电电 磁磁 导导 轨轨 问问 题题 归归 类类 分分 析析一、发电式导轨一、发电式导轨二、电动式导轨二、电动式导轨三、双动式综合导轨三、双动式综合导轨四、电容放电式导轨四、电容放电式导轨五、电容充电式导轨五、电容充电式导轨2021/3/111电磁导轨问题涉及力学、功能关电磁导轨问题涉及力学、功能关系、电磁学等一系列基本概念、基本系、电磁学等一系列基本概念、基本规律和科学思维方法。分清不同性质规律和科学思维方法。分清不同性质的导轨，熟悉各种导轨中导体的运动的导轨，熟悉各种导轨中导体的运动性质、能量转化特点和极值规律，对性质、能量转化特点和极值规律，对于吃透基本概念，掌握基本规律，提于吃透基本概念，掌握基本规律，提高科学思维和综合分析能力，具有重高科学思维和综合分析能力，具有重要的意义。要的意义。 2021/3/112一、发电式导轨的基本特点和规律一、发电式导轨的基本特点和规律如图如图1所示，间距为所示，间距为l的平行导轨与电阻的平行导轨与电阻R相连，相连，整个装置处在大小为整个装置处在大小为B、垂直导轨平面向上的、垂直导轨平面向上的匀强磁场中，质量为匀强磁场中，质量为m、电阻为、电阻为r的导体从静止的导体从静止开始沿导轨滑下，已知导体与导轨的动摩擦因开始沿导轨滑下，已知导体与导轨的动摩擦因数为数为。1、电路特点路特点 导体体为发电边，与，与电源等效，当源等效，当导体的体的速度速度为v时，其中的，其中的电动势为 E=Blv主干知识主干知识2、安培力的特点、安培力的特点 安培力安培力为运运动阻力，并随速度按正比阻力，并随速度按正比规律增大。律增大。2021/3/1133、加速度特点加速度特点 加速度随速度增大而减小，加速度随速度增大而减小，导体做加速度减小的加速体做加速度减小的加速运运动4、两个极、两个极值的的规律律 当当v=0时，FB=0，加速度最大，加速度最大为am=g（sin-cos） 当当a=0时，F=0，速度最大，根据平衡条件有，速度最大，根据平衡条件有mgsin=mgcos+所以，最大速度所以，最大速度为 ： 2021/3/1145、匀速运动时能量转化规律、匀速运动时能量转化规律当导体以最大速度匀速运动时，重力的机械功率等于安培力当导体以最大速度匀速运动时，重力的机械功率等于安培力功率（即电功率）和摩擦力功率之和，并均达到最大值。功率（即电功率）和摩擦力功率之和，并均达到最大值。 PG=PF+Pf 当当=0时，重力的机械功率就等于安培力功率，也等于，重力的机械功率就等于安培力功率，也等于电功率，功率，这是是发电导轨在匀速运在匀速运动过程中，最基本的能量程中，最基本的能量转化和守化和守恒恒规律。律。mgvmsin=Fmvm=ImEm2021/3/115二、二、电动式式导轨的基本特点和的基本特点和规律律 图2如如图2所示，所示，间距距为l的平行的平行导轨水平放置，与水平放置，与电动势为E、内阻、内阻为r的的电源源连接，接，处在大小在大小为B、方向、方向竖直向上的匀直向上的匀强强磁磁场中。当中。当电路路闭合合时，质量量为m、电阻阻为R的的导体从静止开始沿体从静止开始沿导轨运运动，与与导轨的的动摩擦因数摩擦因数为。FB=BIl=3加速度特点加速度特点加速度随速度增大而加速度随速度增大而减小，减小，导体做加速度减体做加速度减小的加速运小的加速运动。1电路特点电路特点导体为电动边，与反电动势用电器（电动机）等效。导体为电动边，与反电动势用电器（电动机）等效。2安培力的特点安培力的特点安培力为运动动力，并随速度增大而减小。安培力为运动动力，并随速度增大而减小。2021/3/1164、两个极、两个极值规律律当当v=0时，E反反=0，电流、安培力和加速度最大且分流、安培力和加速度最大且分别为 这就是大型就是大型电动机启机启动时，为了防止了防止电流流过大而大而烧坏坏绕组线圈圈是串是串联启启动电阻的原因。阻的原因。 当当a=0时，F=0，速度最大，速度最大，电流最小，安培力最小。流最小，安培力最小。 据平衡条件有：mg=Fmin=BIminl=所以最大速度所以最大速度为：当当=0时，即，即E=Blvm=E反反，这是是电路中路中电流流为零。零。2021/3/1175、匀速运、匀速运动时的能量的能量转化化规律律当当导体以最大速度匀速运体以最大速度匀速运动时，电源功率等于源功率等于导体的体的机械功率（即安培力功率）、和摩擦力功率之和。机械功率（即安培力功率）、和摩擦力功率之和。当当=0时，电源的功率等于源的功率等于导体的机械功率和焦耳体的机械功率和焦耳热功率之和，功率之和，这是是电动式式导轨在匀速运在匀速运动时最基本的能最基本的能量量转化和守恒化和守恒规律。律。2021/3/118三、双动式综合导轨的基本特点和规律三、双动式综合导轨的基本特点和规律如图所示，宽为如图所示，宽为l的光滑平行导轨的水平部分处于方向垂直导轨的光滑平行导轨的水平部分处于方向垂直导轨平面向上的匀强磁场中。质量为平面向上的匀强磁场中。质量为m、电阻为、电阻为r的导体从高的导体从高h处由静止处由静止开始滑下，而且与原来静止在水平轨道上质量为开始滑下，而且与原来静止在水平轨道上质量为M、电阻为、电阻为R的导的导体始终没有碰撞。体始终没有碰撞。1、电路特点、电路特点两导体同方向运动，开始电动势较大的为发电边，与电源等效；两导体同方向运动，开始电动势较大的为发电边，与电源等效；电动势较小的为电动边，与电动机等效。电动势较小的为电动边，与电动机等效。 2021/3/1192、电流特点流特点导体体m进入磁入磁场后，开始切割磁感后，开始切割磁感线，产生感生感应电动势，并在回，并在回路中形成感路中形成感应电流；同流；同时，在安培力的作用下，在安培力的作用下，导体体M也同向运也同向运动，产生反生反电动势。根据欧姆定律，。根据欧姆定律，电路中的路中的电流可以表示流可以表示为：3、安培力、加速度特点、安培力、加速度特点安培力安培力对发电边为阻力，阻力，对电动边为动力，在力，在轨道道宽度不度不变的的情况下，两情况下，两边的安培力大小相等，方向相反即矢量和的安培力大小相等，方向相反即矢量和为零。安培零。安培力的大小可表示力的大小可表示为：所以安培力也随两所以安培力也随两导体的相体的相对速度速度vm-vM的减小而减小。当的减小而减小。当vM=0时安培力最大。当安培力最大。当vm=vM，安培力，安培力FB=0据牛据牛顿第二定律知：加速度第二定律知：加速度a随安培力的随安培力的变化而化而变化化 所以电流随两导体的相对速度所以电流随两导体的相对速度vm-vM的减小而减小。当的减小而减小。当vM=0时电流时电流最大。当最大。当vm=vM，电流，电流I=02021/3/11104、速度极值根据机械能守恒定律，发电边进入水平轨道时速度的最大值为当两者达到共同速度时，发电边的速度达到最小值，电动边的速度达最大值。根据系统动量守恒，所以有2021/3/11115、全、全过程系程系统产生的生的热当相当相对速度速度为零，即零，即vm=vM=v时，电流流为零，回路不再消耗零，回路不再消耗电能能两两导体开始以共同速度体开始以共同速度v匀速运匀速运动。根据全。根据全过程中能程中能转化化和守恒和守恒规律，有律，有所以全所以全过程中系程中系统产生的生的热为：6、全、全过程两程两导体体产生的生的热量之比与量之比与电阻成正比阻成正比根据根据连导体串体串联电路中，每路中，每时刻通刻通过的的电流相等，从而有流相等，从而有Q=I2Rt所以全所以全过程中两程中两导体体产生的生的热之比之比为：2021/3/1112四、四、电容放容放电式式导轨的基本特点和的基本特点和规律律 如如图所示，光滑水平所示，光滑水平轨道的道的间距距为l，处在大小在大小为B、方向方向竖直向上的匀直向上的匀强强磁磁场中。中。导轨上皆有上皆有电动势为E的的电源和源和电容容为C的的电容器，一根容器，一根质量量为m的的导体静止在体静止在导轨上，若将上，若将单刀双刀双掷开关开关s先先掷于位置于位置1，对电容器充容器充电；然后；然后掷于位置于位置2，让电容器放容器放电。2021/3/11131、电路特点、电路特点电容器放电，导体为电动边电容器放电，导体为电动边2、电流特点、电流特点当电容次对导体放电时，导体在安培力的作用下开始向当电容次对导体放电时，导体在安培力的作用下开始向右运动，同时产生阻碍放电的反电动势，使电流减小直右运动，同时产生阻碍放电的反电动势，使电流减小直到电流为零为止。到电流为零为止。3、运动特点、运动特点导体在安培力作用下，先做加速度减小的加速运动，当导体在安培力作用下，先做加速度减小的加速运动，当电流为零时，速度达到最大值，然后开始做匀速运动。电流为零时，速度达到最大值，然后开始做匀速运动。2021/3/11144、匀速运动的条件、匀速运动的条件电流电流I=0，即导体的反电动势等于电容器的电压，即导体的反电动势等于电容器的电压U=E反反=Blvm电容器的充电电压为电容器的充电电压为E，放电过程中电压降低；导，放电过程中电压降低；导体在加速过程中速度增加，凡电动势增大当导体中体在加速过程中速度增加，凡电动势增大当导体中的反电动势等于电容器的电压时，电路中电流为零，的反电动势等于电容器的电压时，电路中电流为零，导体开始以最大速度导体开始以最大速度vm匀速运动。匀速运动。 2021/3/11155、最大速度的、最大速度的计算算根据根据电容器的充容器的充电量量为Q0=CE，放，放电结束束时的的电量量为Q=CU=CBlvm，所以，所以电容器放容器放电结束束时的的电量量为 Q=Q0-Q=CE-CBlvm 根据根据动量定理有量定理有 mvm=Ft=Bi lt=BlQ 所以，所以，导体的最大速度体的最大速度为 顺便指出，此结果代入式，还可计算出电容器的放电量。 2021/3/11166、安培力、安培力对导体的冲量和体的冲量和对导体做功的体做功的计算算根据根据动量定理和量定理和动能定理，安培力能定理，安培力对导体的冲量和做体的冲量和做的功分的功分别为2021/3/1117五、五、电容充容充电式式导轨的基本特的基本特点和点和规律律如如图所示，所示，宽为l的光滑的光滑竖直直导轨，处于磁感于磁感应强强度度为B方向垂方向垂直直导轨平面的匀平面的匀强强磁磁场中，上端中，上端接有接有电容容为C的的电容器。一根容器。一根质量量为m的的导体，从静止开始沿体，从静止开始沿导轨滑下。滑下。1、电路特点、电路特点导体为发电边，在加速运动导体为发电边，在加速运动的过程中不断对电容器充电，的过程中不断对电容器充电，电路中始终存在充电电流电路中始终存在充电电流2021/3/1118受到的安培力可以表示受到的安培力可以表示为：FB=BIl 2、三个基本关系、三个基本关系在重力和安培力的作用下，导体的加速度可以表示为：在重力和安培力的作用下，导体的加速度可以表示为： 回路中的电流回路中的电流I可以表示为：可以表示为：2021/3/11193、四个重要、四个重要结论结论一结论一：导体做出速度体做出速度为零的匀加速直零的匀加速直线运运动证明明 将将、式代入式代入得：加速度得：加速度为2021/3/1120结论二：电路中的充电电电流恒定不变，为恒定直流。结论二：电路中的充电电电流恒定不变，为恒定直流。证明：将加速度证明：将加速度a之值代入之值代入式，所以，电流为：式，所以，电流为：2021/3/1121结论三：导体受到的安培力为恒力结论三：导体受到的安培力为恒力证明：证明： 将电流代入安培力公式得，将电流代入安培力公式得，2021/3/1122结论四：电容器储存的电场能等于安培力做的功结论四：电容器储存的电场能等于安培力做的功证明：证明：式中式中Blv=E，即，即导体的体的电动势，也即，也即电容器容器连极板极板间的的电压，所以，安培力的功等于，所以，安培力的功等于电容器容器储存的存的电场能能Ec ，即，即2021/3/1123典例分析典例分析例例1 1、如、如图所示，在所示，在间距距为l l的光滑的水平的光滑的水平导轨上，放置上，放置两根两根质量均量均为m m、电阻均阻均为R R的的导体体a a和和b b，处于方向于方向竖直直向上的大小向上的大小为B B的匀的匀强强磁磁场中。如果中。如果对导体体a a价水平向右价水平向右的恒力的恒力F F，是，是计算：算：（1 1）导体体a a的加速度的最小的加速度的最小值和和导体体b b的加速度的的加速度的最大最大值是多少？是多少？（2）两导体最终的相对速度）两导体最终的相对速度Bab2021/3/1124【解析】但两【解析】但两导体开始运体开始运动后，后，导体体a a为发电边，受，受到的安培力到的安培力为阻力，做加速度减小的加速运阻力，做加速度减小的加速运动；导体体b b为电动边，受到的安培力，受到的安培力为动力，做加速度增大的加力，做加速度增大的加速运速运动。 （1 1）当两者的加速度相等）当两者的加速度相等时，导体体a a的加速度达到最的加速度达到最小小值，导体体b b的加速度达到最大的加速度达到最大值。以系。以系统为研究研究对象，象，根据牛根据牛顿第二定律，两极第二定律，两极值为2021/3/1125（2 2）以）以导体体b b为研究研究对象，根据牛象，根据牛顿第二第二定律，安培力定律，安培力为从而有从而有这时，两，两导体的相体的相对速度（速度（v va a-v-vb b）、）、电路中的路中的电流流I I也恒定不也恒定不变。所以两。所以两导体最体最终的相的相对速度速度为2021/3/1126例例2 2、如果上、如果上题中，中，导体体a a以初速度以初速度v v0 0向向导体体b b运运动，两两导体始体始终没接触，没接触，试计算：算：【解析】当两【解析】当两导体运体运动后，后，导体体a a为发电边，受到的安培力，受到的安培力为阻力做加速度减小的减速运阻力做加速度减小的减速运动；导体体b b为电动边受到的安培力受到的安培力为动力，作加速度减小的加速运力，作加速度减小的加速运动。（1）在运动中产生的焦耳热是多少？）在运动中产生的焦耳热是多少？（2）当导体）当导体a速度减少速度减少1/4时，导体时，导体b的加速度是多大？的加速度是多大？Bab2021/3/1127（1）当两者达到共同速度）当两者达到共同速度v，即，即E=E反反时，时，电路中无电流机械能不再转化为焦耳热。电路中无电流机械能不再转化为焦耳热。根据系统的动量和能量守恒，有根据系统的动量和能量守恒，有所以，所以，产生的焦耳生的焦耳热为2021/3/1128（2 2）当）当导体体a a的速度减小的速度减小1/41/4，即，即v va a=3=3v v0 0/4/4时，根，根据据动量守恒得，量守恒得，这时导体体b b受到的安培力受到的安培力为所以所以这时导体体b b的加速度的加速度为2021/3/1129例例3 3、如、如图所示，平行所示，平行导轨宽度度为l=0.5m，倾斜部分是斜部分是光滑的，水平部分粗糙并光滑的，水平部分粗糙并处在方向在方向竖直向上的匀直向上的匀强强磁磁场中，磁感中，磁感应强强度度为B=0.60T。两根。两根导体体A、B的的质量均量均为m=0.20kg，电阻均阻均为R=0.15。开始。开始导体体B静止在水平静止在水平轨道上，道上，导体体A从高从高h=0.05m处由静止滑下。由静止滑下。设轨道足道足够长，且始，且始终两者没有接触，两者没有接触，试计算：算：BBAAh2021/3/1130（1）回路中感）回路中感应电流的最大流的最大值是多少？是多少？【解析】当导体【解析】当导体A刚进入水平轨道时，导体刚进入水平轨道时，导体B的的速度仍为零，回路感应电动势最大，电流最大。速度仍为零，回路感应电动势最大，电流最大。 （1 1）根据机械能守恒定律，）根据机械能守恒定律，导体体A A进入水平入水平轨道的速道的速度度为根据欧姆定律，感根据欧姆定律，感应电流的最大流的最大值为2021/3/1131（2）当导体）当导体B的速度最大时，导体的速度最大时，导体A的加速度是的加速度是多大？已知动摩擦因数多大？已知动摩擦因数=0.10（2）当）当导体体B开始运开始运动后，后，产生反生反电动势，电路中的路中的电流开始减小，安培力减小，两流开始减小，安培力减小，两导体的受力如体的受力如图所示。所示。导体体A做加速度减小的减速运做加速度减小的减速运动，导体体B做加速度减小做加速度减小的加速运的加速运动。导体体B的速度达到最大的条件是受到的合的速度达到最大的条件是受到的合外力外力为零，即零，即根据牛顿第二定律，这是导体A加速度可以表示为，所以，导体A的加速度为2021/3/1132BBAAhNfmgFBNFBfmg2021/3/1133（3 3）当导体）当导体B B的速度最大时，导体的速度最大时，导体A A、B B的相的相对速度是多大？对速度是多大？（3）根据平衡条件，）根据平衡条件，还有有所以，所以，这是是导体体A、B的相的相对速度速度为，2021/3/1134例例4、如、如图所示，一个所示，一个质量量为m=0.016kg的矩形的矩形线框，框，长为L=0.5m宽l=0.1m，电阻阻为R=0.1，线圈从距磁圈从距磁场为h=5m高高处自由下落，然后自由下落，然后进入一匀入一匀强强磁磁场，且，且进入磁入磁场时恰好做匀速运恰好做匀速运动。试计算：算：（1）磁）磁场的磁感的磁感应强强度是多大？度是多大？（2）如果）如果测出出线框的下框的下边通通过磁磁场的的时间为t=0.15s，磁磁场区域的高度是多少？区域的高度是多少？（3）线框刚出磁场的加速度是多大？）线框刚出磁场的加速度是多大？2021/3/1135【解析】在【解析】在线框部分框部分进入磁入磁场的的过程中，受到重力和程中，受到重力和安培力的作用；全部安培力的作用；全部进入磁入磁场后，只受重力作用；在部后，只受重力作用；在部分离开磁分离开磁场的的过程中，又受到安培力的作用。程中，又受到安培力的作用。根据重力与安培力平衡，有根据重力与安培力平衡，有所以磁感所以磁感应强强度度为（1）根据机械能守恒定律，线框进入磁场的速度为）根据机械能守恒定律，线框进入磁场的速度为2021/3/1136（2）线框部分进入磁场后，先做匀速直线运动；全部）线框部分进入磁场后，先做匀速直线运动；全部进入磁场后，做竖直下抛运动。线框匀速下落的时间为进入磁场后，做竖直下抛运动。线框匀速下落的时间为则竖直下抛直下抛时间为 t2=t-t1=0.1s根据根据竖直下抛的位移公式，有直下抛的位移公式，有所以磁所以磁场区域的高度区域的高度为2021/3/1137(3)(3)线框框刚穿出磁穿出磁场的速度的速度为所以，所以，这时加速度加速度为负号表示加速度方向号表示加速度方向竖直向上直向上BIlmg2021/3/1138例例5、如、如图所示，所示，宽为L=1m、倾角角=30o的光滑平行的光滑平行导轨与与电动势为E=3.0V、内阻、内阻r=0.5的的电池相池相连接，接，处在磁感在磁感应强强度度B=方向方向竖直向上的匀直向上的匀强强电场中。中。质量量为m=200g、电阻阻R=1的的导体体ab从静止开始运从静止开始运动。不不计其余其余电阻，且阻，且导轨足足够长，试计算：算：（1）若在导体）若在导体ab运动运动t=3s是将开关合上，这时导体是将开关合上，这时导体受到的安培力是多大？加速度是多少？受到的安培力是多大？加速度是多少？（2）导体）导体ab的收尾速度是多大？的收尾速度是多大？（3）当达到收尾速度时，导体）当达到收尾速度时，导体ab的重力功率、安培的重力功率、安培力功率、电功率，以及回路中焦耳热功率各是多少力功率、电功率，以及回路中焦耳热功率各是多少？2021/3/1139【解析】【解析】 在在电路接通前，路接通前，导体体abab在在3s3s末的速度末的速度为导体体ab的的电动势为因此，因此，导体体ab与与电源等效，源等效，电池池为被充被充电的反的反电动势负载（1）所以，开关）所以，开关S和尚和尚时导体体ab阿后到的阿后到的安培力水平向右，大小安培力水平向右，大小为而而导体的加速度体的加速度为式中式中负号表示加速度方向沿斜面向上，即号表示加速度方向沿斜面向上，即导体沿斜面作减速运体沿斜面作减速运动2021/3/1140（2）以沿斜面向上为正方向，导体加速度的一般表达）以沿斜面向上为正方向，导体加速度的一般表达式为式为 因此因此导体做加速度减小的加速运体做加速度减小的加速运动，当，当a=0时，速，速度最小，然后以最小速度开始匀速运度最小，然后以最小速度开始匀速运动。从而有。从而有所以收尾速度所以收尾速度为2021/3/1141（3）当）当导体以收尾速度匀速运体以收尾速度匀速运动时，导体体ab的重力的重力功率、安培力功率和功率、安培力功率和电功率大小相等，即：功率大小相等，即：同理，同理，还有有则电路中路中电流流为所以回路中焦耳所以回路中焦耳热功率功率为 2021/3/1142