机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论2-1 2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉普拉斯变换的数学方法2-2 2-2 系统的数学模型系统的数学模型 第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 2-1 2-1 拉普拉斯变换的数学方法拉普拉斯变换的数学方法一、一、拉氏变换与拉氏及变换的定义拉氏变换与拉氏及变换的定义 二、二、典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换 三、三、拉氏变换的性质拉氏变换的性质 四、四、拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉氏拉氏变换是控制工程中的一个基本数是控制工程中的一个基本数学方法，其学方法，其优点是能将点是能将时间函数的函数的导数数经拉氏拉氏变换后，后，变成复成复变量量S S的乘的乘积，将将时间表示的微分方程，表示的微分方程，变成以成以S S表示表示的代数方程。的代数方程。一、拉氏变换与拉氏及变换的定义一、拉氏变换与拉氏及变换的定义机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 拉氏拉氏变换的定义变换的定义设有时间函数设有时间函数F(t)F(t)，其中，其中，则则f(t)f(t)的拉氏变换记作：的拉氏变换记作： LL拉氏变换符号；拉氏变换符号；s-s-复变量；复变量； F(s)F(s)象函数。象函数。f(t)f(t)原函数原函数机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 拉氏拉氏反变换的定义反变换的定义将象函数将象函数F(s)F(s)变换成与之相对应变换成与之相对应的原函数的原函数f(t)f(t)的过程的过程 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 1 1、单位阶跃函数、单位阶跃函数 二、二、典型时间函数的拉氏变换典型时间函数的拉氏变换 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 2 2、单位脉冲函数、单位脉冲函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 3 3、单位斜坡函数、单位斜坡函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 4 4、指数函数、指数函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 5 5、正弦函数正弦函数sinwtsinwt 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 6 6、余弦函数余弦函数coswtcoswt 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 线线性性性性质质若若 有有 常常 数数 k k1 1， k k2 2, ,函函 数数f f1 1(t),f(t),f2 2(t),(t),且且f f1 1(t),f(t),f2 2(t)(t)的的拉拉氏变换为氏变换为F F1 1(s),F(s),F2 2(s),(s),则有：则有：此式可由定义证明。此式可由定义证明。 三、拉氏变换的性质三、拉氏变换的性质 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 实实数数域域的的位位移移定定理理若若f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),F(s),则对任一正实则对任一正实数数a a有有, ,其中，当其中，当t0t0时，时，f(t)=0f(t)=0，f(t-a)f(t-a)表表f(t)f(t)延迟时间延迟时间a.a. 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 复复数数域域的的位位移移定定理理若若f(t)f(t)的的拉拉氏氏变变换换为为F(s),F(s),对对于于任任一一常数常数a,a,有有机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 微微分分定定理理设设f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),F(s),则则其中其中f(0f(0+ +) )由正向使由正向使 时的时的f(t)f(t)值。值。机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 积积分分定定理理 设设f(t)f(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F(s),F(s),则则 其中其中 时的值。时的值。机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 初初值值定定理理设设f(t)f(t)的的拉拉氏氏变变换换为为F(s)F(s)，则则函函数数f(t)f(t)的初值定理表示为：的初值定理表示为：证证明明技技巧巧：可可利利用用微微分分定定理理来来进进行证明行证明机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 终终值值定定理理若若f(t)f(t)的的拉拉氏氏变换为F(s),F(s),则终值定理表示定理表示为： 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 卷卷积积定定理理设f(t)f(t)的的拉拉氏氏变换为F(s),g(t)F(s),g(t)的的拉拉氏氏变换为G(s)G(s)， 则有有 式中，式中，称称为f(t)f(t)与与g(t)g(t)的卷的卷积。 机机 械械 控控 制制 理理 论论 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换在已知象函数在已知象函数F(s),F(s),求求f(t)f(t)时，对于于简单的象函数，可直接的象函数，可直接查拉氏变换表拉氏变换表，但但对于复于复杂的，可利用部分分式展开的，可利用部分分式展开法，即通法，即通过代数运算将一个复代数运算将一个复杂的象的象函数化函数化为数个数个简单的部分分式之和，的部分分式之和，再求出各个分式的原函数，从而求出再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函数的原函数 。第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 四、四、拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 部分分式展开法部分分式展开法 对于象函数对于象函数F(s),F(s),常可写成如下形式：常可写成如下形式： 式中，式中，p1,p2,p1,p2,pnpn称为称为F(s)F(s)的极点，的极点， p1,p2,p1,p2,pnpn称为称为F(s)F(s)的零点。的零点。机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 F(s)F(s)总能展开成下面的部分分式之和总能展开成下面的部分分式之和 其中，分子为待定系数。其中，分子为待定系数。1 1、F(s)F(s)无重极点的情况无重极点的情况机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 解一解一 求求F(s)F(s)的拉氏的拉氏变换 例例解解二二 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 设F(s)F(s)有有r r个重极点个重极点p p1 1, ,其余极点均不相同，其余极点均不相同，则 2 2、F(s)F(s)有重极点的情况有重极点的情况机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 解解 例例求求 的拉氏反变换的拉氏反变换 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 2-2 2-2 系统的数学模型系统的数学模型 一、概述一、概述 二、二、系统微分方程的建立系统微分方程的建立 三、传递函数三、传递函数四、四、方框图及动态系统的构成方框图及动态系统的构成 五、五、信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 一、概述一、概述数学模型数学模型数学模型数学模型描述系统或元件的动态特描述系统或元件的动态特描述系统或元件的动态特描述系统或元件的动态特性的数学表达式性的数学表达式性的数学表达式性的数学表达式 深入了解元件及系统的动态特性，深入了解元件及系统的动态特性，深入了解元件及系统的动态特性，深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型准确建立它们的数学模型准确建立它们的数学模型准确建立它们的数学模型 建建建建 模模模模机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 建立控制系统数学模型的方法建立控制系统数学模型的方法 对系统各部分的运动机理对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统本身进行分析，依据系统本身所遵循的有关定律列写数所遵循的有关定律列写数学表达式，并在列写过程学表达式，并在列写过程中进行必要的简化。中进行必要的简化。 分析法分析法根据系统对某些典型输入根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数信号的响应或其它实验数据建立数学模型。即人为据建立数学模型。即人为施加某种测试信号，记录施加某种测试信号，记录基本输出响应。基本输出响应。 实验法实验法机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 线线性性系系统统与与非非线线性性系系统统1 1、线、线 性性 系系 统统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统; 如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统;线性系统线性是指系统满足叠加原理 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 线线性性系系统统与与非非线线性性系系统统2 2、非、非 线线 性性 系系 统统用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 例例，其中，其中,a,b,c,d,a,b,c,d均为常数。均为常数。 线性定常系统线性定常系统线性时变系统线性时变系统非线性系统非线性系统机机 械械 控控 制制 理理 论论本课程涉及的数学模型形式本课程涉及的数学模型形式 时间域：微分方程（一阶微分方时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程程组）、差分方程、状态方程复数域：传递函数、结构图复数域：传递函数、结构图频率域：率域：频率特性率特性 第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 二、系统微分方程的建立二、系统微分方程的建立建立微分方程的步骤是：建立微分方程的步骤是：建立微分方程的步骤是：建立微分方程的步骤是：1）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究）分析系统的工作原理和系统中各变量间的关系，确定出待研究元件或系统的输入量和输出量；元件或系统的输入量和输出量；2）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件）从输入端入手（闭环系统一般从比较环节入手），依据各元件所遵循的物理，化学，生物等规律，列写各自方程式，但要注意所遵循的物理，化学，生物等规律，列写各自方程式，但要注意负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。负载效应。所谓负载效应，就是考虑后一级对前一级的影响。3）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准方程。）将所有方程联解，消去中间变量，得出系统输入输出的标准方程。所谓标准方程包含三方面的内容：所谓标准方程包含三方面的内容：将与输入量有关的各项放在方程的右边，将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输出量有关的各项放在方程的左边；与输出量有关的各项放在方程的左边；各导数项按降幂排列；各导数项按降幂排列；机机 械械 控控 制制 理理 论论 机械系统微分方程的列写机械系统微分方程的列写 机械系统中部件的运动有直线和转动机械系统中部件的运动有直线和转动两种。机械系统中以各种形式出现的两种。机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素。列写其微分方程通常阻尼三个要素。列写其微分方程通常用用达朗达朗贝尔尔原理。即：作用于每一个原理。即：作用于每一个质点上的合力，同点上的合力，同质点点惯性力形成平性力形成平衡力系。衡力系。 第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 例例直线运动（机械平移系统）直线运动（机械平移系统） 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 例例转动系系统 机机 械械 控控 制制 理理 论论电网络系统微分方程的列写电网络系统微分方程的列写 第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数学模型。学模型。1 1）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电流之代数和应等于流之代数和应等于0 0（即流出节点的电流之和等（即流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和）。于所有流进节点的电流之和）。1 21 2）基尔霍夫电压定律）基尔霍夫电压定律电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。的电压降的代数和。机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 例例机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 小结小结物物理理本本质不不同同的的系系统，可可以以有有相相同同的的数数学学模模型型，从从而而可可以以抛抛开开系系统的的物物理理属属性性，用用同同一一方方法法进行行具具有有普普遍遍意意义的的分分析析研研究。究。 从从动态性性能能看看，在在相相同同形形式式的的输入入作作用用下下，数数学学模模型型相相同同而而物物理理本本质不不同同的的系系统其其输出出响响应相相似似。相相似似系系统是是控控制制理理论中中进行行实验模模拟的基的基础。 通通常常情情况况下下，元元件件或或系系统微微分分方方程程的的阶次次等等于于元元件件或或系系统中中所所包包含含的的独独立立储能能元元（惯性性质量量、弹性性要要素素、电感感、电容容、液液感感、液液容容等等）的的个个数数；因因为系系统每每增增加加一一个个独独立立储能能元元，其内部就多一其内部就多一层能量（信息）的交能量（信息）的交换。 系系统的的动态特特性性是是系系统的的固固有有特特性性，仅取取决决于于系系统的的结构构及及其参数。其参数。 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 三、传递函数三、传递函数传递函数的基本定义传递函数的基本定义 ： 线性定常系统的传递函数，定义为零初始条线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。变换之比。机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 传递函数的一般形式传递函数的一般形式 设线性定常系统由下述设线性定常系统由下述n n阶线性常微分方程描述阶线性常微分方程描述 式中，式中，n mn m，当初始条件全为零时，对上式当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式： 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 传递函数的主要特点传递函数的主要特点 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关大小）无关 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构的物理结构 传递函数是复变量传递函数是复变量s的有理真分式函数，的有理真分式函数，mn，且所具有复变量且所具有复变量函数的所有性质函数的所有性质 传递函数的量纲是根据输入量和输出量来决定，可有可无传递函数的量纲是根据输入量和输出量来决定，可有可无 机机 械械 控控 制制 理理 论论 典型典型环节的的传递函数函数 具有某种确定信息具有某种确定信息传递关系的元件、关系的元件、元件元件组或元件的一部分称或元件的一部分称为一个一个环节 任任何何复复杂杂系系统统可可看看做做由由一一些些基基本本的的环环节节组组成成，控控制制系系统统中中常常用用的的典典型型环环节节有：有：比例比例环节、惯性性环节、微分、微分环节、积分分环节、振、振荡环节和延和延迟环节等等 第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 1 1、比例环节、比例环节输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：其运动方程为：x xo o(t)=(t)=KxKxi i(t) (t) 拉氏变换为：拉氏变换为：X Xo o(s)=(s)=KXKXi i(s)(s)x xo o( (t t) )、x xi i( (t t)分别为环节的输出和输入量；分别为环节的输出和输入量；K K比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量与输入量之比。与输入量之比。比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 例例求图示一齿轮传动副的传递函数求图示一齿轮传动副的传递函数, , 分别为输入轴分别为输入轴及输出轴转速及输出轴转速,Z,Z1 1和和Z Z2 2为齿轮齿数为齿轮齿数,(,(当齿轮副无传当齿轮副无传动间隙动间隙, ,且传动系统刚性无穷大时且传动系统刚性无穷大时, ,为理想状态为理想状态).). 其拉换变换：其拉换变换：因为：因为：机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 2 2、惯性性环节（非周期（非周期环节） 凡运动方程为一节微分方程：凡运动方程为一节微分方程：形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：式中式中: K: K环节增益（放大系数）；环节增益（放大系数）； T T时间常数，表征环节的惯性，和环节结构时间常数，表征环节的惯性，和环节结构 参数有关参数有关机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 例例此环节与比例环节相比，不能立即复现输出，而需要一定的时间。此环节与比例环节相比，不能立即复现输出，而需要一定的时间。说此环节具有说此环节具有“惯性惯性”，这是因为其中含有储能元件，这是因为其中含有储能元件K K与阻能元件与阻能元件C C的原因。惯性大小由的原因。惯性大小由T T来决定。来决定。 如：弹簧阻尼器环节如：弹簧阻尼器环节机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 3 3、微分、微分环节 输出量正比于输入量的微分。输出量正比于输入量的微分。运动方程为：运动方程为：传递函数为：传递函数为：式中：式中：微分环节的时间常数微分环节的时间常数在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现一起出现 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 4 4、积分分环节 输出量正比于输入量对时间的积分。输出量正比于输入量对时间的积分。运动方程为：运动方程为：传递函数为：传递函数为：式中，式中，T积分环节的时间常数。积分环节的时间常数。机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 5 5、振、振荡环节 是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，其运动方程为够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，其运动方程为 传递函数：传递函数：机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 6 6、延、延迟环节（也称（也称传输滞后滞后环节） 运动方程：运动方程：传递函数：传递函数：式中，式中， 为纯延迟时间。为纯延迟时间。 其输出滞后输入时间其输出滞后输入时间，但不失真地反映输入，延但不失真地反映输入，延迟环节一般与其它环节共存，不单独存在。迟环节一般与其它环节共存，不单独存在。 机机 械械 控控 制制 理理 论论延迟环节与惯性环节的区别延迟环节与惯性环节的区别 第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 惯性环节从输入开始时刻起就已有输惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；间才接近所要求的输出值；延迟环节从输入开始之初，在延迟环节从输入开始之初，在00时时间内间内, ,没有输出，但没有输出，但t= =之后，输出完之后，输出完全等于输入。全等于输入。 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 四四、方块图及动态系统的构成方块图及动态系统的构成1、方框图 系统方框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 方框图的结构要素方框图的结构要素 信号引出点（信号引出点（线）：）：表示信号引出或测量的位置和传递方向。同表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。 函数方框（环节）：函数方框（环节）：方框代表一个方框代表一个环节，箭，箭头代表代表输入入输出。出。 表示输入到输出单向传输间的函数关系。表示输入到输出单向传输间的函数关系。信号信号线：带有箭有箭头的直的直线，箭，箭头表示信号的表示信号的传递方向，直方向，直线旁旁标记信号的信号的时间函数或象函数。函数或象函数。 求和点（比求和点（比较点、点、综合点）：合点）：两个或两个以上的输入信号进行两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。加减比较的元件。机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 分支点分支点求和点求和点进行相加减的量，必须具有相同的量纲进行相加减的量，必须具有相同的量纲机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 相邻求和点可以互换、合并、分解相邻求和点可以互换、合并、分解相邻分支点可以互换相邻分支点可以互换求和点可以有多个求和点可以有多个输入，但入，但输出是唯一的出是唯一的 机机 械械 控控 制制 理理 论论 用方框图表示系统的优点用方框图表示系统的优点只要依据信号的流向，将各环节只要依据信号的流向，将各环节的方框连接起来，便可组成整个的方框连接起来，便可组成整个系统，简便，直观。系统，简便，直观。通过方框图，可提示和评价每一通过方框图，可提示和评价每一个环节对系统的影响。个环节对系统的影响。第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 动态系统的构成动态系统的构成 串联连接串联连接 并联连接并联连接 反馈连接反馈连接机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。 （1 1）串联连接）串联连接 结论：串联环节的等效传递函数结论：串联环节的等效传递函数 等于所有传递函数的乘积。等于所有传递函数的乘积。机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 特点：各环节的输入信号是相同的，输出特点：各环节的输入信号是相同的，输出C(s)为各环节的输出之和为各环节的输出之和（2）并联连接结论：并联环节的等效传递函数等于结论：并联环节的等效传递函数等于 所有并联环节传递函数的代数所有并联环节传递函数的代数 和。和。机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 （3）反馈连接 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 方框图的简化是通过方框图的等效变换和方框图的运算法则来实现的。 等效变换主要是通过变换相加点和分支点的位置来实现的，变换中主要等效变换主要是通过变换相加点和分支点的位置来实现的，变换中主要掌握好如下两点：掌握好如下两点：前向通道中各传递函数的乘积不变；前向通道中各传递函数的乘积不变；回路中传递回路中传递 函数的乘积不变；函数的乘积不变； 通过等效变换将方框图变换成具有串联，并联和局部反馈连接的结构图通过等效变换将方框图变换成具有串联，并联和局部反馈连接的结构图G1G2G1 G2G1G2GHG1 G2机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 求和点的移动求和点的移动 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 例例机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 五、五、信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式 节点：表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和节点：表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和支路：连接两个节点的定向线段，用传递函数表示方程式中两个变量的因果关支路：连接两个节点的定向线段，用传递函数表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器，信号在支路上沿箭头单向传递。系。支路相当于乘法器，信号在支路上沿箭头单向传递。输入节点输入节点(源节点源节点)：只有输出的节点，代表系统的输入变量只有输出的节点，代表系统的输入变量输出节点输出节点(汇点汇点)：只有输入的节点，代表系统的输出变量：只有输入的节点，代表系统的输出变量混合节点：既有输入又有输出的节点混合节点：既有输入又有输出的节点通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径通路：沿支路箭头方向穿过各相连支路的路径前向通道：从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通道：从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。回路：起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路回路：起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路不接触回路：相互间没有任何公共节点的回路。不接触回路：相互间没有任何公共节点的回路。1、信号流图术语、信号流图术语机机 械械 控控 制制 理理 论论第二章第二章 控制系统的数学模型及传递函数控制系统的数学模型及传递函数 式中式中 T: T: 系统总增益（总传递函数）系统总增益（总传递函数） n: n: 前向通路数前向通路数 t tn: n: 第第n n条前向通路总增益条前向通路总增益 系统特征式系统特征式. .其中：其中： 所有不同回路增益乘积之和；所有不同回路增益乘积之和； 所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；所有任意两个互不接触回路增益乘积之和； 所有任意所有任意m m个不接触回路增益乘积之和。个不接触回路增益乘积之和。 : : 为为第第n n条条前前向向通通路路特特征征式式的的余余因因子子，即即在在 中中将将与与第第n n条条前前向向通通道道相相接触的回路赋零值后求得的接触的回路赋零值后求得的 ，称为第，称为第n n条前向通路特征式的余因子。条前向通路特征式的余因子。2 2、梅、梅逊公式公式R(s)C(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) H1(s) G1(s)L1= G1 H1 G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s)H3(s) G3(s)L2= G3 H3 G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s)L3= G1G2G3H3H1 G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s)L4= G4G3 G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s)L5 = G1G2G3 G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s)H3(s) G3(s) H1(s) G1(s)L1L2= (G1H1) (G3H3) = G1G3H1H3 G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) H1(s) G1(s) G4(s)L1L4=(G1H1)(G4G3)=G1G3G4H1 G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G1(s) G2(s) G3(s)P1=G1G2G31=1 G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) G3(s)P2= G4G32=1+G1H1C(s)R(s)=? G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s) G4(s) G3(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G4(s) H1(s)H3(s) G1(s) G2(s) G3(s)example