微积分微积分(下下)总复习总复习1.二次曲面的特点二次曲面的特点(如如旋转曲面旋转曲面方程的特点方程的特点).2.多元函数多元函数,偏导数和全微分偏导数和全微分,方向导数存在性及方向导数存在性及其之间的其之间的关系关系,计算方法计算方法.3.一个方程所确定的一个方程所确定的隐函数的偏导数隐函数的偏导数(含含抽象函抽象函数的二阶偏导数的二阶偏导).4.方向导数方向导数,梯度梯度.5.多元微分学的应用多元微分学的应用:几何几何应用应用,极值极值(含含条件极条件极值值)6.二重积分和三重积分二重积分和三重积分(利用利用柱面坐标柱面坐标和和球面坐球面坐标标)的计算的计算,交换积分次序交换积分次序,重积分的应用重积分的应用(体积体积等等) 7.曲线积分的计算曲线积分的计算,格林公式格林公式,曲线积分与路径曲线积分与路径无关无关的条件的条件,全微分求积全微分求积.8.曲面积分的计算及曲面积分的计算及高斯公式高斯公式.9.无穷级数的无穷级数的敛散性敛散性,绝对收敛绝对收敛,条件收敛条件收敛.10.幂级数的收敛域及幂级数的收敛域及和函数和函数,函数函数展开展开成幂级成幂级数数11.傅立叶级数的傅立叶级数的收敛定理收敛定理.12.一阶一阶微分方程微分方程(常见类型常见类型),二阶常系数二阶常系数线性线性微分方程求解微分方程求解.期末答疑安排：期末答疑安排：十八周周一十八周周一-周五周五(6月月23日日-6月月27日日)时间：时间：9：00-11：00，3：00-5：00地点：新一教地点：新一教B座座2楼教员休息室楼教员休息室向量的向量的线性运算线性运算向量的向量的表示法表示法向量积向量积数量积数量积向量的积向量的积向量概念向量概念( (一一) )向量代数向量代数第七章、空间解析几何与向量代数第七章、空间解析几何与向量代数 直直 线线曲面曲面曲线曲线平平 面面参数方程参数方程旋转曲面旋转曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程参数方程参数方程一般方程一般方程对称式方程对称式方程 点法式方程点法式方程一般方程一般方程空间直角坐标系空间直角坐标系(二二)空间解析几何空间解析几何平面点集平面点集和区域和区域多元函数多元函数的极限的极限多元函数多元函数连续的概念连续的概念极极 限限 运运 算算多元连续函数多元连续函数的性质的性质多元函数概念多元函数概念第八章、多元函数第八章、多元函数全微分全微分的应用的应用高阶偏导数高阶偏导数隐函数隐函数求导法则求导法则复合函数复合函数求导法则求导法则全微分形式全微分形式的不变性的不变性微分法在微分法在几何上的应用几何上的应用方向导数方向导数多元函数的极值多元函数的极值全微分全微分概念概念偏导数偏导数概念概念定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用二二重重积积分分第九章、二重积分第九章、二重积分分割分割, ,加细加细, ,求极限求极限曲顶柱体体积曲顶柱体体积6 6条条化为二次积分化为二次积分曲面面积曲面面积, ,质心质心, ,惯量惯量定定 义义几何意义几何意义性性 质质计算法计算法应应 用用三三重重积积分分第九章、三重积分第九章、三重积分分割分割, ,加细加细, ,求极限求极限三维空间体的质量三维空间体的质量6 6条条化为三次积分化为三次积分质量质量, ,质心质心, ,惯量惯量, ,引力引力常数项级数常数项级数函数项级数函数项级数一一般般项项级级数数正正项项级级数数幂幂级数级数收收敛敛半半径径R R数或函数数或函数函函 数数数数任任意意项项级级数数泰勒展开式泰勒展开式泰勒级数泰勒级数在收敛在收敛 级数与级数与数数条件下条件下 相互转相互转化化 第十一章、无穷级数第十一章、无穷级数基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.全微分方程全微分方程5.5.线性方程线性方程6.6.伯努利方程伯努利方程二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f f ( (x x) )的形式及其的形式及其特解形式特解形式待待定定系系数数法法特征方程法特征方程法第十二章、微分方程第十二章、微分方程1.1.二次曲面的特点二次曲面的特点( (如旋转曲面方程的特点如旋转曲面方程的特点).).球面球面, ,椭球面椭球面 椭圆抛物面椭圆抛物面 双曲抛物面双曲抛物面( (马鞍面马鞍面) )单叶双曲面单叶双曲面 双叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面椭圆锥面利用二次曲线得到旋转曲面或柱面利用二次曲线得到旋转曲面或柱面在微积分的微分法的几何应用中取到二次曲面在微积分的微分法的几何应用中取到二次曲面在重积分在重积分,曲线曲面积分中取到二次曲面曲线曲面积分中取到二次曲面2.2.多元函数多元函数, ,偏导数和全微分偏导数和全微分, ,方向导数存在方向导数存在性及其之间的关系性及其之间的关系, ,计算方法计算方法. .函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导例例 练习册练习册p.112 五题五题, 模拟题模拟题(一一)二题二题33.3.一个方程所确定的隐函数的偏导数一个方程所确定的隐函数的偏导数( (含抽象含抽象函数的二阶偏导函数的二阶偏导).).例例 模模拟题拟题( (一一) )三题三题1 1题题, ,模拟题模拟题( (二二) )三题三题1 1题题, , 06-07 06-07年试题三题年试题三题3 3题题. .两边对两边对x求导求导, ,得得4.4.方向导数方向导数, ,梯度梯度. .方向导数方向导数三元函数三元函数 f(x,y,z)梯度梯度例例 06-07年试题一题年试题一题3题题5 5多元微分学的应用多元微分学的应用: :几何应用几何应用, ,极值极值( (含条件含条件极值极值) )空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线空间向量的平行与垂直的判定空间向量的平行与垂直的判定空间曲线用参数方程空间曲线用参数方程,一般方程表示时各自的一般方程表示时各自的切向量的表示法切向量的表示法空间曲面用隐式方程空间曲面用隐式方程,显式方程表示时各自的显式方程表示时各自的法向量的表示法法向量的表示法模二二题模二二题2,五题五题1;06-07试题六题试题六题1多元函数的极值多元函数的极值, ,最值的求法最值的求法多元函数的条件极值多元函数的条件极值, ,最值的求法最值的求法将所有驻点与边界上的驻点求出来将所有驻点与边界上的驻点求出来应用题应用题: 分析条件分析条件,构造数学表达式构造数学表达式,求解表达求解表达式式, 回答原问题回答原问题模一四题模一四题1,模二五题模二五题1,06-07试题五题试题五题16.6.二重积分和三重积分二重积分和三重积分( (利用柱面坐标和球面利用柱面坐标和球面坐标坐标) )的计算的计算, ,交换积分次序交换积分次序, ,重积分的应用重积分的应用( (体积等体积等) ) 直直角角坐坐标标首先首先画出积分区域画出积分区域D, ,然后正确然后正确选择积分次序选择积分次序. . Y- -型型 X- -型型 极极坐坐标标 画出积分域画出积分域 确定积分序确定积分序 写出积分限写出积分限 计算要简便计算要简便积分域分块要少积分域分块要少二次积分好算为妙二次积分好算为妙图示法图示法不等式不等式 ( (先积一条线先积一条线, ,后扫积分域后扫积分域) )充分利用对称性与奇偶性充分利用对称性与奇偶性计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项方法方法1. .投影法投影法(“(“先一后二先一后二”)”)方法方法2. .截面法截面法(“(“先二后一先二后一”) ”) 方法方法3. .三次积分法三次积分法 三重积分三重积分柱柱面坐标的体积元素面坐标的体积元素球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素直角坐标直角坐标具体方法具体方法:画图画图, 确定各个边界在新坐标系下的表确定各个边界在新坐标系下的表示示,确定各个坐标量的取值范围确定各个坐标量的取值范围(用直线或射线扫过用直线或射线扫过被积区域被积区域)注意各类二次曲面的柱面坐标和球面坐标表达式注意各类二次曲面的柱面坐标和球面坐标表达式7.7.曲线积分的计算曲线积分的计算, ,格林公式格林公式, ,曲线积分与路曲线积分与路径无关的条件径无关的条件, ,全微分求积全微分求积. .格林公式格林公式曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关模一三模一三3,模二四模二四1,06-07一一4一定是封闭曲面才能用高斯公式一定是封闭曲面才能用高斯公式设光滑曲面设光滑曲面取上侧取上侧, ,取下侧取下侧, ,高斯公式高斯公式8.8.曲面积分的计算及高斯公式曲面积分的计算及高斯公式. .例例 模拟题模拟题(一一)三题三题4,模拟题模拟题(一一)四题四题2, 9.9.无穷级数的敛散性无穷级数的敛散性, ,绝对收敛绝对收敛, ,条件收敛条件收敛. .正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数 (莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3. 按基本性质按基本性质;模一五模一五1,模二六模二六1,06-07六六210.10.幂级数的收敛域及和函数幂级数的收敛域及和函数, ,函数展开成幂函数展开成幂级数级数 利用常见展开式利用常见展开式,通过通过变量代换变量代换, 四则运算四则运算,恒等变形恒等变形,逐项求导逐项求导,逐项积分逐项积分等方法等方法,求展开式求展开式.间接法间接法 11. 11. 傅立叶级数的收敛定理傅立叶级数的收敛定理: : 非连续点上的级数的值非连续点上的级数的值求收敛半径求收敛半径,几类基本幂级数几类基本幂级数模一一模一一4,模二一模二一4,06-07二二5狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分条件充分条件( (收敛定理收敛定理) )设设 f (x) 是周期为是周期为2 2 的的周期函数周期函数,并满并满足足:狄利克雷条件狄利克雷条件1)1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; ;2)2)在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有有限个极值点, , 则则 f (x) 的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛, ,且有且有x为间断点为间断点x为连续点为连续点12.12.一阶微分方程一阶微分方程( (常见类型常见类型),),二阶常系数线二阶常系数线性微分方程求解性微分方程求解. .变量分离方程变量分离方程, ,齐次方程齐次方程, ,全微分方程全微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程( (常数变异公式常数变异公式) )二阶常系数线性齐次方程二阶常系数线性齐次方程二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数线性非齐次方程模一一模一一5,模二二模二二5,五五2,06-07一一5,四四2