均与实验相吻合，且温度越低，相吻合，且温度越低，与与实验吻合的越好。吻合的越好。爱因斯坦模型因斯坦模型德拜模型德拜模型编辑ppt1.非简谐效应：3.晶体的热膨胀现象：4.晶体的热传导现象：高温高温时: :低温低温时: :2.声子与声子相互作用：晶体的非简谐效应编辑ppt习题编辑ppt1,已知由已知由N个个质量量为m，间距距为的相同原子的相同原子组组成的一成的一维单维单原子原子链链的色散关系的色散关系为为：，(1) 试给出它的格波出它的格波态密度密度(2) 试绘出其色散曲出其色散曲线形状，并形状，并说明存在截止明存在截止频率率的意的意义义。2，解，解释晶格振晶格振动热容理容理论时，爱因斯坦模型与德拜模型最大的区因斯坦模型与德拜模型最大的区别在哪里在哪里？在高温极限和低温极限？在高温极限和低温极限时，它，它们的的热容表达式是什么容表达式是什么样的？的？3，简述黄昆方程及其物理意述黄昆方程及其物理意义编辑ppt