第十节第十节 连续函数的运算与性质连续函数的运算与性质定理定理1若函数若函数在点在点处连续处连续, ,则则在点在点处也连续处也连续. .例如例如, ,在在内连续内连续, ,故故在其定义域内连续在其定义域内连续. .反函数的连续性反函数的连续性定理定理2若函数若函数在区间在区间上上单调减少单调减少)且连续且连续, ,则它的反函数则它的反函数也在对应也在对应的区间的区间上上调减少调减少)且连续且连续. .证略证略单调增加单调增加(或或单调增加单调增加(或单或单例如例如, ,在在上单调增加且连续上单调增加且连续, ,故故在在上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续. .同理同理在在上单调减少且连续上单调减少且连续; ;在区间在区间内单调增加且连续内单调增加且连续; ;反函数的连续性反函数的连续性定理定理2若函数若函数在区间在区间上上单调减少单调减少)且连续且连续, ,则它的反函数则它的反函数也在对应也在对应的区间的区间上上调减少调减少)且连续且连续. .证略证略单调增加单调增加(或或单调增加单调增加(或单或单同理同理在在上单调减少且连续上单调减少且连续; ;在区间在区间内单调增加且连续内单调增加且连续; ;反函数的连续性反函数的连续性定理定理2若函数若函数在区间在区间上上单调减少单调减少)且连续且连续, ,则它的反函数则它的反函数也在对应也在对应的区间的区间上上调减少调减少)且连续且连续. . 证略证略单调增加单调增加(或或单调增加单调增加(或单或单同理同理在在上单调减少且连续上单调减少且连续; ;在区间在区间内单调增加且连续内单调增加且连续; ;总之总之, ,反三角函数反三角函数在它们的定义域内都是连续的在它们的定义域内都是连续的. .在区间在区间内单调减少且连续内单调减少且连续. .复合函数的连续性复合函数的连续性定理定理3若若函数函数在点在点处处连续连续, ,则有则有证证在点在点处连续处连续, ,当当时时, ,恒有恒有又又对上述对上述当当时时, ,恒有恒有结合上述两步得结合上述两步得, ,当当复合函数的连续性复合函数的连续性结合上述两步得结合上述两步得, ,当当复合函数的连续性复合函数的连续性结合上述两步得结合上述两步得, ,当当时时, ,恒有恒有意义意义1. .2. .定理定理4设函数设函数在点在点处连续处连续, ,且且而函数而函数在点在点处连续处连续,极限符号可以与连续函数符号互换极限符号可以与连续函数符号互换;的理论依据的理论依据.定理定理3给出了变量代换给出了变量代换复合函数的连续性复合函数的连续性定理定理4设函数设函数在点在点处连续处连续, ,且且而函数而函数在点在点处连续处连续,复合函数的连续性复合函数的连续性定理定理4设函数设函数在点在点处连续处连续, ,且且而函数而函数在点在点处连续处连续,则复合函数则复合函数在点在点处也连续处也连续. .注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况. .例如例如, ,在在内连续内连续, ,在在内连续内连续, ,在在内连续内连续. .例例 1 求求解解例例 2 求求解解例例 3 求求解解令令则则易见当易见当时时 ,所以所以例例 4 求求解解因为因为所以所以初等函数的连续性初等函数的连续性三角函数及反三角函数三角函数及反三角函数的的;指数函数指数函数在在内单调内单调且连续且连续;对数函数对数函数在在内单内单调且连续调且连续;在在内连续内连续. .讨论讨论的不同值的不同值(均在其定义域内连续均在其定义域内连续). .在它们的定义域内是连续在它们的定义域内是连续初等函数的连续性初等函数的连续性讨论讨论的不同值的不同值(均在其定义域内连续均在其定义域内连续). .初等函数的连续性初等函数的连续性讨论讨论的不同值的不同值(均在其定义域内连续均在其定义域内连续). .定理定理5基本初等函数基本初等函数定理定理6一切初等函数一切初等函数定义区间定义区间是指是指注意注意1.但在其但在其定义域内不一定连续定义域内不一定连续. .例如例如, ,在这些孤立点的领域内没有定义在这些孤立点的领域内没有定义. .及及在定义域内是连续的在定义域内是连续的.在其定义区间内都是连续的在其定义区间内都是连续的.包含在定义域内的区间包含在定义域内的区间.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,初等函数的连续性初等函数的连续性在这些孤立点的领域内没有定义在这些孤立点的领域内没有定义. .及及初等函数的连续性初等函数的连续性在这些孤立点的领域内没有定义在这些孤立点的领域内没有定义. .及及在在0点的领域内没有定义点的领域内没有定义, ,函数在区间函数在区间上上2.定义区间定义区间). .连续连续. .初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法(代入法代入法)例例 5 求求解解因为因为是初等函数是初等函数 , 且且是其定义区间内的点是其定义区间内的点 , 所以所以在点在点处连续处连续 , 于是于是幂指函数幂指函数因为因为故幂指函数可化为复合函数故幂指函数可化为复合函数. .易见易见:若若则则即即注意公式成立的条件注意公式成立的条件例例6求求称为称为幂指函数幂指函数.解解形如形如的函数的函数有界性最大值和最小值定理有界性最大值和最小值定理定义定义对于在区间对于在区间上有定义的函数上有定义的函数如果如果有有使得对于任一使得对于任一都有都有则称则称是函数是函数在区间在区间 上的最大上的最大(小小)值值. .例如例如, ,在在上上, ,在在上上, ,定定理理1( (有有界界性性和和最最大大值值和和最最小小值值定定理理) ) 在在闭闭区区间间上连续的函数有界且一定有最大值和最小值上连续的函数有界且一定有最大值和最小值. .注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.又如又如, ,函数函数 证证 设设函函数数f(x)在在闭闭区区间间a b上上连连续续 假假如如f(x)在在闭闭区区间间a,b上上 无无 界界 ,将将 a,b等等 分分 为为 两两 个个 小小 区区 间间 ,a,(a+b)/2与与(a+b)/2,b,则则f(x)至至少少在在其其中中之之一一上上无无界界,把把它它记记为为a1,b1;再再将将它它等等分分为为两两个个小小区区间间a1,(a1+b1)/2与与(a1+b1)/2,b1,同同样样f(x)至至少少在在其其中中之之一一上上无无界界,把把它它记记为为a2,b2;这这样样的的步步骤骤一一直直做做下下去去, ,便便得得到到一一个个闭闭区区间间套套an,bn, anan+1,bnbn+1, 区区间间长长度度趋趋于于零零，且且f(x)在在其其中中任任何何一一个个闭闭区区间间an,bn上上都都无无界界。an单单调调上上升升有有上上界界,bn单单调调下下降降有有下下界界，又又由由于于an-bn0,故故存在存在a b,使使 =liman=limbn (n) 因因为为a b,而而f(x)在在点点 处处连连续续,由由函函数数极极限限的的局局部部有有界界性性定理知存在定理知存在 0,M0,对对 x u( , ) a,b,有有 |f(x)| M 但对充分大的但对充分大的n应有应有an bn u( , ) a,b,于是就得到于是就得到f(x)在这样的在这样的an,bn上有界上有界,构成构成矛盾矛盾. 因此函数因此函数 f (x)在在a b上上有界有界 下面再证：设下面再证：设函数函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连续，则上连续，则 f(x)在在a b上必能取得到最大值和最小值。上必能取得到最大值和最小值。 证证 构造辅助函数法反证。构造辅助函数法反证。 设函数设函数f(x)在闭区间在闭区间a b上连续上连续 设设M=supf(x), 但对但对 x a,b,f(x) M.考虑辅助函数考虑辅助函数 F(x)=1/(M-f (x) 则则F(x)是是a b上的恒正的连续函数上的恒正的连续函数,由有界性定理可知，由有界性定理可知， 存在正数存在正数K，使得，使得F(x) K。从而。从而 f (x) M-1/K x a,b 这与这与M是是f(x)为为a,b上的上确界矛盾。因此存在上的上确界矛盾。因此存在 x a,b,使使 f ( ) =M。 同理可证存在同理可证存在a,b,使得使得f( )=inff(x)=m。定理定理2.零点定理与介值定理零点定理与介值定理定义定义如果如果使使则则称为函数称为函数的零点的零点. .零点定理零点定理设函数设函数在闭区间在闭区间上连续上连续, ,且且与与异号异号(即即即至少有即至少有一点一点使使那么在开区那么在开区内至少有函数内至少有函数间间的一个零点的一个零点, ,即方程即方程在在内至少存在一个实根内至少存在一个实根. . 证明证明 用区间套定理证。用区间套定理证。 不失一般性不失一般性, 设设f(a)0 但但对对 x a,b,都都有有f(x) 0。将将a,b等等分分,用用a1,b1表表示示满满足足f(a1)0的的那那一一半半区区间间。再再将将a1,b1等等分分,用用a2,b2表表示示满满足足f(a2)0的的那那一一半半区区间间，如如此此继继续续下下去去，便便得得到到一一个个闭区间套闭区间套 a1,b1 a2,b2 an,bn 满足满足f(an)0，且，且bn-an=(b-a)/2n0 (n)由闭区间套定理，存在由闭区间套定理，存在(a,b),使得使得 liman=limbn= (n)再由再由f(x)的连续性的连续性,得得 f ( )=limf(an) 0 , f ( )=limf(bn) 0 (n) 这就表明这就表明f( )=0。几何解释几何解释:MBCAmab证证由零点定理由零点定理,推论推论 在闭区间上连续的函数在闭区间上连续的函数与最小值与最小值之间的任何值之间的任何值. .必取得介于最大值必取得介于最大值例例 7证证证明方程证明方程少有一个实根少有一个实根 .令令则则在在上连续上连续 .又又由零点定理由零点定理 ,使使即即方程方程根根在区间在区间内至内至在在内至少有一个实内至少有一个实例例 8证证设函数设函数在区间在区间上连续上连续 , 且且证明证明 :使得使得令令则则在在上连续上连续 .而而由零点定理由零点定理 ,使使即即例例 9证证证明方程证明方程含于含于内的两个实根内的两个实根 .有分别包有分别包当当两端两端 , 得得设设则则用用乘方程乘方程例例 9证证证明方程证明方程含于含于内的两个实根内的两个实根 .有分别包有分别包设设则则由零点定理知由零点定理知 ,在在与与内至少各有内至少各有例例 9证证证明方程证明方程含于含于内的两个实根内的两个实根 .有分别包有分别包设设则则一个零点一个零点 , 即原方程在即原方程在与与内至少各有内至少各有一个实根一个实根 . 例例1010 设设f(x)是是0,1上的连续函数上的连续函数,且且f(0)=f(1), 证明证明 对对 任任 意意 的的 自自 然然 数数 n, 必必 存存 在在 一一 点点 0,1, 使使 f( )=f( +1/n) 证明证明 这类问题通常的思路是构造辅助函数。这类问题通常的思路是构造辅助函数。 令令 F(x)= f (x)-f (x+1/n), 显然显然F(x)是是0,1-1/n上的上的连续函数连续函数, 分别令分别令 x=0, 1/n, 2/n, , (n-1)/n, (n-1)/n，则，则 F(0)+F(1/n)+F(2/n)+F(0)+F(1/n)+F(2/n)+ F(n-1)/n) = f(0)-f(1) =0 因因 此此 F(0),F(1/n),F(n-1/n)这这 n个个 函函 数数 值值 中中 必必 存存 在在0 km n-1使使 得得 F(k/n)F(m/n)0,x 0,1-1/n, 于是，对于是，对k=0,1,n-1,n-1,有有 F( (k/ /n)0 )0 f (k/n)f(k+1)/n) 因此推出因此推出f(0)f(1/n)f(1)，可见与题设矛盾，可见与题设矛盾。例例 11证证且且证明证明 :设设在在上连续上连续 ,在在上至少有一点上至少有一点使使便可对便可对得到所需的结论得到所需的结论.存在存在有有即即只要能找到一点只要能找到一点使使在在上应用零点定理上应用零点定理 ,因因故对故对当当时时 ,例例 11证证且且证明证明 :设设在在上连续上连续 ,在在上至少有一点上至少有一点使使有有即即当当时时 ,例例 11证证且且证明证明 :设设在在上连续上连续 ,在在上至少有一点上至少有一点使使有有即即当当时时 ,由零由零点定理知点定理知 :取实数取实数这样这样而而在在内至少有一点内至少有一点使使由于由于也就是说在也就是说在内至少内至少有一点有一点使使1. 设设试研究复合函数试研究复合函数与与的连续性的连续性 .2. 估计方程估计方程的根的位置的根的位置 .课堂练习课堂练习3.3.1. 设设试研究复合函数试研究复合函数与与的连续性的连续性 .解解在在上处处连续上处处连续 .又又1. 设设试研究复合函数试研究复合函数与与的连续性的连续性 .解解又又1. 设设试研究复合函数试研究复合函数与与的连续性的连续性 .解解又又在在上处处连续，上处处连续， 故故是它的可去间断点是它的可去间断点 .2. 估计方程估计方程的根的位置的根的位置 .解解 设设则则在在内连续内连续.由于由于根据介值定理的推论可知，根据介值定理的推论可知， 在在和和内至少各有一个根内至少各有一个根 . 所以该方程在所以该方程在和和内各有一个根内各有一个根 .又因为三次方程的根最多有三个，又因为三次方程的根最多有三个，证明证明讨论讨论:3.3.由零点定理知由零点定理知,综上综上,