5.1平面向量的概念及线性运算基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基基础础知知识识自主学自主学习习名称定义备注向量既有 ，又有 的量；向量的大小叫做向量的 (或称 )平面向量是自由向量零向量长度为 的向量；其方向是任意的记作_单位向量长度为 的向量非零向量a的单位向量为1.向量的有关概念向量的有关概念知识梳理大小方向长度模00单位1平行向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线 ，则称这两个向量平行或共线0与任一向量_相等向量长度 且方向 的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度 且方向 的向量0的相反向量为0平行或重合相等相同相等相反平行2.向量的线性运算向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算 法则 法则 (1)交换律：ab ； (2)结合律：(ab)c_平行四边形三角形baa(bc)几何画板展示几何画板展示几何画板展示几何画板展示减法求两个向量差的运算 法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a| ；(2)当0时，a的方向与a的方向 ；当0时，a的方向与a的方向 ；当0时，a_(1)(a) ；(2)()a ；(3)(ab)_ 三角形|a|相同相反()aaaab0几何画板展示几何画板展示3.向量共线的判定定理向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数.，使得ba，则向量b与非零向量a共线.1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.知识拓展知识拓展2.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则3. (，为实数)，若点A，B，C共线，则1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关.()(3)若ab，bc，则ac.()(4)若向量 与向量 是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立.()思考辨析思考辨析1.给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量 相等.则所有正确命题的序号是A. B.C. D.考点自测根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故错误；答案解析2.(教材改编)D是ABC的边AB上的中点，则向量 等于答案解析如图，3.对于非零向量a，b，“ab0”是“ab”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案解析当ab0时，ab，ab；当ab时，不一定有ab，“ab0”是“ab”的充分不必要条件.A.2 B.1C.1 D.14.已知a，b是不共线的向量， 那么A，B，C三点共线的充要条件是答案解析所以abt(ab)tatb，5.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.答案解析2题题型分型分类类深度剖析深度剖析例例1给出下列四个命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是A. B.C. D.题型一平面向量的概念题型一平面向量的概念答案解析向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线.思维升华跟跟踪踪训训练练1设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是A.0 B.1 C.2 D.3答案解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.例例2题型二平面向量的线性运算题型二平面向量的线性运算命题点命题点1向量的线性运算向量的线性运算答案解析答案解析例例3(1)设D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，答案解析命题点命题点2根据向量线性运算求参数根据向量线性运算求参数(2)在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且 点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若 ，则x的取值范围是答案解析思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则.(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则.(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.跟跟踪踪训训练练2如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中， 则的值为答案解析求证：A，B，D三点共线；例例4设两个非零向量a与b不共线.题型三共线定理的应用题型三共线定理的应用又它们有公共点B，A，B，D三点共线.证明(2)试确定实数k，使kab和akb共线.解答假设kab与akb共线，则存在实数，使kab(akb)，即(k)a(k1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，kk10.消去，得k210，k1.(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线.思维升华A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线A，B，D三点共线.故选B.答案解析(2)如图所示，设O是ABC内部一点，且则ABC与AOC的面积之比为_.O是AC边上的中线BD的中点，SABC2SOAC，ABC与AOC面积之比为2.答案解析2典例典例下列叙述错误的是_.若ab，bc，则ac.若非零向量a与b方向相同或相反，则ab与a，b之一的方向相同.|a|b|ab|a与b方向相同.向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.若ab，则ab.现场纠错系列现场纠错系列4错解展示现场纠错 纠错心得容易忽视的零向量课时课时作作业业1.已知a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则下列说法正确的是A.ab0B.abC.a与b共线反向D.存在正实数，使ab因为a，b是两个非零向量，且|ab|a|b|，则a与b共线同向，故D正确.答案解析123456789101112132.已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但ab与c共线，且bc与a共线，则向量abc等于A.a B.b C.c D.0依题意，设abmc，bcna，则有(ab)(bc)mcna，即acmcna.又a与c不共线，于是有m1，n1，abc，abc0，选D.答案解析12345678910111213A.A，B，C B.A，B，DC.B，C，D D.A，C，D答案解析12345678910111213 A.点P在线段AB上 B.点P在线段BC上C.点P在线段AC上 D.点P在ABC外部答案解析123456789101112135.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若 则mn的值为A.1 B.2C.3 D.4O为BC的中点，答案解析12345678910111213取BC的中点D，连接PD，AD，则PDBC，答案解析A，P，D三点共线，ABAC，123456789101112137.(2015课标全国)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.答案解析 向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，123456789101112138.(2016滨州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足cxayb(x，yR)，则xy_.答案解析如图，取单位向量i，j，则ai2j，b2ij，c3i4j.cxaybx(i2j)y(2ij)(x2y)i(2xy)j，12345678910111213 若A，B，D三点共线，则实数p的值是_. 2apb(2ab)，a，b不共线，22，p，1，p1.1答案解析12345678910111213 如图所示，连接AM并延长交BC于点D，则D为BC的中点.答案解析31234567891011121311.如图，在ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，解答 1234567891011121312.设a，b是不共线的两个非零向量.证明12345678910111213解答即3a2b2akb，12345678910111213*13.如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，若 求实数m的值.解答12345678910111213