27.2.227.2.2 相似三角形应用举例相似三角形应用举例第第1 1课时课时11.1.能应用相似三角形的有关知识解决一些实际问题；能应用相似三角形的有关知识解决一些实际问题；2.2.了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力力. .2相似三角形的判定（1）通过平行线.（2）三边对应成比例.（3）两边对应成比例且夹角相等 .（4）两角相等.3根据下列条件能否判定根据下列条件能否判定ABCABC与与ABCABC相似？相似？为什么？为什么？(1) A=120(1) A=120，AB=7 AB=7 ，AC=14 AC=14 A=120A=120，AB=3AB=3，AC=6AC=6(2) AB=4 (2) AB=4 ，BC=6BC=6，AC=8 AC=8 AB=12AB=12，BC=18BC=18，AC=21 AC=21 (3) A=70(3) A=70,B=48,B=48, A=70, A=70, C=62, C=624【例例1 1】据史料记载，古希腊数学据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒曾利用相似三家、天文学家泰勒曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字成两个相似三角形，来测量金字塔的高度塔的高度. .如图，如果木杆如图，如果木杆EFEF长长2m2m，它的影子，它的影子FDFD长为长为3m3m测得测得OAOA为为201m201m，求金字塔的高度，求金字塔的高度BO.BO.如何如何测量量OAOA的的长？5因此金字塔的高为因此金字塔的高为134m.134m.解析：解析：太阳光是平行光线，太阳光是平行光线，因此因此BAO= EDFBAO= EDF，又又 AOB=DFE=90AOB=DFE=90，ABODEFABODEF BO BO：EF=OAEF=OA：FDFD6PQRSTba【例例2 2】如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸定一如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸定一个目标点个目标点P P，在近岸取点，在近岸取点Q Q和和S S，使点，使点P P、Q Q、S S共线且直线共线且直线PSPS与河垂直，接着在过点与河垂直，接着在过点S S且与且与PSPS垂直的直线垂直的直线a上选择适当上选择适当的点的点T T，确定，确定PTPT与过点与过点Q Q垂直垂直PSPS的直线的直线b b的交点的交点R R，如果测得，如果测得QS=45mQS=45m，ST=90mST=90m，QR=60m.QR=60m.求河的宽度求河的宽度PQ.PQ.7解析：解析：PQR=PST=90PQR=PST=90，P=P,P=P, PQRPST. PQRPST. PQ PQ：PS=QR:STPS=QR:ST， 即即PQPQ：（：（PQ+QSPQ+QS）=QR=QR：STST， PQPQ：（：（PQ+45PQ+45）= =60:90,60:90, PQ PQ90=(PQ+45) 90=(PQ+45) 6060， 解得解得PQ=90.PQ=90.因此河宽大约为因此河宽大约为90m.90m.8如图，测得如图，测得BD=120mBD=120m，DC=60mDC=60m，EC=50mEC=50m，求河宽，求河宽AB.AB.解析：解析：B=C=90B=C=90， ADB=EDCADB=EDC， ABDECDABDECD， ABAB：EC=BDEC=BD：DCDC， AB=50AB=501201206060 =100 =100（m m）ABDCE9利用相似三角形测量瓶子的内径利用相似三角形测量瓶子的内径学具准备：等长的两根小木棒，橡皮筋，玻璃瓶，刻度尺学具准备：等长的两根小木棒，橡皮筋，玻璃瓶，刻度尺过程：两人合作先把两根小木棒用橡皮筋捆好，然后将等过程：两人合作先把两根小木棒用橡皮筋捆好，然后将等长的两根小木棒的一端放进瓶子里，使两根小木棒抵住瓶长的两根小木棒的一端放进瓶子里，使两根小木棒抵住瓶底并紧靠瓶子的边缘，再用刻度尺测出小木棒另两端的距底并紧靠瓶子的边缘，再用刻度尺测出小木棒另两端的距离构造相似并计算瓶子内径离构造相似并计算瓶子内径【解析解析】设点设点O O将两根小木棒都分成了将两根小木棒都分成了1/n1/n，如果我们测出线段，如果我们测出线段ABAB的长度为的长度为m m，根据两边对应成比例且夹角相等的两个根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，我们就可以求出内径三角形相似，我们就可以求出内径CDCD的的长度了，即长度了，即CD=CD=mnmn10【规律方法规律方法】相似三角形的性质是我们常常用来证明线段相似三角形的性质是我们常常用来证明线段等积式的重要方法，也是我们用来求线段的长度与角度相等积式的重要方法，也是我们用来求线段的长度与角度相等的重要方法等的重要方法如图，已知如图，已知ACBACB的边的边ABAB、ACAC上的点上的点D D、E E，且，且ADE=CADE=C，求证：求证：ADADAB=AEAB=AEACAC【解析解析】 ADE=CADE=C，A=AA=A ADEADEACBACB（如果一个三角形的两（如果一个三角形的两角与另一个三角形的两个角对应相等，那么角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）这两个三角形相似） ADADAC=AEAC=AEAB AB 即即ADADAB=AEAB=AEACAC111.1.（乐山中考）某校数学山中考）某校数学兴趣小趣小组为测量学校旗杆量学校旗杆ACAC的高度，在点的高度，在点F F处竖立一根立一根长为1.51.5米的米的标杆杆DFDF，如，如图所所示，量出示，量出DFDF的影子的影子EFEF的的长度度为1 1米，再量出旗杆米，再量出旗杆ACAC的影子的影子BCBC的的长度度为6 6米，那么旗杆米，那么旗杆ACAC的高度的高度为（ ）（A A）6 6米米 （B B）7 7米米 （C C）8.58.5米米 （D D）9 9米米D D122.2.（衡阳中考）如（衡阳中考）如图，已知零件的外径，已知零件的外径为25mm25mm，现用一用一个交叉卡个交叉卡钳（两条尺（两条尺长ACAC和和BDBD相等，相等，OC=ODOC=OD）量零件的）量零件的内孔直径内孔直径ABAB若若OCOA=12OCOA=12，量得，量得CDCD10mm10mm，则零件零件的厚度的厚度x=x= mmmm2.52.513A AC CB BA ABC C32cm32cm20cm20cm3.3.如图：与小孔如图：与小孔O O相距相距32cm32cm处有一枝长处有一枝长30cm30cm燃烧的蜡烛燃烧的蜡烛ABAB，经小孔，在与小孔相距经小孔，在与小孔相距20cm20cm的屏幕上成像，求像的屏幕上成像，求像ABAB的的长度长度. .O O14【解析解析】根据题意根据题意, ,得得: : ABOABOABOABO过点过点O O作作ABAB、ABAB的垂线，垂的垂线，垂足分别为、足分别为、，则由相似，则由相似三角形的对应高之比等于相似三角形的对应高之比等于相似比，得比，得A AC CB BA ABC C32cm20cm20cmO O即即解得：解得：ABAB18.75(cm)18.75(cm)答：答：像像ABAB的长度为的长度为18.75cm.18.75cm.15一、相似三角形的应用主要有如下两个方面一、相似三角形的应用主要有如下两个方面1.1.测高测高( (不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度不能直接使用皮尺或刻度尺量的高度) )；2.2.测距测距( (不能直接测量的两点间的距离不能直接测量的两点间的距离) )二、测高的方法二、测高的方法测量不能到达顶部的物体的高度测量不能到达顶部的物体的高度, ,构造相似三角形求解构造相似三角形求解三、测距的方法三、测距的方法测量不能到达两点间的距离测量不能到达两点间的距离, ,常构造相似三角形求解常构造相似三角形求解16