第四章：质点组动力学第四章：质点组动力学4.1 质点组质点组质点组：质点组：由多个无需考虑大小和形状，由多个无需考虑大小和形状，可作为质点看待的物体构成的相互作用可作为质点看待的物体构成的相互作用力学体系，称之为力学体系，称之为质点组质点组，或，或质点系质点系外力和内力外力和内力 设质点组包含设质点组包含 N 个质点，对于每一个质点，可个质点，对于每一个质点，可以根据质点力学的基本定律，列出其微分方程以根据质点力学的基本定律，列出其微分方程是质点组外部的物体对第是质点组外部的物体对第 i 个质点的个质点的作用力，称为作用力，称为外力外力是质点组内部的质点是质点组内部的质点 j 对第对第 i 个质点个质点的作用力，称为的作用力，称为内力。内力。任意两个质点间相互作用内力的大小相等、任意两个质点间相互作用内力的大小相等、方向相反，且总是沿着质点的连线方向方向相反，且总是沿着质点的连线方向 质点组内所有质点所受质点组内所有质点所受全部内力矢量和为全部内力矢量和为0试证明：试证明：对任意参考点对任意参考点o，质点系内所有，质点系内所有质点所受全部内力矩的矢量和为质点所受全部内力矩的矢量和为0 0证明证明: 不失一般性，设不失一般性，设 i,j i,j 之之间为引力，则有间为引力，则有质心质心质点的位置矢量是质点组中各质点的位质点的位置矢量是质点组中各质点的位置矢量以其质量为权重的平均矢量，可置矢量以其质量为权重的平均矢量，可以用它来代表质点组的整体位置以用它来代表质点组的整体位置质点相对于质心的位矢质点相对于质心的位矢质点系中各个质点相对于质心的相对位置质点系中各个质点相对于质心的相对位置矢量矢量 可以作为质点组内部位置参量可以作为质点组内部位置参量质点系中各质点相对于质心的质量一次矩质点系中各质点相对于质心的质量一次矩之和恒等于之和恒等于0质心的位矢由质点组的质量一次矩确定，质心的位矢由质点组的质量一次矩确定，与个支点的质量呈线性关系，可以利用叠与个支点的质量呈线性关系，可以利用叠加定理来计算，例如对于两体系统，质心加定理来计算，例如对于两体系统，质心位矢为位矢为连续物体的质心位矢连续物体的质心位矢其中其中 为连续物体的质量密度函数为连续物体的质量密度函数例题：例题：设圆锥体的地面半径为设圆锥体的地面半径为 r r ，高为，高为 h ，求圆锥体的质心位置。，求圆锥体的质心位置。一个重要的基本原理：一个重要的基本原理： 有了质心的概念以后，可以建立位有了质心的概念以后，可以建立位于质心的参考系，则对于质点组的任意于质心的参考系，则对于质点组的任意运动，或者相应的运动定理形式，均可运动，或者相应的运动定理形式，均可以进行分离考虑：以进行分离考虑：质点组相对于质心的质点组相对于质心的运动（定理）运动（定理） 和和 质点组作为整体在质质点组作为整体在质心相对于固定参考点的运动（定理）心相对于固定参考点的运动（定理）4.2 质点组动量、角动量和动能质点组动量、角动量和动能（一）动量（一）动量定义质点组的总动量是各质点动量之和定义质点组的总动量是各质点动量之和质点组的总动量恒等于质点组随质心做质点组的总动量恒等于质点组随质心做整体运动的动量整体运动的动量质点组总动量的另一等价表述质点组总动量的另一等价表述表明质点系的总动量等于位于表明质点系的总动量等于位于 , 质质点等于点等于 m，以速度，以速度 运动的假象质运动的假象质点的动量点的动量（二）角动量（二）角动量定义质点组对固定点的角动量（动量矩）定义质点组对固定点的角动量（动量矩）是质点组中各质点对同一固定点的角动是质点组中各质点对同一固定点的角动量（动量矩）之和量（动量矩）之和代入关系式代入关系式00上式表明：质点组随质心整体运动对定点上式表明：质点组随质心整体运动对定点的角动量，等于质点组的质量集中在质心的角动量，等于质点组的质量集中在质心位置时对定点的角动量位置时对定点的角动量是在质心系中各个质点对质心的角动量之是在质心系中各个质点对质心的角动量之和。和。（三）动能（三）动能定义质点组的总动能等于质点组内各质定义质点组的总动能等于质点组内各质点动能之和点动能之和代入关系式代入关系式为质点组随质心运动的动能，可看作质为质点组随质心运动的动能，可看作质点组的质量集中在质心上运动时的动能点组的质量集中在质心上运动时的动能为质点组中各质点相对于质心运动的动为质点组中各质点相对于质心运动的动能之和，即质点组在质心系中的动能能之和，即质点组在质心系中的动能柯尼希（柯尼希（Knig）定理）定理质点组的总动能可分解为：质点组随质质点组的总动能可分解为：质点组随质心运动的动能和质点组相对于质心运动心运动的动能和质点组相对于质心运动的动能两部分的动能两部分4.3 质点组运动的基本定理质点组运动的基本定理（一）动量定理和质心定理（一）动量定理和质心定理运动学微分程运动学微分程质点组的质点组的动量定理动量定理：质点组总动量的时：质点组总动量的时间变化率等于质点组受到的外力总和，间变化率等于质点组受到的外力总和，与内力无关与内力无关质点组的动量守恒定律质点组的动量守恒定律如果质点组不受外力作用或外力相互如果质点组不受外力作用或外力相互抵消时，质点组的总动量守恒，是一抵消时，质点组的总动量守恒，是一常矢量，质心速度恒定；在某一方向常矢量，质心速度恒定；在某一方向外力分量为零，则在该方向的动量分外力分量为零，则在该方向的动量分量守恒，质心在该方向具有恒定的速量守恒，质心在该方向具有恒定的速度分量度分量（二）角动量定理（二）角动量定理两边矢乘质点的位置矢量可得两边矢乘质点的位置矢量可得两边对所有质点进行求和两边对所有质点进行求和质点对之间的内力大小相等，方向相反，质点对之间的内力大小相等，方向相反，可得可得质点组的质点组的角动量定理（动量矩定理）：角动量定理（动量矩定理）：质点组总角动量的时间变化率等于作用质点组总角动量的时间变化率等于作用于质点组上的外力矩之和，与内力无关于质点组上的外力矩之和，与内力无关又因为又因为代入关系式代入关系式根据质心定理有根据质心定理有则可得：则可得：于是有于是有或者写为或者写为质点组相对于质质点组相对于质心的角动量！心的角动量！作用在各质点上的外力作用在各质点上的外力对质心的外力矩之和对质心的外力矩之和（即对质心的总外力矩）（即对质心的总外力矩）！质点组的质点组的相对于质心的角动量定理（动相对于质心的角动量定理（动量矩定理）：量矩定理）：质点组相对于质心的总动质点组相对于质心的总动量矩的时间变化率等于作用于质点组上量矩的时间变化率等于作用于质点组上的外力对质心的总力矩的外力对质心的总力矩角动量守恒定律角动量守恒定律若作用于质点组的外力对于固定点的力若作用于质点组的外力对于固定点的力矩为矩为0 0（或相互抵消），则对于同一固（或相互抵消），则对于同一固定点的质点组总角动量守恒；若在某一定点的质点组总角动量守恒；若在某一方向外力矩的分量为方向外力矩的分量为0 0，则在该方向的，则在该方向的总角动量分量守恒。（总角动量分量守恒。（同理也可得到对同理也可得到对于质心系中的角动量守恒定律于质心系中的角动量守恒定律）思考题：思考题：质量为质量为 m, , 长度为长度为 l 的匀质杆呗的匀质杆呗跑出后在竖直平面内运动，已知抛出时跑出后在竖直平面内运动，已知抛出时质点速度为质点速度为 ，角速度为，角速度为 ，忽略空，忽略空气阻力，试定性分析杆的运动。气阻力，试定性分析杆的运动。C C由质心运动定理可知，质由质心运动定理可知，质心心 C C 沿抛物线做抛体运沿抛物线做抛体运动，忽略空气阻力，所受动，忽略空气阻力，所受到的外力只有重力，其对到的外力只有重力，其对质心的力矩为零，可知杆质心的力矩为零，可知杆的角动量守恒，即运动过的角动量守恒，即运动过程中保持角速度不变！程中保持角速度不变！（三）动能定理（三）动能定理质点组的动能定理：质点组的动能定理：质点组总动能的增量等于所有作用在各质点组总动能的增量等于所有作用在各质点上的外力所做的总功，加上内力对质点上的外力所做的总功，加上内力对各质点所做的功各质点所做的功注意：质点组内各个质点的质量可能注意：质点组内各个质点的质量可能不一样，则在内力的作用下，其发生不一样，则在内力的作用下，其发生的位移不一样，则内力对质点组做功的位移不一样，则内力对质点组做功之和一般不为零（之和一般不为零（与动量定理和角动与动量定理和角动量定理不同量定理不同）内力是否做功取决于任意两质点间在内内力是否做功取决于任意两质点间在内力方向上是否有相对位移，只有在质点力方向上是否有相对位移，只有在质点组内各质点间的距离保持不变的特殊情组内各质点间的距离保持不变的特殊情况下，内力才不做功。况下，内力才不做功。质点组的机械能守恒定律：质点组的机械能守恒定律：当内力和外当内力和外力均为保守力的时候，质点组的总机械力均为保守力的时候，质点组的总机械能守恒能守恒