3.2.2 直线的两点式方程直线的两点式方程 y=kx+b y- y0 =k(x- x0 )复习巩固1). 直线的点斜式方程：直线的点斜式方程：2). 直线的斜截式方程：直线的斜截式方程：k为斜率，为斜率， P0(x0 ,y0)为直线上的任意一个点为直线上的任意一个点 k为斜率，为斜率，b为截距为截距一、复习、引入一、复习、引入 解：设直线方程为：解：设直线方程为：y=kx+b.例例1.已知直线经过已知直线经过P1(1,3)和和P2(2,4)两点，求直线的方程两点，求直线的方程一般做法：一般做法：由已知得：由已知得：解方程组得：解方程组得：所以，直线方程为所以，直线方程为: y=x+2简单的做法：简单的做法：化简得：化简得： x-y+2=0还有其他做法吗？为什么可以这样做，这样做为什么可以这样做，这样做的根据是什么？的根据是什么？例例1.已知直线经过已知直线经过P1(1,3)和和P2(2,4)两点，求直线的方程两点，求直线的方程 动点轨迹法解释：动点轨迹法解释：k kPPPP1 1= k= kP P1 1P P2 2即：即： 得得:y=x+2:y=x+2设设P(x,y)P(x,y)为直线上不同于为直线上不同于P P1 1 、P P2 2的动点，并且的动点，并且P P点与点与P P1 1(1,3)(1,3)和和P P2 2(2,4)(2,4)在同一直线上，根据斜率相等可得：在同一直线上，根据斜率相等可得：二、直线两点式方程的推导二、直线两点式方程的推导例例1.已知直线经过已知直线经过P1(1,3)和和P2(2,4)两点，求直线的方程两点，求直线的方程 已知两点已知两点P1 ( x1 , y1 )，P2(x2 , y2)，求通过，求通过这这两点的直线方程两点的直线方程解：设点解：设点P(x,y)是直线上不同于是直线上不同于P1 ， P2的的点点可得直线的两点式方程：可得直线的两点式方程：kPPPP1 1= kP P1 1P P2 2记忆特点：记忆特点：推广推广左边全为左边全为y，右边全为，右边全为x两边的分母全为常数两边的分母全为常数 分子，分母中的减数相同分子，分母中的减数相同不是不是! ! 是不是已知任一直线中的两点就是不是已知任一直线中的两点就能用两点式能用两点式 写出直线方写出直线方程呢？程呢？ 两点式不能表示垂直于坐标轴的直线两点式不能表示垂直于坐标轴的直线注意：注意： 当当x x1 1 x x2 2或或y y1 1= = y y2 2时，直线时，直线P1 P2没没有两点式方程有两点式方程. .( 因为因为x x1 1 x x2 2或或y y1 1= = y y2 2时，时，两点式的分母为零，没有意义两点式的分母为零，没有意义) 那么哪些直线的方程不能用那么哪些直线的方程不能用两点式两点式来表示呢？来表示呢？三、两点式方程的适应范围三、两点式方程的适应范围 若点若点P1 （ x1 , y1 ），P2（ x2 , y2）中有中有x1 x2 , ,或或y1= y2, ,此时过这两点此时过这两点的直线方程是什么？的直线方程是什么？当当x1 x2 时时方程为：方程为： x x当当 y1= y2时时方程为：方程为： y= y例例2 2：如图，已知直线：如图，已知直线 l 与与x x轴的交点为轴的交点为A(a,0),A(a,0),与与y y轴的交点为轴的交点为B(0,b),B(0,b),其中其中a0,b0,a0,b0,求直线求直线l 的方程的方程 解：将两点解：将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式的坐标代入两点式, 得：得：即即所以直线所以直线l 的方程为：的方程为：四、直线的截距式方程四、直线的截距式方程截距式直线方程截距式直线方程:截距可是正数截距可是正数, ,负数和零负数和零 注意注意：不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 直线与直线与x x轴的交点轴的交点(a, o)(a, o)的横坐标的横坐标a a叫做直叫做直线在线在x x轴上的截距轴上的截距是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？ 直线与直线与y y轴的交点轴的交点(0, b)(0, b)的纵坐标的纵坐标b b叫做直叫做直线在线在y y轴上的截距轴上的截距 过过(1,2)(1,2)并且在两个坐标轴上的截并且在两个坐标轴上的截距相等的直线有几条距相等的直线有几条? ?解解: 两条两条例例3:3:那还有一条呢？那还有一条呢？y=2x (与与x轴和轴和y轴的截距都为轴的截距都为0)所以直线方程为：所以直线方程为：x+y-3=0a=3把把(1,2)代入得：代入得：设设 直线的方程为直线的方程为:解：解：三条三条 过过(1,2)(1,2)并且在两个坐标轴上的并且在两个坐标轴上的截距的截距的绝对值绝对值相等的直线有几条相等的直线有几条? ? 解得：解得：a=b=3或或a=-b=-1直线方程为：直线方程为：y+x-3=0、y-x-1=0或或y=2x设设例例3:3: 例例4:4:已知角形的三个顶点是已知角形的三个顶点是A(A(5 5，0)0)，B(3B(3，3)3)，C(0C(0，2)2)，求，求BCBC边所在的直线边所在的直线方程，以及该边上中线的直线方程。方程，以及该边上中线的直线方程。解：过解：过B(3,-3),C(0,2)两点式方程为：两点式方程为：整理得：整理得：5x+3y-6=0这就是这就是BC边所在直线的方程。边所在直线的方程。五、直线方程的应用五、直线方程的应用 BC边上的中线是顶点边上的中线是顶点A与与BC边中点边中点M所连所连线段，由中点坐标公式可得点线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为：的坐标为：即即整理得：整理得：x+13y+5=0这就是这就是BC边上中线所在的直线的方程。边上中线所在的直线的方程。 过过A(-5,0),M 的直线方程的直线方程中点坐标公式：中点坐标公式：则则若若P1 ，P2坐标分别为坐标分别为( x1 ,y1 ), (x2 ,y2)且中点且中点M的坐标为的坐标为(x,y). .思考题：思考题： 已知直线已知直线l 2x+y+3=0,2x+y+3=0,求关于点求关于点A(1,2)A(1,2)对称的直线对称的直线l 1 1的方程。的方程。 解：当解：当x=0x=0时，y=3y=3. 即点(0,-3)(0,-3)在直线在直线l l上，上，它关于它关于(1,2)(1,2)的对称点为的对称点为(2,7)(2,7). 当当x=-2x=-2时，时，y=1y=1.点(-2,1)(-2,1)在直线在直线l l上，上，它关于它关于(1,2)(1,2)的对称点为的对称点为(4,3)(4,3).因此，直线因此，直线l 1 1的方程为：的方程为：化简得化简得: 2x + y -11=0那么，点那么，点 (2,7) (2,7) ，(4,3)(4,3)在在ll1 1上上还有其它的方法吗？还有其它的方法吗？ l l 1 1，所以所以l 与与l 1 1的斜率相同，的斜率相同， k kl1=-2=-2经计算，经计算，l 1 1过点过点(4,3)(4,3)所以直线的点斜式方程为：所以直线的点斜式方程为：y-3=-2(x-4)y-3=-2(x-4)化简得：化简得： 2x + y -11=03)3)中点坐标公式：中点坐标公式：小结：小结：1)1)直线的两点式方程直线的两点式方程2)2)两点式直线方程的适应范围两点式直线方程的适应范围谢谢,下节课见!作业：作业：P P101101 10. 11. 10. 11.