Ch3协方差传播律及权协方差传播律及权13.1观测向量及其方差观测向量及其方差协方差阵协方差阵 作为衡量精度的指标，中误差可衡量一组观测值的精度。在实际工作中，我们得到的观测值往往是由多个观测值所构成的观测向量。 因此，需要引入观测向量矩阵和方差协方差矩阵。一、协方差一、协方差 对于变量X、Y，其协方差为：23.1观测向量及其方差观测向量及其方差协方差阵协方差阵二、协方差阵二、协方差阵 设有n维观测向量为 则其方差协方差阵定义为：特点：特点：对称；正定；互不相关时为对角矩阵，对角线元素相等时，为等精度观测。33.1观测向量及其方差观测向量及其方差协方差阵协方差阵三、互协方差阵三、互协方差阵 设有两组观测向量为， n维的X，r维的Y。则，它们的互协方差阵为：4思考：思考：若求DZZ？3.2协方差传播律协方差传播律1、协方差传播律的作用、协方差传播律的作用 计算观测向量函数的方差协方差矩阵，从而评定观测向量函数的精度。2、预备公式、预备公式当随机变量 两两独立时，有 53.2协方差传播律协方差传播律3、观测向量线性函数的方差、观测向量线性函数的方差 设观测向量X及其期望和方差为：观测向量线性函数为 式中： 为常数。63.2协方差传播律协方差传播律Z的期望为Z的方差为即展开成纯量形式：7v例题1v例题2v例题383.2协方差传播律协方差传播律4、多个观测向量线性函数的协方差阵、多个观测向量线性函数的协方差阵 若观测向量的多个线性函数为则令93.2协方差传播律协方差传播律于是，观测向量的多个线性函数可写为 。故有 式中： 为对称方阵。 若还有观测向量的另外r个线性函数 其矩阵形式为：103.2协方差传播律协方差传播律则有：而同理：113.2协方差传播律协方差传播律5、多个观测向量非线性函数的协方差阵、多个观测向量非线性函数的协方差阵 基本思想：a、用全微分代替全增量，得到函数误差表达式（线性近似）；b、应用协方差传播律。 设观测向量的t个非线性函数为： 对上式求全微分，得12令 则由误差传播定律得： 133.2协方差传播律协方差传播律v由以上推导知，求非线性函数的方差协方差矩阵比求线性函数的方差协方差矩阵只多一个求全微分的步骤。v例题6v例题7146、应用协方差传播律时应注意的问题、应用协方差传播律时应注意的问题（1）根据测量实际，正确地列出函数式；（2）全微分所列函数式，并用观测值计算偏导数值；（3）计算时注意各项的单位要统一；（4）将微分关系写成矩阵形式；（5）直接应用协方差传播律，得出所求问题的方差协方差矩阵。3.2协方差传播律协方差传播律153.2协方差传播律协方差传播律v协方差传播律的应用1、水准测量的精度2、算术平均值的精度3、若干独立误差的联合影响4、平面控制点的点位精度点位方差：16权的概念权的概念权是表征精度的相对指标，指观测值所占的比重，精度越高，比重越大。权的定义权的定义权与方差成反比权的意义，不在于其数值的大小，重要的是它们之间的比例关系。示例示例13.3权及定权的常用方法权及定权的常用方法173.3权及定权的常用方法权及定权的常用方法权的特点权的特点（1）选定一个 ，即有一组对应的权；（2） 不同，权不同，但权之间的比值不变；（3）同一个问题中只能选一个 ，不能选多个，否则就破坏了权之间的比例关系。（4）只要事先给定观测条件，就可确定权的数值。单位权中误差的概念单位权中误差的概念 权为1的观测值所对应的中误差，称为单位权中误差，即 。 183.3权及定权的常用方法权及定权的常用方法定权的常用方法定权的常用方法1、水准测量的权1）按测站数确定2）按路线长度确定2、同精度观测值之算术平均值的权19N：每段路线的测站数S：各水准路线的长度N：观测值的观测次数1、协因数与协因数阵、协因数与协因数阵 协因数即为权倒数。3.4协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律20特点：I 对称，对角元素为权倒数 II 正定 III 各观测量互不相关时，为对角矩阵。当为等精度观测，为单位阵。3.4协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律即有：协因数阵也称为权逆阵。213.4协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律2、协因数传播律、协因数传播律称为协因数传播律，或权逆阵传播律。与协方差传播律合称为广义传播律。3、权倒数传播律、权倒数传播律223.4协因数和协因数传播律协因数和协因数传播律全微分例题10 ：算术平均值之权等于观测值之权的n倍。 例题11 ：带权平均值的权等于各观测值权之和。例题12： 234、单位权中误差的计算、单位权中误差的计算用不同精度的真误差计算单位权中误差的公式如下：实际应用1）由三角形闭合差求测角中误差24菲列罗公式本章小结：本章小结：1、方差、方差协方差矩阵的定义协方差矩阵的定义2、协方差传播律、协方差传播律（线性和非线性）3、应用协方差传播律所应注意的问题、应用协方差传播律所应注意的问题4、权与定权的常用方法、权与定权的常用方法5、协因数和协因数传播律、协因数和协因数传播律Ch3协方差传播律及权协方差传播律及权25 测试题测试题3-1 已知单位权方差为 、观测值 的权矩阵为试求：1、 的方差2、 的方差3、 与 的协方差26测试题测试题3-2 某地块由一梯形和一个半圆形组成，如图所示。已知观测值a=12m、b=8m、c=10m的方差协方差矩阵为：试求该地块的面积S的方差 。（注：取 ）2728