随机变量随机变量按取值的不同可分为按取值的不同可分为离散型离散型随机变量随机变量取值割裂的；取值割裂的；连续型连续型随机变量随机变量取值连续变化的。取值连续变化的。 一维连续型随机变量及其概率分布一维连续型随机变量及其概率分布一、分布函数概念一、分布函数概念定义定义：设：设 是一个是一个r.v.，x是任意实数，令是任意实数，令称称F(x)为为r.v. 的的分布函数分布函数。1性质性质： 非降性非降性：对：对a 0； 。以标准正态分布为例，以标准正态分布为例， 称为称为高斯高斯积分。积分。17 密度函数密度函数f(x)的图像：的图像：xy图图118xy图图2图图1中，中， 不变，随着不变，随着 变大，曲线波峰下降。变大，曲线波峰下降。图图2中，中， 不变，曲线随着不变，曲线随着 的变化沿的变化沿x轴平移，轴平移，曲线形状不变。曲线形状不变。19 正态分布函数：正态分布函数： 此积分因此积分因被积函数不是初等函数被积函数不是初等函数而无法积分。而无法积分。标准正态分布函数标准正态分布函数： 书后附有书后附有标准正态分布表标准正态分布表()，通过查表，通过查表，可由可由 计算计算 的概率。的概率。 20 正态分布函数：正态分布函数： 此积分因此积分因被积函数不是初等函数被积函数不是初等函数而无法积分。而无法积分。标准正态分布函数标准正态分布函数： 书后附有书后附有标准正态分布表标准正态分布表()，通过查表，通过查表，可由可由 计算计算 的概率。的概率。 21xyxox 阴影部分为阴影部分为概率面积概率面积； 由由对称性对称性， 。例例1：设随机变量：设随机变量 ，求，求 ； ； ； 。22 若若 ，令，令 ，则，则 。即即式中的式中的F(x)式中的式中的 ，因此，因此，先将正态分布的随机变量先将正态分布的随机变量 转化成标准正态分转化成标准正态分布的随机变量布的随机变量 ，再利用，再利用 计算概率。计算概率。 例例2：若：若 ，求求(1) (1) ；(2) (2) 。23 正态分布正态分布的应用十分广泛，在日常生活的应用十分广泛，在日常生活中，人的身高、体重、智商；学习成绩以及中，人的身高、体重、智商；学习成绩以及产品质量等均服从正态分布。产品质量等均服从正态分布。例例3：某种电池的寿命：某种电池的寿命 服从正态分布，服从正态分布， (小时小时)， (小时小时)。 求电池寿命在求电池寿命在250小时以上的概率；小时以上的概率； 求求x，使寿命在，使寿命在 与与 之间的概率不之间的概率不小于小于。24 二维连续型随机变量及其概率分布二维连续型随机变量及其概率分布一、联合分布函数和边缘分布函数一、联合分布函数和边缘分布函数1、定义定义：设：设 是二维是二维r.v.，x,y是任意实数，是任意实数，令令则称则称F(x,y)是二维是二维r.v. 的联合分布函数，的联合分布函数，简称简称分布函数分布函数。于是有于是有25xyox1x2y1y2262、性质性质： F(x,y)对对x和和y分别是单调非降的；分别是单调非降的； x，y1y2，F(x,y1)F(x,y2) y，x1x2，F(x1,y)F(x2,y) 0F(x,y)1； F(x,y)对对x和和y分别右连续分别右连续； x,y，F(x+0,y)=F(x,y)，F(x,y+0)=F(x,y)2743、定义定义：设二维：设二维r.v. 的两个分量的两个分量 与与 各各自的分布函数为自的分布函数为 与与 ，称为，称为 的的边边缘分布函数缘分布函数。 可由联合分布求得边缘分布；可由联合分布求得边缘分布； 反之则不一定。反之则不一定。28二、联合密度函数和边缘密度函数二、联合密度函数和边缘密度函数1、定义定义：设设F(x,y)为为 的联合分布函数，且的联合分布函数，且存在非负函数存在非负函数f(x,y)，使得对于，使得对于x,yR，有，有称称f(x,y)为二维为二维r.v. 的联合密度函数，简的联合密度函数，简称称密度函数密度函数， 称为称为二维连续型随机变量二维连续型随机变量。292、性质性质： f(x,y)0； ； 若若G为为XOY平面内的一区域，则二维平面内的一区域，则二维r.v. 落入落入G的概率的概率 在在f(x,y)的连续点的连续点(x,y)处有处有303、定义定义：设二维：设二维r.v. 的两个分量的两个分量 与与 各各自的密度函数为自的密度函数为 与与 ，称为，称为 的的边缘密度函数边缘密度函数。于是有于是有313、定义定义：设二维：设二维r.v. 的两个分量的两个分量 与与 各各自的密度函数为自的密度函数为 与与 ，称为，称为 的的边缘密度函数边缘密度函数。于是有于是有32例例1：已知随机变量：已知随机变量X和和Y的联合的联合概率密度为概率密度为求求X和和Y的联合分布函数的联合分布函数F(x,y)。例例2：设二维：设二维r.v. 的联合密度函数的联合密度函数求求 A； 的分布函数的分布函数； ； 。33 二维连续型随机变量及其概率分布二维连续型随机变量及其概率分布( (续续) )三、两个重要的二维连续型分布三、两个重要的二维连续型分布1 1、二维均匀分布、二维均匀分布 设设G为为XOY平面上的有界区域，面积为平面上的有界区域，面积为A，若若 的密度函数为的密度函数为称称 服从服从G上的上的均匀分布均匀分布。34 若若D为为G的子区域，则的子区域，则 第第4题即是均匀分布，其概率只与题即是均匀分布，其概率只与D的面积有关，而与的面积有关，而与D的形状、位置无关。的形状、位置无关。例例1：设设G为曲线为曲线y=x2，x=1与与x轴围成的平面轴围成的平面区域，区域， 服从服从G上的均匀分布，求上的均匀分布，求 的的边缘分布。边缘分布。 352 2、二维正态分布、二维正态分布 称具有联合密度函数称具有联合密度函数(其中其中 为常数，且有为常数，且有 )的随机变量的随机变量 服从二维正态分布，记为服从二维正态分布，记为 。36 二维正态分布的图形：二维正态分布的图形：37 二维正态分布的两个边缘分布是一维正态二维正态分布的两个边缘分布是一维正态分布。分布。由于由于 均不含均不含 ，故当，故当 相相同而同而 不同时，不同时， 仍相同，因此仍相同，因此不能不能从边缘分布推得联合分布从边缘分布推得联合分布。38例例2：，习题，第，习题，第10(1)题。题。 设参数设参数 ，写出它的联合密度函数和边缘密度函数。写出它的联合密度函数和边缘密度函数。例例3：，习题，第，习题，第12题。题。 设随机变量设随机变量 的密度函数为的密度函数为求证：求证： 和和 的边缘分布分别为的边缘分布分别为N(0,1)。39四、随机变量的独立性四、随机变量的独立性1、定义定义：设：设r.v. 的的联合密度函数为联合密度函数为f(x,y)， 和和 的边缘密度函数分别为的边缘密度函数分别为 ，如果，如果对任意实数对任意实数x和和y，有，有则称则称r.v. 和和 相互独立相互独立，反之称，反之称 和和 不独立。不独立。2、当两个、当两个r.v. 和和 相互独立时，亦成立相互独立时，亦成立40例例4：袋中有袋中有2只白球，只白球，3只黑球，现进行无放只黑球，现进行无放回摸球，定义回摸球，定义求求 联合概率分布和边缘分布；联合概率分布和边缘分布； 与与 是否独立？是否独立？例例5：在：在例例1中，讨论中，讨论 与与 的独立性。的独立性。41例例6：设：设 的联合密度为的联合密度为 求求 系数系数c； 与与 是否独立？是否独立？ 落在以落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形的为顶点的正方形的概率。概率。例例7：某人欲到车站乘车。已知人、车到达车：某人欲到车站乘车。已知人、车到达车站的时间相互独立，且都服从在站的时间相互独立，且都服从在8:008:30间间的均匀分布。又设车到车站停留的均匀分布。又设车到车站停留10分钟后准时分钟后准时离站，求此人能乘上车的概率。离站，求此人能乘上车的概率。 423、定理定理：设：设 ，则，则 与与 相互独立相互独立证明证明：必要性必要性： 与与 相互独立，则相互独立，则令令 ，则，则43充分性充分性： ，则，则 的密度函数的密度函数故故 与与 相互独立相互独立44 连续型随机变量函数的密度函数连续型随机变量函数的密度函数一、一维随机变量函数的密度函数一、一维随机变量函数的密度函数设设 为连续型为连续型r.v.，若有若有y =g(x)，则，则 也也是连续型是连续型r.v.。现可利用。现可利用 的密度函数的密度函数 来求来求 的密度函数的密度函数 。 1 1、y =g(x)是严格单调且可导的函数是严格单调且可导的函数定理定理：设：设 的密度函数为的密度函数为 ，y =g(x)严格单严格单调且有一阶导数存在，设调且有一阶导数存在，设x=h(y)为为y =g(x)的反的反函数，则函数，则 的密度函数为的密度函数为45证明证明： y =g(x)严格单调，则严格单调，则 x=h(y)也也严格单调。严格单调。 设设y =g(x) ，则则 的分布函数的分布函数yxy=g(x)x=h(y)yh(y)o46 设设y =g(x)，则则 的分布函数的分布函数y=g(x)x=h(y)yoxh(y)y由由、，47例例1：设随机变量：设随机变量 (指数分布指数分布)，求，求 的概率密度。的概率密度。例例2：设随机变量：设随机变量 ，求线性函数，求线性函数 (k1,k2是常数且是常数且k10)的概率密度。的概率密度。例例3：设随机变量：设随机变量 (均匀分布均匀分布)，求，求 的概率密度。的概率密度。482 2、y =g(x)是分段单调且可导的函数是分段单调且可导的函数定理定理：设随机变量：设随机变量 的密度函数为的密度函数为 ，函数，函数y=g(x)在不相重叠的区间在不相重叠的区间I1,I2,Ik上分段严上分段严格格单调且可导，它们的反函数分别为单调且可导，它们的反函数分别为h1(y),h2(y), ,hk(y)，则，则 的密度函数的密度函数49例例4：设：设 ，求，求 的密度函数的密度函数 。例例5：设：设XN(0,1)，求，求Y=|X|的的概率密度概率密度fY(y)。例例6：设：设r.v. 的密度函数的密度函数求求 的密度函数的密度函数 。50二、多维随机变量函数的密度函数二、多维随机变量函数的密度函数 已知随机变量已知随机变量 或随机向量或随机向量 的密度函数，若随机变量的密度函数，若随机变量 或或 ，与一维情形相类似，我们，与一维情形相类似，我们同样可以利用原来随机变量的密度函数求得同样可以利用原来随机变量的密度函数求得 的的密度函数。密度函数。概述概述：51 常见的多维随机变量的函数有：常见的多维随机变量的函数有： 在求解过程中，在求解过程中，多数是先求分布函数，再多数是先求分布函数，再利用导数求得密度函数。利用导数求得密度函数。 尽管尽管 ，此时，此时 为一维的随机变量。为一维的随机变量。52 求求 的密度函数的密度函数 的通常步骤：的通常步骤： 求出求出 的概率密度函数：的概率密度函数： 求出求出 的取值范围；的取值范围； 求出求出 的的分布函数分布函数：其中其中 ；531 1、和的分布、和的分布现利用第现利用第点的思想来推导随机变量和的分布点的思想来推导随机变量和的分布之密度函数。之密度函数。设设 的联合密度函数为的联合密度函数为f(x,y)，则则 的分布函数为的分布函数为oxyzzx+y=z54令令y=t- -x交换积分次序交换积分次序故故 的密度函数的密度函数55该公式称为该公式称为卷积公式卷积公式。说明说明： 与与 对称，故对称，故 若若 与与 相互独立，则相互独立，则于是于是 的密度函数的密度函数56例例1：，习题，第，习题，第9题。题。设设 相互独立，相互独立， ， ，求，求 的密度函数。的密度函数。定理定理： 随机变量随机变量 与与 相互独立，相互独立， ， ，则，则 相互独立，相互独立， ，则，则572 2、 或或 解题时需从分布函数出发；解题时需从分布函数出发； 在进行二重积分求解时要用到在进行二重积分求解时要用到极坐标极坐标。例例2：设：设 独立，且都服从独立，且都服从N(0,1)，求求 的密度函数。的密度函数。例例3：设：设 的密度函数为的密度函数为求求 的密度函数。的密度函数。58