电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解1分析求解分析求解电磁磁问题的基本出的基本出发点和点和强制条件制条件出出发点点Maxwell方程方程组组条条 件件本构关系本构关系边界条件界条件:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解2分分类分析求解分析求解电磁磁问题静静态电磁磁场电磁波磁波按按时间变化情况化情况第第3章章第第4、5、6、7、8章章:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解3:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解4出出发点点Maxwell方程方程组组条条 件件本构关系本构关系边界条件界条件静静态电磁磁场问题特点：特点：电场和磁和磁场独立独立:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解5出出发点点Maxwell方程方程组组条条 件件本构关系本构关系边界条件界条件静静态电场问题按按电荷静止或运荷静止或运动情况分情况分类静静电场恒定恒定电流流场静止静止 任任意意匀速运匀速运动 有限有限:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解6出出发点点Maxwell方程方程组组条条 件件本构关系本构关系边界条件界条件静静态恒定磁恒定磁场问题:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解7 本章内容安排本章内容安排 3.1 静电场分析静电场分析 3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析 3.3 恒定磁场分析恒定磁场分析 3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定静态场的边值问题及解的惟一性定理理 3.5 镜像法镜像法:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解83.1 静静电场电场分析分析 学习内容学习内容 3.1.1 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 3.1.2 电位函数电位函数 3.1.3 导体系统的电容与部分电容导体系统的电容与部分电容 3.1.4 静电场的能量静电场的能量 3.1.5 静电力静电力:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解9面对的问题面对的问题: :存在什么源？存在什么源？在何媒质环境中？在何媒质环境中？有何突变边界？有何突变边界？分析方法？分析方法？典型应用？典型应用？关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解102. 2. 边边界条件界条件 一般性一般性问题问题）微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1. 1. 基本方程基本方程 一般性一般性问题问题）积分形式：积分形式：或或3.1.1 静静电场电场的基本方程和的基本方程和边边界条件界条件3. 3. 按媒按媒质质分分类类的两的两类问题类问题 特殊性特殊性问题问题）理想介质：理想介质：存在导体：存在导体：:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解11介质介质2 2介质介质1 1导体内部的体内部的电场为零零或或 理想介理想介质质情况情况 导导体情况体情况界面两界面两侧场矢量的方向关系矢量的方向关系介介质表面的自然表面的自然边界条件界条件静静电平衡平衡导体表面的体表面的边界条件界条件导体导体介质介质:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解12面对的问题！面对的问题！分析求解方法：分析求解方法：已有方法及其适用范围？已有方法及其适用范围？利用静电场的特性，研究新利用静电场的特性，研究新方法及其优越性？方法及其优越性？典型应用？典型应用？关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解13由由称称为静静电场的的标量量电位函数或位函数或简称称电位。位。1. 电电位函数的定位函数的定义义3.1.2 电电位函数位函数优越性：求矢量函数的越性：求矢量函数的问题转化化为求求标量函数的量函数的问题:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解14求求2. 电场强度与电位函数的关系电场强度与电位函数的关系知知知知求求如何求出电位函数？:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解15在均匀介在均匀介质区域中，有区域中，有3. 电位的微分方程电位的微分方程在无源区域，在无源区域，标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程介质介质2 2介质介质1 1电荷区荷区:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解164. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题介质介质点电荷源情况：点电荷源情况：:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解174. 利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题利用电位求无限大均匀媒质空间中的问题(续续)任意电荷源情况：任意电荷源情况：( (元电荷产生电位的迭加）元电荷产生电位的迭加）l体分布体分布电荷源荷源l面分布面分布电荷源荷源l线分布分布电荷源荷源:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解185. 利用电位求存在不同媒质空间中的问题利用电位求存在不同媒质空间中的问题导体表面体表面边界面界面 两理想介两理想介质质分界面分界面 （无（无强强加自由加自由电电荷）荷）常数，常数，静静电位的位的边界条件界条件(任意静任意静电场情况情况)实际问题中典型的静中典型的静电场情况情况:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解196. 由电位函数引出的经典物理量电压电位差）由电位函数引出的经典物理量电压电位差）P、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力做电场力做的功的功问题：选择不同的积分路径会改变问题：选择不同的积分路径会改变电压的计算结果吗？电压的计算结果吗？:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解20静电位不惟一，可以相差一个常数，即无确定值静电位不惟一，可以相差一个常数，即无确定值选参考点选参考点令参考点电位为零令参考点电位为零电位确定值电位确定值( (与零电位点的电压与零电位点的电压) ) 选择电选择电位参考点的原位参考点的原则则 应应使使电电位表达式有意位表达式有意义义，比如其不能，比如其不能为为无无穷穷大。大。 应应使使电电位位表表达达式式最最简简单单。若若电电荷荷分分布布在在有有限限区区域域，通通常常取无限取无限远远作作电电位参考点。位参考点。 同同一一个个问问题题只只能能有有一一个个参参考考点点。问问题题求求解解过过程程中中参参考考点点应应是固定的。是固定的。7. 电位参考点电位参考点解决解决办法：法：:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解21 例例 均匀均匀电场电场的的电电位分布。位分布。选择选择点点O为电为电位参考点位参考点 例例 求求长长度度为为2L、电电荷荷线线密度密度为为 的均匀的均匀带电线带电线的的电电位。位。无限无限长直均匀直均匀线电荷荷产生的生的电位，位，任任选有限有限远处的某点的某点为电位参考点，例如，位参考点，例如，= a 点点 例例 点点电电荷荷 带电带电球球 的的电电位。位。选择选择无限无限远处为电远处为电位参考点位参考点:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解22 例例3.1.1 两两块无限大接地无限大接地导体平板分体平板分别置于置于 x = 0 和和 x = a 处，在两板之在两板之间的的 x = b 处有一面密度有一面密度为 的均匀的均匀电荷分布，如下荷分布，如下图。求两求两导体平板之体平板之间的的电位和位和电场。 解解方程的解方程的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板 分析分析用直接积分方法求解？:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解23最后得最后得 处，处， 处，处， 处，处，确定待定常数确定待定常数利利用用边界界条条件件方法:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解24两区的介两区的介质不同？不同？用高斯定理求解？用高斯定理求解？用用MaxwellMaxwell微分方程求解？微分方程求解？其它坐其它坐标系下的同系下的同类问题？延伸应用思考：延伸应用思考：obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解25例例3.1.2 半径半径为a的的带电导体球，已知球体体球，已知球体电位位为U， 求空求空间电位分布及位分布及电场强度分布。度分布。解法一：解法一：导体球是等体球是等势体。体。时：:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解26时：:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解27解法二：解法二：电荷均匀分布在荷均匀分布在导体球上，呈点体球上，呈点对称。称。 设导设导体球体球带电总带电总量量为为Q，则则可由高斯定理求得，在球外空可由高斯定理求得，在球外空间间，电场电场强强度度为为：:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解28小小结：求空：求空间电场分布的方法分布的方法1、场场源源积积分法分法积分困分困难，对大多数大多数问题不能得出解析解。不能得出解析解。2、应应用高斯定理求解用高斯定理求解只能只能应用于用于电荷成荷成对称分布的称分布的问题。3、间间接求解法接求解法先求解空先求解空间电位分布，再求解空位分布，再求解空间电场。 在在实际应实际应用中，用中，间间接求解法接求解法应应用最用最为为广泛，适用于广泛，适用于边边值问题值问题的求解。的求解。:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解29面对的问题！面对的问题！分析求解方法！分析求解方法！典型应用：典型应用：静电感应静电感应静电屏蔽静电屏蔽关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解301. 电电容容 孤立孤立导导体的体的电电容容 两两导导体所体所组组成成电电容器的容器的电电容容 3.1.3 导体系统的电容与部分电容:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解31导体系体系统的的结构、尺寸、形状和其周构、尺寸、形状和其周围的的电介介质与与导体的体的带电量和量和电位无关位无关决定电容量大小的因素决定电容量大小的因素:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解32假定假定导体体/两两导体体带电荷荷q /q求求导体体/两两导体体间的的电位位/电压 方法一：方法一：求解电容量的方法求解电容量的方法（利用与导体的带电量和电位无关）（利用与导体的带电量和电位无关） 方法二：方法二：按定义求得电容按定义求得电容假定假定导体体/两两导体的体的电位位/电压求求导体表面所体表面所带电量量q :电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解33 解：解：设设内内导导体的体的电电荷荷为为q ，则则由高斯定理可求得内外由高斯定理可求得内外导导体体间间的的电场电场同心同心导体体间的的电压球形球形电容器的容器的电容容当当 时，时，复复习：1、同心球形、同心球形电容器的内容器的内导体半径体半径为a 、外、外导体半径体半径为b，其，其间填充介填充介电常数常数为的均匀介的均匀介质。求此球形。求此球形电容器的容器的电容。容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解34 复复习习：2、同、同轴线轴线内内导导体半径体半径为为a ，外，外导导体半径体半径为为b ，内外，内外导导体体间间填充的介填充的介电电常数常数为为 的均匀介的均匀介质质，求同，求同轴线单轴线单位位长长度的度的电电容。容。内外内外导体体间的的电位差位差 解解 设设同同轴线轴线的内、外的内、外导导体体单单位位长长度度带电带电量分量分别为别为 和和 ，应应用高斯定理可得到内外用高斯定理可得到内外导导体体间间任一点的任一点的电场电场强强度度为为故得同故得同轴线单位位长度的度的电容容为同轴线同轴线:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解35 例例 3.1.3 如如图图所示的平行双所示的平行双线传输线线传输线，导线导线半径半径为为a ，两，两导线导线的的轴线轴线距离距离为为D ，且，且D a ，求，求传输线单传输线单位位长长度的度的电电容。容。解解 设两两导线上的上的带电量分量分别为 和和 。由于。由于 ，故可近，故可近似地似地认为电荷在各荷在各导线表面均匀分布。因此表面均匀分布。因此导线间x处的的电场强度度为两两导线间的的电位差位差故故单位位长度的度的电容容为:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解36 例例3.1.4 同同轴线内内导体半径体半径为a，外，外导体半径体半径为b。内外。内外导体体间充充满介介电常数分常数分别为 和和 的两种理想介的两种理想介质，分界面半径，分界面半径为c。已知外已知外导体接地，内体接地，内导体体电压为U。求求:(1)导体体间的的 和和 分布；分布； (2)同同轴线单位位长度的度的电容容分析：分析：电场方向垂直于方向垂直于边界，由界，由边界条件可知，在媒界条件可知，在媒质两两边连续解：解：设内内导体体单位位长度度带电量量为由高斯定律，可以求得两由高斯定律，可以求得两边媒媒质中中:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解37（2 2同轴线单位长度带电量为同轴线单位长度带电量为 ，故单位长度电容为，故单位长度电容为:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解38 例例3.1.5 球形球形电容器内容器内导体半径体半径为a，外球壳半径，外球壳半径为b。其。其间充充满介介电常数常数为 和和 的两种均匀媒的两种均匀媒质。设内内导体体带电荷荷为q，外球，外球壳接地，求球壳壳接地，求球壳间的的电场和和电位分布。位分布。分析：分析：电场平行于介平行于介质分界面，由分界面，由边界条件可知，介界条件可知，介质两两边相等。相等。解：令电场强度为解：令电场强度为 ，由高斯定律，由高斯定律:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解39小小结：应用高斯定理求解静用高斯定理求解静电场边值问题步步骤： 根据根据电电荷分布，判断荷分布，判断电场电场方向方向 判断判断电场电场方向与方向与边边界面关系界面关系 垂直或相切）垂直或相切） 应应用用边边界条件，判断是界条件，判断是 连续还连续还是是 连续连续 应应用高斯公式求解，一般用用高斯公式求解，一般用 求解求解:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解40面对的问题！面对的问题！分析求解方法！分析求解方法！典型应用典型应用! !关联的一般性物理问题关联的一般性物理问题: :静电场的能量静电场的能量电容的储能电容的储能:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解41l 通通过电过电位位计计算算体分布体分布电荷情况荷情况面分布面分布电荷荷多多导体体组成的成的带电系系统 第第i 个个导导体所体所带带的的电电荷荷 第第i 个个导导体的体的电电位位式中：式中：双双导体系体系统电容器的容器的储能能3.1.4 静静电场电场的能量的能量 :电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解422. 电场电场能量密度能量密度电场能量密度：电场能量密度：电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所在的整个空间对于于线性、各向同性介性、各向同性介质，则有有l 通通过电场过电场分布分布计计算算:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解43由由边界条件知在界条件知在边界两界两边 连续。解：解：设同同轴线内内导体体单位位长度度带电量量为Q Q例例3.1.6 3.1.6 已知同轴线内外导体半径分别为已知同轴线内外导体半径分别为a,ba,b，导体间部分填充介，导体间部分填充介质，介质介电常数为质，介质介电常数为 ，如下图。已知内外导体间电压为，如下图。已知内外导体间电压为U U。求：导体间单位长度内的电场能量。求：导体间单位长度内的电场能量。:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解44:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解45或或知知识延展：延展：对电容器容器:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解463.3.1 恒定磁场的基本方程和边界条件恒定磁场的基本方程和边界条件3.3.2 恒定磁场的矢量磁位和标量磁位恒定磁场的矢量磁位和标量磁位3.3.3 电感电感3.3.4 恒定磁场的能量恒定磁场的能量 3.3 恒定磁场分析:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解47面对的问题面对的问题: :存在什么源？存在什么源？在何媒质环境中？在何媒质环境中？突变边界上有何现象？突变边界上有何现象？分析方法？分析方法？典型应用？典型应用？关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？静静态磁磁场:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解482. 2. 边界条件一般性问题）边界条件一般性问题）微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1. 1. 基本方程一般性问题）基本方程一般性问题）积分形式：积分形式：3.3.1 恒定磁恒定磁场场的基本方程和的基本方程和边边界条件界条件或或:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解49面对的问题！面对的问题！分析求解方法：分析求解方法：已有方法及其适用范围？已有方法及其适用范围？利用静磁场的特性，研究新利用静磁场的特性，研究新方法及其优越性？方法及其优越性？典型应用？典型应用？关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？静静态磁磁场:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解50称称为矢量磁位或矢量磁位或简称磁矢位。称磁矢位。1. 矢量磁位的定矢量磁位的定义义3.3.2 恒定磁恒定磁场场的矢量磁位的矢量磁位优越性：可以任意越性：可以任意选择规定磁矢位的散度定磁矢位的散度在恒定磁在恒定磁场中通常中通常规定，并称定，并称为库仑规范。范。如何求出电位函数？:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解512. 磁矢位的微分方程一般性问题）磁矢位的微分方程一般性问题）在无源区：在无源区：矢量泊松方程矢量泊松方程矢量拉普拉斯方程矢量拉普拉斯方程:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解523. 无限大均匀媒质空间中的问题无限大均匀媒质空间中的问题（特殊性问题）（特殊性问题）类比方法求解比方法求解:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解533. 无限大均匀媒质空间中的问题无限大均匀媒质空间中的问题(续续)对于电流的不同分布形式：对于电流的不同分布形式：l体电流分布体电流分布l面电流分布面电流分布l线上的电流线上的电流:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解544. 存在不同媒质空间中的问题一般性问题）存在不同媒质空间中的问题一般性问题）磁矢位的磁矢位的边界条件界条件:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解55关于矢量位关于矢量位A 的补充说明的补充说明 线电线电流的矢量位与流的矢量位与电电流方向一致，求解比流方向一致，求解比较简单较简单 对对体分布体分布电电流，需要直接从泊松方程求解，其流，需要直接从泊松方程求解，其过过程比程比较较复复杂杂 引引入入矢矢量量位位A是是为为了了简简化化求求解解磁磁场场，但但只只有有对对复复杂杂问问题题才才能能显显示出其示出其优优越性，越性，对对于于简单问题简单问题，还还是直接求解磁是直接求解磁场为场为宜宜:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解56 解：先求解：先求长长度度为为2L 的直的直线电线电流的磁矢位。流的磁矢位。电电流元流元 到点到点 的距离的距离 。那么。那么 例例 3.3.1 求无限求无限长线电长线电流流 I 的磁矢位，的磁矢位，设电设电流沿流沿+z 方向流方向流动动。与与计计算算无无限限长长线线电电荷荷的的电电位位一一样样，令令 可可得得到到无无限限长长线线电电流流的磁矢位的磁矢位 xyzL-L:电磁场与电磁波电磁场与电磁波xyzL-L当当 时时当当 时时,A为无限大为无限大.可以将可以将A的参的参考点选取在考点选取在 处处,即令即令故有故有于是于是第三章 静态场及其边值问题的解:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解58面对的问题！面对的问题！分析求解方法！分析求解方法！典型应用：典型应用：电感自感、互感）电感自感、互感）关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？静静态磁磁场:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解591. 磁通与磁链磁通与磁链3.3.3 电感电感 C 回路回路l 磁通磁通l 磁磁链链特征：回路可以是任意几何回路特征：回路可以是任意几何回路与所有与所有电流回路流回路铰链的的总磁通磁通特征：特征：回路是回路是电流回路流回路计入入电流存在的所有回路流存在的所有回路每个回路是每个回路是计入与之入与之铰链的全部的全部磁通磁通CI电流回路电流回路 I:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解60n: 为为磁磁场场铰铰链链的的电电流流与与回回路路电电流流I 之比之比（不一定（不一定为为整数）整数） 单单匝匝线线圈圈 多匝多匝线线圈圈CI 细回路细回路 粗粗导线导线回路回路 iCI o粗回路粗回路l 磁链计算磁链计算 o :外磁外磁链链； i :内磁内磁链链:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解61称称为导体回路体回路 C 的自感系数，的自感系数，简称自感。称自感。 外自感外自感2. 自感自感 内自感；内自感；粗粗导体回路的自感：体回路的自感：L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围围的的磁介磁介质质有关，与有关，与电电流和磁流和磁链链的大小无关。的大小无关。 自感的特点：自感的特点：特征：磁特征：磁链是是I自已自已产生的生的 iCI o粗回粗回路路:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解62 解：先求内解：先求内导导体的内自感。体的内自感。设设同同轴线轴线中的中的电电流流为为I ，由安培，由安培环环路定理路定理处面元的磁通为 例例3.3.2 求同求同轴线单轴线单位位长长度的自感。度的自感。得得则其磁其磁链为:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解63因此内因此内导体中体中总的内磁的内磁链为故故单位位长度的内自感度的内自感为再求内、外再求内、外导体体间的外自感。的外自感。那么那么故故单位位长度的外自感度的外自感为单位位长度的度的总自感自感为:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解64 例例3.3.3 计算平行双线传输线单位长度的自感。（计算平行双线传输线单位长度的自感。（D a ）外磁外磁链为， 解解 应应用安培用安培环环路定理和叠加原理路定理和叠加原理 可得，可得，PII于是于是单位位长度的外自感度的外自感为，:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解65两根两根导线单位位长度的内自感度的内自感为故得到平行双故得到平行双线传输线单位位长度的自感度的自感为:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解66回路回路 C1 对回路回路 C2 的互感系数，的互感系数，简称互感。称互感。 3. 互感互感同理，回路同理，回路 C2 对回路回路 C1 的互感的互感为C1C2I1I2特征：特征： 在在C2中看由中看由I1产生的磁生的磁链特征：特征： 在在C1中看由中看由I2产生的磁生的磁链纽曼公式曼公式C1 C1 中中总总磁磁链链:1:1总总 =1+12 =1+12C2 C2 中中总总磁磁链链:2:2总总 =2 +21 =2 +21考虑：考虑： 1 1总总 = =？；？； 2 2总总 = =？:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解67 互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相互感只与回路的几何形状、尺寸、两回路的相对对位置以及周位置以及周围围 磁介磁介质质有关，而与有关，而与电电流无关。流无关。 满满足互易关系，即足互易关系，即M12 = M21 当与回路交当与回路交链链的互感磁通与自感磁通具有相同的符号的互感磁通与自感磁通具有相同的符号时时，互，互 感系数感系数 M 为为正正值值；反之，；反之，则则互感系数互感系数 M 为负值为负值。 互感的特点：互感的特点：:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解68计算自感或互感的一般步算自感或互感的一般步骤为：(1)(1)假假设回路中的回路中的电流流为I I；(2)(2)根据根据I I求出磁感求出磁感应强度度B B；(3)(3)求出与回路交求出与回路交链的磁的磁链；(4)(4)计算比算比值，求出自感或互感。，求出自感或互感。电感的计算电感的计算直接使用直接使用纽曼公式曼公式利用磁利用磁场能量能量:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解69由由图中可知中可知长直导线与三角形回路长直导线与三角形回路穿穿过三角形回路面三角形回路面积的磁通的磁通为 解解 设长设长直直导线导线中的中的电电流流为为I ，根据，根据安培安培环环路定理，得到路定理，得到 例例3.3.4 如下如下图图，长长直直导线导线与三角与三角形形导导体回路共面，求它体回路共面，求它们们之之间间的互感。的互感。:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解70因而因而故故长直直导线与三角形与三角形导体回路的互感体回路的互感为:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解71面对的问题！面对的问题！分析求解方法！分析求解方法！典型应用！典型应用！关联的一般性物理问题：关联的一般性物理问题：磁场能量磁场能量电感的储能电感的储能静静态磁磁场:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解721. 通过磁场分布计算磁场能量通过磁场分布计算磁场能量磁磁场能量密度：能量密度：磁磁场能量：能量：积分区域积分区域V内的内的磁场能量磁场能量对于于线性各向同性媒性各向同性媒质，则有有3.3.4 恒定磁恒定磁场场的能量的能量:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解73体分布体分布电流流时面分布面分布电流流时回路回路线电流流时2. 通过磁矢位计算磁场能量通过磁矢位计算磁场能量:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解743. 通过电感计算磁场能量通过电感计算磁场能量电感感储能能单个个载流回路）：流回路）：电感感储能（能（ N个个载流回路）：流回路）：例如例如对2个个载流回路流回路:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解75例例3.3.5 求半径为求半径为a的无限长直导线单位长度内自感。的无限长直导线单位长度内自感。解：解：设导体内体内电流流为I I，则由安培由安培环路定律路定律则导体内体内单位位长度磁能度磁能为:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解76 例例3.3.6 试试求同求同轴电缆轴电缆中中单单位位长长度度储储存的磁存的磁场场能量与自感。能量与自感。 解：由安培解：由安培环环路定理，得路定理，得:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解77三个区域三个区域单位位长度内的磁度内的磁场能量分能量分别为:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解78单位位长度内度内总的磁的磁场能量能量为单位位长度的度的总自感自感内导体的内自感内导体的内自感内外导体间的外自感内外导体间的外自感外导体的内自感外导体的内自感:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解79例例3.3.7 矩矩形形回回路路与与长直直导线共共面面，如如图。求求二二者者之之间的的互感。当矩形回路互感。当矩形回路绕轴旋旋转90时，求磁，求磁场能量的能量的变化。化。解：解：长直直导线产生的磁生的磁场为abcI2I1rdra+b/2cI2I1此此时磁磁场能量能量为Wm。当当矩矩形形回回路路绕轴旋旋转90时， =0，此此时的互感的互感M=0，此，此时的磁的磁场能量能量变为:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解80 电位函数满足电位函数满足PoissonPoisson方程方程 基于电位求解分析静态电场问题的方法基于电位求解分析静态电场问题的方法 电位的边界条件电位的边界条件通通过位函数位函数间接接计算静算静态电磁磁场的分析方法的分析方法:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解81l磁矢位的边界条件磁矢位的边界条件l 磁矢位函数满足磁矢位函数满足PoissonPoisson方程方程 基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法基于磁矢位求解分析静态磁场问题的方法:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解823.2 导电导电媒媒质质中的恒定中的恒定电场电场分析分析 3.2.1 恒定恒定电场电场的基本方程和的基本方程和边边界条件界条件 3.2.2 恒定恒定电场电场与静与静电场电场的比的比拟拟:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解83面对的问题面对的问题: :存在什么源？存在什么源？在何媒质环境中？在何媒质环境中？有何特殊现象？有何特殊现象？边界有何物理量的突变？边界有何物理量的突变？分析方法？分析方法？典型应用？典型应用？关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解84 什么情况下会产生恒定电流场的问题？导电媒质中存在电场的时候！ 由由J E 可知，可知，导导体中若存在恒定体中若存在恒定电电流，流，则则必有必有维维持持该电该电流的流的电场电场，虽虽然然导导体中体中产产生生电场电场的的电电荷作定向运荷作定向运动动，但，但导导体中的体中的电电荷荷分布是一种不随分布是一种不随时间变时间变化的恒定分布，化的恒定分布，这这种恒定分布种恒定分布电电荷荷产产生的生的电场为电场为恒定恒定电场电场。 恒定恒定电场电场和静和静电场满电场满足相同的麦氏方程，具有相同的性足相同的麦氏方程，具有相同的性质质，都，都是有散无旋是有散无旋场场。 电电媒媒质质中描述恒定中描述恒定电场电场的基本的基本变变量是量是:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解852. 2. 边边界条件界条件 一般性一般性问题问题）微分形式：微分形式：本构关系：本构关系：1. 1. 基本方程基本方程 一般性一般性问题问题）积分形式：分形式：或或3. 3. 按媒按媒质质分分类类的两的两类问题类问题 特殊性特殊性问题问题）导电媒质：导电媒质：存在介质：存在介质：3.2.1 恒定恒定电场电场的基本方程和的基本方程和边边界条件界条件均匀均匀导电媒媒质中存在中存在净电荷？荷？:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解86 导电导电媒媒质质情况情况 存在介存在介质质情况情况界面两界面两侧场矢量的方向关系矢量的方向关系分界上两分界上两侧的的边界条件界条件界面上两界面上两侧场量的特殊性量的特殊性导体导体介质介质导电媒质导电媒质2 2导电媒质导电媒质1 1面面电荷？荷？导体是等位体？体是等位体？有限有限 如如 2 1、且且290，那那么么10，即即电电场场线线近近似似垂垂直直于于良良导导体体表表面面。此此时时，良良导导体体表表面面可可近似地看作近似地看作为为等位面。等位面。若若媒媒质1 1为理理想想介介质，即即 1 10 0，则J1=0J1=0，故故J2n= J2n= 0 0 且且 E2n= E2n= 0 0，即即导体体表表面面处的的电流流和和电场与分界面平行。与分界面平行。:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解87恒定恒定电场与静与静电场的重要区的重要区别： （1 1与静与静电场性性质相同，但相同，但产生的源不同，分生的源不同，分别为运运动电荷和静止荷和静止电荷，但其密度都不随荷，但其密度都不随时间变化。化。 （2 2恒定恒定电场既可存在外部介既可存在外部介质中，也可存在于中，也可存在于导体内部；一般情况下其表面同体内部；一般情况下其表面同时有法向和切向分量，有法向和切向分量，电场不垂直于表面，此不垂直于表面，此时导电体不是等位体。体不是等位体。 （3 3恒定恒定电场中有中有电场能量的能量的损耗耗, ,要要维持持导体中的恒定体中的恒定电流，流，就必就必须有外加有外加电源来不断源来不断补充被充被损耗的能量。耗的能量。:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解88面对的问题！面对的问题！分析方法：分析方法：哪些方法最适合？哪些方法最适合？典型应用？典型应用？关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解89什么情况下会产生恒定电流场的问题？导电媒质中存在电场的时候！分析解决问题的关键是求电场强度基于已知电荷的方法基于电流欧姆定律） 基于电位的方法:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解90（1 1利用欧姆定律利用欧姆定律导电媒媒质的本构关系表示了的本构关系表示了电场强度度 基于电流求解分析恒定电场问题的方法基于电流求解分析恒定电场问题的方法（2 2用已知量通常是激励用已知量通常是激励电压表示出未知量表示出未知量:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解91 电电位函数位函数满满足足LaplaceLaplace方程方程 基于电位求解分析恒定电场问题的方法基于电位求解分析恒定电场问题的方法 电电位的位的边边界条件界条件:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解92 例例3.2.1一一个个有有两两层层介介质质的的平平行行板板电电容容器器，其其参参数数分分别别为为1、 1 和和 2、 2 ，外加，外加电压电压U。求介。求介质质面上的自由面上的自由电电荷密度。荷密度。 解解：极极板板是是理理想想导导体体，为为等位面，等位面，电电流沿流沿z 方向。方向。:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解93 例例3.2.2 如如图图示示设设内内导导体的体的电压为电压为U0 ，外，外导导体接地。求：（体接地。求：（1 同同轴线轴线中各区域中的中各区域中的电电流密度和流密度和电场电场强强度分布；（度分布；（2 各分界面上的各分界面上的自由自由电电荷面密度。荷面密度。外外导体体内导体内导体介质介质2 2介质介质1:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解94 （1 1设同轴电缆中的径向电流为设同轴电缆中的径向电流为I ,I ,则由则由 可得电流密度可得电流密度介介质中的中的电场 解解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。以电流密度成轴对称分布。单位长度的径向电流单位长度的径向电流:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解95故两种介质中的电流密度和电场强度分别为故两种介质中的电流密度和电场强度分别为由于由于于是得到于是得到:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解96 （2由由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介介质2外表面的外表面的电荷面密度荷面密度为两种介两种介质分界面上的分界面上的电荷面密度荷面密度为:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解97面对的问题！面对的问题！分析方法！分析方法！典型应用：典型应用：导体的电阻和电导导体的电阻和电导关联的一般性物理问题？关联的一般性物理问题？:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解983.2.2 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟 绝缘电阻和漏阻和漏电导 如如果果两两种种场场，在在一一定定条条件件下下，场场方方程程有有相相同同的的形形式式，边边界界形形状状相相同同，边边界界条条件件等等效效，则则其其解解也也必必有有相相同同的的形形式式，求求解解这这两两种种场场分分布布必必然然是是同同一一个个数数学学问问题题。只只需需求求出出一一种种场场的的解解，就就可可以以用用对对应应的的物物理理量量作作替替换换而而得得到到另另一一种种场场的解。的解。这这种求解种求解场场的方法称的方法称为为比比拟拟法。法。:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解99(1) 假定两假定两电电极极间间的的电电流流为为I ； 由由 ，求出两，求出两导导 体体间间的的电电位差；位差；(3) 由定由定义义求求电导电导： 计计算算电导电导的方法一：的方法一： 计计算算电导电导的方法二：的方法二： (1) 假定两假定两电电极极间间的的电电位差位差为为U； (2) 由由 ，求出两，求出两导导体体 间电间电流；流； (3) 由定由定义义求求电导电导： 计计算算电导电导的方法三：的方法三：静静电比比拟法：法：:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解100恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟基本方程基本方程静电场（静电场（ 区域）区域） 本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场电源外）恒定电场电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场恒定电场恒定电场:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解101 两两种种场场对对应应的的电电位位均均为为拉拉普普拉拉斯斯方方程程的的解解，只只要要两两种种场场用用电电位表示的位表示的边边界条件相同界条件相同时时，两种，两种场场解的形式必然相同。解的形式必然相同。 l 要要求求恒恒定定电电场场问问题题，如如果果对对应应的的具具有有相相同同边边界界形形状状的的静静电电场场问题问题已知，恒定已知，恒定电场电场的解可用的解可用对对偶关系直接写出；偶关系直接写出；l 研究静研究静电场时电场时，可用恒定，可用恒定电场电场的的测测量来模量来模拟拟静静电场电场。:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解102 例例3.2.3 求同求同轴电缆轴电缆的的绝缘电绝缘电阻。阻。设设内外的半径分内外的半径分别为别为a 、b，长长度度为为l ，其，其间间媒媒质质的的电导电导率率为为、介、介电电常数常数为为。解：直接用恒定解：直接用恒定电场的的计算方法算方法电导电导绝缘电阻绝缘电阻那那么么设由内由内导体流向外体流向外导体的体的电流流为I 。:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解103方程通解方程通解为 例例3.2.4 在一在一块块厚度厚度为为h 的的导电导电板上，板上， 由两个半径由两个半径为为r1 和和 r2 的的圆圆弧和弧和夹夹角角为为 0 的两半径割出的一段的两半径割出的一段环环形形导电导电媒媒质质，如下，如下图图。计计算沿算沿 方向的两方向的两电电极之极之间间的的电电阻。阻。设导电设导电媒媒质质的的电导电导率率为为。 解：解： 设设在沿在沿 方向的两方向的两电电极之极之间间外加外加电压电压U0，则电则电流沿流沿 方向流方向流动动，而且，而且电电流密度是随流密度是随 变变化的。但容易判定化的。但容易判定电电位位 只是只是变变量量 的函数，因此的函数，因此电电位函数位函数 满满足一足一维维拉普拉斯方程拉普拉斯方程代入代入边界条件界条件可以得到可以得到环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 0:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解104电流密度流密度两两电极之极之间的的电流流故沿故沿 方向的两方向的两电极之极之间的的电阻阻为所以所以:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解105面对的问题！面对的问题！分析方法！分析方法！典型应用！典型应用！关联的一般性物理问题：关联的一般性物理问题：功耗功耗:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解106 导体媒质的功耗导体媒质的功耗 功耗密度和功耗功耗密度和功耗为什么电阻为什么电阻R消耗的功率是消耗的功率是:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解107分分类分析求解静分析求解静态电磁磁场问题静静态电场按按场的的类型型静静态磁磁场静静电场恒定恒定电场:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解108 一、静止一、静止电电荷荷产产生的生的场场 静静电场电场）n 导导体（体（ ）内部的）内部的电场为电场为零零n 导导体表面的切向体表面的切向电场为电场为零零 等等势势体体n 导导体内部的体内部的电电荷荷为为零零n 电电荷只能位于荷只能位于导导体表面，密集于表面体表面，密集于表面类锐类锐部分部分n 应应用：静用：静电电感感应应，静，静电电屏蔽，避雷屏蔽，避雷针针， 静态电场的典型现象和结论静态电场的典型现象和结论:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解109 二、运二、运动电动电荷荷产产生的直流生的直流电场电场 恒定恒定电场电场）n 导导体（体（ ）内部可存在）内部可存在电场电场n 导导体表面的切向体表面的切向电场电场一般非零一般非零 非等非等势势体体n 导导体内部可有运体内部可有运动电动电荷，但荷，但净电净电荷量荷量为为零零n 净电净电荷只能位于荷只能位于导导体表面体表面n 理想理想导导体（体（ ）内部）内部电场为电场为零，零，电电流流为为零零n 理想理想导导体体边边界上的界上的电场电场垂直于表面垂直于表面 等等势势体体典型静电场现象典型静电场现象:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解110进一步理解静电场和恒定电场进一步理解静电场和恒定电场思考题：思考题：导体体U求：求：1 1）；2 2储能或功耗？能或功耗？导体体wttU:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解111例：例： 板间距离为板间距离为d d的大平行导体板的大平行导体板d d比极板的长和宽都小得多）比极板的长和宽都小得多）。两板接上直流电压为。两板接上直流电压为U U的电源进行充电如图的电源进行充电如图1.1.（a a所示），所示），然后断开电源，并在板间放入一块厚度为然后断开电源，并在板间放入一块厚度为t t的大介质板。介质板的大介质板。介质板的相对介电常数为的相对介电常数为 ，如图，如图1.1.（b b所示。求所示。求1 1此时平此时平行导体板间各处的电场强度；（行导体板间各处的电场强度；（2 2此时平行板单位面积的电容；此时平行板单位面积的电容；（3 3此时各区域的能量密度大小。此时各区域的能量密度大小。另外，如果放入的这块介质板有较大损耗，即另外，如果放入的这块介质板有较大损耗，即 s/m, s/m, 如图如图1.1.（c c）。求）。求4 4该情况下平行导体板间各处的电该情况下平行导体板间各处的电场强度；（场强度；（5 5该情况下平行板单位面积的电容；（该情况下平行板单位面积的电容；（6 6该情况该情况下各区域的能量密度大小。下各区域的能量密度大小。dUtt图1.(a)图1.(b)图1.(c):电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解112求求1此此时平行平行导体板体板间各各处的的电场强度度t图1.(b)板间空气区域：板间空气区域：板板间介介质区域：区域：断开断开电源，板上源，板上Q保持不保持不变方向垂直平板向方向垂直平板向 d边界条件界条件D法向法向连续（2此此时平行板平行板单位面位面积的的电容容:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解113（3此此时各区域的能量密度大小各区域的能量密度大小板间空气区域：板间空气区域：板间介质区域：板间介质区域：（4该情况下平行情况下平行导体板体板间各各处的的电场强度度t图1.(c)板板间空气区域：空气区域：板板间介介质区域：区域：同前同前静静电平衡，内部平衡，内部场为零零:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解114（5该情况下平行板情况下平行板单位面位面积的的电容容（6该情况下各区域的能量密度大小情况下各区域的能量密度大小板板间空气区域：空气区域：板板间介介质区域：区域：:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解115l 具有具有强强对对称性的称性的问题问题l 无限大的均匀媒质空间中的问题无限大的均匀媒质空间中的问题 已经学习掌握的分析能力已经学习掌握的分析能力l 待求待求场场量或位函数具有量或位函数具有单单一一坐坐标变标变量依量依赖赖的特征！的特征！l（一（一维问题）（包括高（包括高维问题）:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解116对于高维问题(多自变量) 如何着手分析？ 求解边值问题！边值问题的描述边值问题的解法:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解1173.4 静静态场态场的的边值问题边值问题讨论内容内容 3.4.1 边值问题的的类型型 3.4.2 惟一性定理惟一性定理边值问题：在：在给定的定的边界条件下，求解位函数的界条件下，求解位函数的 泊泊松松方方程程或或拉拉普普拉拉斯斯方方程程位函数方程是偏微分方程，位函数的位函数方程是偏微分方程，位函数的边界条界条件保件保证了方程的解是惟一的。了方程的解是惟一的。:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解118 求解边值问题：边值问题的描述边值问题的解法:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解1193.4.1 边值问题边值问题的的类类型型给定定第一第一类边值问题或狄里赫利或狄里赫利问题）给定定 给给定定第三第三类边值问题或混合或混合边值问题）第二第二类边值问题或或纽曼曼问题）V V：求解域：求解域S S：V V的包围面的包围面:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解120 自然自然边边界条件界条件 （无界空（无界空间间） 周期周期边边界条件界条件 衔衔接条件接条件不同媒不同媒质分界面上的分界面上的边界条件，如界条件，如要求：掌握用解边值问题的思想求解要求：掌握用解边值问题的思想求解 任意复杂问题的数学描述方法任意复杂问题的数学描述方法:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解121例：例：（第一（第一类边值问题）（第三（第三类边值问题）例：例：:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解122 求解边值问题：边值问题的描述边值问题的解法镜像法分离变量法有限差分法.:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解123 在求解域在求解域V内保持待求量的方程不变，内保持待求量的方程不变，同时，在同时，在V的包围边界面的包围边界面S上保持给定的上保持给定的 或或 的边值不变，则泊松方程或拉普拉斯的边值不变，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域方程在场域V 内的解惟一。内的解惟一。 3.4.2 惟一性定理惟一性定理惟一性定理的重要意惟一性定理的重要意义给出了出了边值问题具有惟一解的条件具有惟一解的条件为求解求解场问题的各种求解方法提供了理的各种求解方法提供了理论依据依据为求解求解结果的正确性提供了判据果的正确性提供了判据惟一性定理的表述惟一性定理的表述V V：求解域：求解域S S：V V的包围面的包围面:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解124唯一性定理综述唯一性定理综述 涵涵义义：只只要要给给定定了了边边界界条条件件，标标量量位位拉拉氏氏方方程程或或泊泊松松方方程程的的解就是唯一确定的解就是唯一确定的 至多相差一个常数）至多相差一个常数） 意意义义：无无论论用用什什么么方方法法求求得得拉拉氏氏方方程程或或泊泊松松方方程程的的解解，只只要要满满足足给给定的定的边边界条件，所得的解就是正确的界条件，所得的解就是正确的:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解125 3.5.1 3.5.1 镜像法的基本原理镜像法的基本原理 3.5.2 3.5.2 接地导体平面的镜像接地导体平面的镜像 3.5.3 3.5.3 导体球面的镜像导体球面的镜像 3.5.4 3.5.4 导体圆柱面的镜像导体圆柱面的镜像 3.5.5 3.5.5 点点电电荷荷与与无无限限大大电电介介质质平平面面的的镜镜像像 3.5.6 3.5.6 线线电电流流与与无无限限大大磁磁介介质质平平面面的的镜镜像像 3.5 镜像法镜像法:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解1261. 问题的提出问题的提出几个几个实例例接接地地导体体板板附附近近有有一个点一个点电荷，如下荷，如下图。q qqq非均匀感非均匀感应面面电荷荷等效等效电荷荷3.5.1 镜镜像法的基本原理像法的基本原理:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解127 接地导体球附近有一个点电荷，如图。接地导体球附近有一个点电荷，如图。 接地接地导体柱附近有一个体柱附近有一个线电荷。情况与上例荷。情况与上例类似，但等效似，但等效电 荷荷为线电荷。荷。q q非均匀感非均匀感应电荷荷qq等效等效电荷荷问题：这种等效种等效电荷是否存在？荷是否存在？ 这种等效是否合理？种等效是否合理？:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解1282. 镜像法的原理镜像法的原理方法：方法： 在求解域外设置等效电荷，集中代表边界上分布电在求解域外设置等效电荷，集中代表边界上分布电荷的作用荷的作用3. 镜镜像法的理像法的理论论基基础础目的：目的： 使复杂边值问题，化为无限大单一媒质空间的问题使复杂边值问题，化为无限大单一媒质空间的问题解的惟一性定理解的惟一性定理:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解129 像像电电荷的个数、位置及其荷的个数、位置及其电电量大小量大小确定确定“三要素三要素” ” 4. 镜镜像法像法应应用的关用的关键键点点5. 确定确定镜镜像像电电荷的两条原荷的两条原则则明确等效求解的明确等效求解的“有效有效场域域”镜像像电荷的确定荷的确定像像电荷必荷必须位于求解域以外位于求解域以外像像电荷的个数、位置及荷的个数、位置及电荷量的大小的荷量的大小的选择目目标 是保持是保持问题的的边界条件不界条件不变:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解1301. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像点电荷对无限大接地导体平面的镜像满足原足原边值问题，所得的，所得的结果正确！果正确！3.5.2 接地接地导导体平面的体平面的镜镜像像镜像像电荷荷电位函数位函数因因z = 0z = 0时，有效区域有效区域q qq q:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解131求接地平板求接地平板导体上的感体上的感应电荷面密度和荷面密度和总电荷量荷量q q 导体平面上的感体平面上的感应电荷密度荷密度为导体平面上的体平面上的总感感应电荷荷为计算机模拟的接地导体板附近有计算机模拟的接地导体板附近有一个点电荷时的电场分布图一个点电荷时的电场分布图:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解1322. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像线电荷对无限大接地导体平面的镜像镜像像线电荷：荷：电位函数：位函数：边值边值问题问题当当z = 0 时，有效区域有效区域满足原足原边值问题，所得的所得的结果正确！果正确！:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解1333. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像q对对于平面于平面1:有有镜镜像像电电荷荷q1=q，位于，位于(d1, d2 )q对对于平面于平面2:有有镜镜像像电电荷荷q2=q，位于，位于( d1, d2 )求得求得电位函数位函数为：q1对对于平面于平面2及及q2对对于平面于平面1:有有镜镜像像电电荷荷q3=q，位位于于( -d1, d2 ) d11qd22RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解134用用计算算机机模模拟的的，当当夹角角为60的的两两个个半半无无限限大大接接地地导体体平平板之板之间有一个点有一个点电荷荷q时，镜像像电荷的位置示意荷的位置示意图由由图可可知知，点点电荷荷q共有共有5个像个像电荷荷6个个电荷荷两两两两成成对地地分分别构构成成两两个个平平面面包包括括平平面面的的延延伸伸部部分分的的镜像关系，缺一不可像关系，缺一不可如如果果两两导导体体平平面面不不是是相相互互垂垂直直、而而是是相相交交成成一一定定角角度度，只只要要 (n为为整整数数)，就就可可以以用用镜镜像像法法求求解解，镜镜像像电电荷数为荷数为(2n-1)。:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解135 例例3.5.1 一一个个点点电电荷荷q与与无无限限大大导导体体平平面面距距离离为为d，如如果果把把它它移移至无至无穷远处穷远处，需要做多少功？，需要做多少功？解：解：qqx = 0d-d移移动电荷荷q q时，外力需要克服，外力需要克服电场力力做功，而做功，而电荷荷q q受的受的电场力来源于力来源于导体板上的感体板上的感应电荷。可以先求荷。可以先求电荷荷q q移至无移至无穷远时电场力所做的功。力所做的功。:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解1363.5.3 导导体球面的体球面的镜镜像像1. 点电荷对接地导体球面的镜像点电荷对接地导体球面的镜像方法方法: ? 问题：问题： PqarRdqPaqrRRdd边界条件！界条件！:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解137像电荷的位置像电荷的位置像像电荷的荷的电量量常数常数qPqaRRddO常数常数:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解138可可见，导体球面上的体球面上的总感感应电荷也与所荷也与所设置的置的镜像像电荷相等。荷相等。求球面上的感应电荷密度和总电荷求球面上的感应电荷密度和总电荷导体球面上的体球面上的总感感应电荷荷为球面上的感球面上的感应电荷面密度荷面密度为:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解139用用计计算算机机模模拟拟的的，接接地地导导体体球球旁旁有有一一个个点点电电荷荷q时时，空空间间的电位、电场分布图的电位、电场分布图由由图图可可知知，点点电电荷荷q产产生生的的电电力力线线只只有有一一部部分分终终止止在在导导体体球球上上，另另一一部部分分延延伸伸至至无无穷穷远远。所所以以:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解140点电荷对接地空心导体球壳的镜像点电荷对接地空心导体球壳的镜像| q|q|与外半径与外半径 b 无关无关为什么？）什么？）aqd1Obqd2rRRP:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解141感感应面密度面密度为：导体球内表面的体球内表面的总感感应电荷荷为求球壳内表面上的感应电荷密度和总电荷求球壳内表面上的感应电荷密度和总电荷等效等效电荷量荷量总是等于感是等于感应电荷量？荷量？等效等效电荷量荷量总是等于感是等于感应电荷量？荷量？ NO！:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解142用用计计算算机机模模拟拟的的，接接地地空空心心导导体体球球壳壳中中有有一一个个点点电电荷荷q时时，球内空间的电位、电场分布图球内空间的电位、电场分布图由由图可可知知，点点电荷荷q在在内内球球面面将将产生生电量量为q的非均匀感的非均匀感应电荷荷但但是是，感感应电荷荷的的总量量不不等等于于镜像像电荷荷，也也就就是是说，用用镜像像电荷荷替替代代感感应电荷荷，只只是是作作用用上的等效上的等效:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解1432 . 点电荷对不接地导体球的镜像点电荷对不接地导体球的镜像导体球不接地时的特点：导体球不接地时的特点： 导导体等体等势势但不但不为为零零 球面上感球面上感应电应电荷荷总总量量为为零零PqarRdO负电荷分布同接地球球分布？荷分布同接地球球分布？正正电荷均匀分布？荷均匀分布？qPaqrRRddqO 感感应电应电荷的面分布荷的面分布为为：:电磁场与电磁波电磁场与电磁波例例 在在内内外外半半径径分分别别为为a a和和b b的的导导体体球球壳壳不不接接地地中中，有一个电荷有一个电荷q q，求空间的电位分布。，求空间的电位分布。解解：在在导体体球球的的内内表表面面，将将出出现总量量为q q的的非非均均匀匀感感应电荷荷，在在导体体球球的的外外表表面面出出现总量量为q q的的均均匀匀电荷荷。所所以以，当当r rb b时，电位分布位分布为aqd1ObrP对于于ra）。求：）。求：（1 导导体球接地体球接地时时空空间电间电位分布及位分布及电电荷荷Q所受的所受的电场电场力；力；（2 导导体球未接地体球未接地时时空空间电间电位分布及位分布及电电荷荷Q所受的所受的电场电场力；力；解解:(1):(1)当当导体球接地体球接地时，由，由镜像法，原像法，原问题可等效可等效为空空间只存在只存在Q Q和和镜像像电荷荷qq，不存在，不存在边界的界的问题。易知：易知：例例 则球外空球外空间任意点任意点处电位位为：导体球接地，因此球内空体球接地，因此球内空间电位位为0 0，即：，即：PqarRdqPaqrRRdd:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解147电荷荷Q Q受静受静电力力为：(2)当当导导体球不接地体球不接地时时，由，由镜镜像法，原像法，原问题问题可等效可等效为为空空间间只存在只存在Q和和镜镜像像电电荷荷q和和q，不存在，不存在边边界的界的问题问题。易知：易知：位置位于球心。位置位于球心。则球外空球外空间任意点任意点处电位位为：aqrPdqd-qrR:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解148半径为半径为a a的长直导线架载离地面为的长直导线架载离地面为h h的高空的高空(ha)(ha)。若将。若将地面视为理想导体，求此导线与地面之间每单位长度的地面视为理想导体，求此导线与地面之间每单位长度的电容。电容。hh解：解：设导线单位位长度度电荷荷为 ,则像像电荷荷为导线表面上的表面上的电位位为故故导线与地面之与地面之间每每电位位长度的度的电容容为:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解149:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解150:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解151用镜像法要求分析求解的问题1. 1. 平面接地导体平面接地导体2. 2. 球面接地导体包括球内、球外）球面接地导体包括球内、球外）3. 3. 球面不接地导体包括球内、球外）球面不接地导体包括球内、球外）4. 4. 平面、球等组合情况平面、球等组合情况:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解152分析方法总结已经学到的方法和可以解决的问题1. 无限大单一媒质空间的问题一维、二维、三维问题）场-源直接积分法积分方程方法Maxwell方程的积分形式）微分方程方法Maxwell方程的微分形式、Poisson方程）2. 单一/非单一媒质空间的问题一维问题）Gauss定律、安培环路定律积分方程简化为代数方程）Poisson方程偏微分方程简化为常微分方程）3. 非单一媒质空间的高维问题镜像法:电磁场与电磁波电磁场与电磁波第三章 静态场及其边值问题的解153习 题一、思考一、思考题及及3.13.1；3.33.3；3.43.4；3.53.5；3.133.13；3.143.14；3.183.18；3.213.21二、提交二、提交3.73.7；3.83.8；3.93.9；3.163.16；3.193.19；3.243.24: