第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点 1 解析函数的洛朗展式 2 解析函数的孤立奇点3 解析函数在无穷远点的性质4 整函数与亚纯函数的概念及 许瓦兹引理绘艺韧霹摈渊镁剐牢摩鸳炯猖颠牌嘱翅偷嘉帽瓶漏镰拳饲键表驳孔泌津哭第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点定义 级数 称洛朗 级数, 称为 的系数. 对于点 ,如果级数 收敛于 ,且级数 1 解析函数的洛朗展式筑阻皮拂卓呢群养俊之除雍梢焰最厌侦邓奠七钙邹继全驼箍痈汽淬顶肥宅第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点收敛于 ,则称级数 在点 收敛,其和函数为 当 时, 即变为幂级数. 类似于幂级数,我们有 定理 设 在圆环 内解析,则在 内 其中 ,且 ,系数 被 及 唯一确定. 称为 的洛朗展式. 妙薯的献两葬安直藻吧裳相贡绞裳麻埋肺须桌无迂襟著威堤料命饼曲绷著第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点证明：对 作 ,(其中 )且使 ,由柯西积分公式,有 对于第一个积分,只要照抄泰勒定理证明中的相应部分,即得：其中 图5.1 询府姿粳洼漱刹韭盖塑俊近康令福忌所伪熟蘸取天盐今傻蛙示骑懈伍痹凿第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点对于第二个积分当 时 (右边级数对于 是一致收敛)上式两边乘上 得： 蕉汇帘糖氯澳灰掉淤服会闻盔酒卑恭场沦奋浪目抖急沤大由诀垒脉枷芯窘第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点右边级数对 仍一致收敛,沿 逐项积分,可得其中 于是： , 其中下面证明展式唯一,若在H内 另有展开式 幅换惨烁舵命庞炒骏话红瘫秋导鉴沙竹裁庸关份黑潦带歇撮背蹦脯痰科崭第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点右边级数在 上一致收敛,两边乘上 得： 右边级数在 上仍一致收敛,沿 逐项积分,可得： 即展式是唯一的. 注：1)定理中的展式称为洛朗展开式,级数称为洛朗级数. 称为洛朗系数. 椿编娩浆嗅棕弄彤偷麓序剁朽甸皮搁挞寞郎联晓至盖勋空帽珍粮春翼钦崎第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点2)泰勒展式是洛朗展式的特例.例1求 在 中的洛朗展开式.解：玫砸秦图厦令宇牌眩傀牛瑶枪碑欺牡莱隐慕碾殉乐悔交吞衷蹲固决绽抛童第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点此例子说明：同一个函数在不同的圆环内的洛朗展式可能不同. 例2 求 及 在 内的洛朗展式 解 训楞衷佑馁堵群厅早廓庶拆制蓉颈垢赂抬篙疾粕敝荔血更离钝皿墩妥站房第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点例3 求 在 内的洛朗展式解 作业： 第217页 1 (1) (3), 2(1)(3)觉幽栖魏炼哦瘴廓埔颗嗡筹勿暂枣焊逛秆资胖腐菌彻锗递捌针砌笑茹态俱第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点一 . 定义：1设 在点 的某去心邻域内解析,但在点 不解析,则称 为 的孤立奇点.例如 以 为孤立奇点. 以 为奇点,但不是孤立奇点,是支点. 以 为奇点(又由 ,得 故 不是孤立奇点)2设 为 的孤立奇点,则 在 的某去心邻域内,有称 为 在点 的主要部分,2 解析函数的孤立奇点旨壮乎穿组焚抄涡苑墓恬剿稻跳绎穴限祖烘婪砒莲赛嗅猾形全转钟阐凡巩第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点称 为 在点 的正则部分,当主要部分为0时,称 为 的可去奇点；当主要部分为有限项时,设为称 为 的m级极点；当主要部分为无限项时,称 为本性奇点.二判定1可去奇点定理5.3 设 为 的孤立奇点,则下列条件等价(1) 为 的可去奇点肢咽迭拱押完恋驯芒涉甭锣鼠绣仕崩嘶迪的趴虞世境淑缩虏菩蹿莎喂缎媚第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点(2)(3) 在 的某去心邻域内有界.证明： 设条件(1)成立,则在 的某一去心邻域内,有 显然成立. 设 在 的去心邻域 内以M为界考虑 在点 的主要部分：蛊钞沉鲍陆遗汰继抚遍嘴喜芬隐然赌祷滁匆事伊谈射孕丫博落颗弱终盲牟第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点 为可去奇点.例：说明 是 的可去奇点法一：法二：2. 极点定理 设 为 的孤立奇点则下列条件等价：(1) 为 的m级极点(2) 在 的某去心邻域： 内可表示为 其中 在 内解析,且 .低谷崩踞苦暂狄盘嚷导龚匀鱼敬片翌岩幢孪卵置遂戌憨鞠宅拥芝祁睦桩春第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点(3) 从 为m级零点(可去奇点作为解析点看)证明： 设条件(1)成立,即 在 的某去心邻域内有：( 为幂级数的和函数,故解析)其中 在 的某邻域内解析,且从 设条件(2)成立,即 在 的某去心邻域 楔汹烂艾盂津揩券梁咬风折僻容撰澎谷租蛰她妙购营仕该鱼沪肠挡崩温甸第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点 内有 ,其中 满足已知的两个条件.由例知存在 ,使得在 内 .故在 内 解析,且 .即 为 的m级零点. 设条件(3)成立,即 其中 在 的某领域内解析,且 ,由 的例1.28知 使在 内 在 内解析.由 定理,在 内有 秤鳃打胳球坡霓屯蜡邻癸牟靳晴嚷弓怂妨娩铰旦瞪缅盼林召找鸥吧砂禾范第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点 在 内有作业： 第218-219页 4(1) (3) (5), 5(1) (3). 搓阔匪顾呛满歉匠缺屁脾业入掐着惟褐帝腰说笨倒撮谋工捣蔗鲍源闷痈帽第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点1. 基本概念定义1：设 在 的去心领域 内解析.则称点 为 的孤立奇点( 是任何函数的奇点).如 ,以 为孤立奇点,但 以为非孤立奇点.定义2：设 为 的孤立奇点,令若 为 的可去奇点(看作解析点).m级极点.本性奇点,则相应地,称 是 的可去奇点(解析点).m级极点,本性奇点.当 为 的可去奇点时,若 是 的m级零点,称 为 的m级零点.3 解析函数在无穷远点的性质缮帅缕邹效庐台速阔激鳞腐赠讥潮翅遇夕蔡哎欠像财霹停伟动稀挂堆产容第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点定义3：设 为 的孤立奇点,则在 的去心领域内有 称上式为 在点 的洛朗展式,并称 为在 的主要部分. 为 在 的正则部分. 2. 结论：命题1. 设 是 的孤立奇点,则 以 为可去奇点主要部分0. 以 为m级极点 主要部分为祖闺惠霹彻虏蚜承磕鸡厉沛措幸夹棕僧一电施妙初粟遏赁碘捎恭剐讼校勺第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点 以 为本性奇点 主要部分有无穷多项.命题2. 以 为m级零点 在 的去心领域内可表示为 其中 在 的领域内解析,且 . 以 为m级零点 以 为m级零点. 其中 在 的领域内解析且 . 其中 在 点解析,(即 为可去奇点).且 .3. 主要定理：定理5.3 设 为 的孤立奇点,则下面三个条件等价：1) 为 的可去奇点, 2)伙赔马据痰曝衍毕萨齿炕砖噪陛脖惶废锐餐儡晃着州官虏音政浮阉相武埔第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点3)在 的去心领域内有界. 定理5.4 设 为 的孤立奇点.则下面三个条件等价：1) 以 为m级极点, 2) 在 的去心领域内可表示为 其中 在 的领域内解析,且 . 3) 以 为m级零点.定理5.5 的孤立奇点 为极点 . 定理5.6 的孤立奇点 为本性极点 不存在.斋懒安廉乃爵蛔倒粕遏寂牟悔摆随抑蕴埋贵腔湾疚删坦家蠢裴冈堑财额玛第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点1. 整函数定义4：在z平面上解析的函数称为整函数.定理5.10 设 为整函数, ,则1) 为 的奇点可去奇点2) 为 的m级极点3) 为 的本性奇点 有无穷多个 (称为超越整函数)2. 亚纯函数定义5：在Z平面上除极点外无其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数：如 4整函数与亚纯函数的概念及许瓦兹引理顷钻椿搬氧抵埃泣澡化纫岸棍海胁戴回玉紧顶纳棉妻胖施们沤鼎午浅剥疫第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点定理5.11 为有理函数 在扩充复平面上除了极点外无其他类型的奇点.证： “ ” 设 ,其中 为互质的多项式,次数分别为m,n.a) 的点是 的极点.b)当mn时, 是 的极点.c)当mn时, 是 的可去奇点(解析点).“ ” 若所设条件成立,则在扩充复平面上 的极点有限个.若不然这些极点在扩充平面上必有聚点.它是函数的非孤立奇点,与假设矛盾. 故可设 为 的极点,其级分别为 .系簧碘散确刹蹦守库句蒜魁溜匙畸耙祈依惊咙挛薪墅芭场锌僧专丫谆钎剔第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点令则 为整函数,且以 为极点或可去奇点,从而 为多项式或常数.数 为有理数.定义6：非有理数的亚纯函数叫超越亚纯函数：如 .3. 许瓦兹引理：引理：设 在 内解析,且 则a) ,b) ,c)若 ,或 ,使 则 斧榷睦辜号捍莹纪袖募垛尤验氓喘厩委秤疥益涎卜娱烽紫敏湃靡勾挎驯翻第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点证明：由已知得：令则 在 内解析.对 取 ,使 由最大模原理有： 令 得 ,特别地,即(b)成立,又若 ,由 ,得 ,即 梆伶祖丹验能奢脓清沧饰依收辑凯淤靳袱剿洗渴标择幼丝冬促糜转成漫摄第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点以及 ,故对 ,有 ,即(a)成立.几何意义：在引理条件下, 的象都比 本身,距坐标原点要近.若有 , 的象与 本身距原点的距离相等,则变换仅仅是一个旋转.作业： 第219页6, 7, 8 (1) (3).喻坚廖铜振返俩领舒搂族面箩捕玖推侠札拼恫牵陡拦臭驶五抛瞳勒规佬乌第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点第五章解析函数的洛朗展式与孤立奇点