4.2.3 4.2.3 直线与圆的方程的应用直线与圆的方程的应用问题提出问题提出 通过直线与圆的方程，可以确定通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决方程，将其转化为代数问题来解决. .对此，我们必须掌握解决问题的基对此，我们必须掌握解决问题的基本思想和方法本思想和方法. .直直线与与圆知识探究：知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用直线与圆的方程在实际生活中的应用 问题问题: :一艘轮船在沿直线返回港口一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西台风中心位于轮船正西70 km70 km处，处， 受影响的范围是半径长为受影响的范围是半径长为30km30km的圆的圆形区域形区域. . 已知港口位于台风中心正已知港口位于台风中心正北北40 km40 km处，如果这艘轮船不改变航处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响线，那么它是否会受到台风的影响？轮船轮船港口港口台风台风思考思考1:1:解决这个问题的本质是什么？解决这个问题的本质是什么？思考思考2:2:你有什么办法判断轮船航线是你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？否经过台风圆域？轮轮船船港港口口台台风风xyo思考思考3:3:如图所示建立直角坐标系，如图所示建立直角坐标系，取取10km10km为长度单位，那么轮船航线为长度单位，那么轮船航线所在直线和台风圆域边界所在圆的所在直线和台风圆域边界所在圆的方程分别是什么？方程分别是什么？思考思考4:4:直线直线4x4x7y7y28280 0与圆与圆x x2 2y y2 29 9的位置关系如何？对问题的位置关系如何？对问题应应作怎样的回答？作怎样的回答？轮船轮船港口港口台风台风问题问题：如图是某圆拱形桥一孔圆拱如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图的示意图. . 这个圆的圆拱跨度这个圆的圆拱跨度AB=20mAB=20m，拱高，拱高OP=4mOP=4m，建造时每间隔，建造时每间隔4m4m需要需要用一根支柱支撑，求支柱用一根支柱支撑，求支柱A A2 2P P2 2的高度的高度（精确到（精确到0.01m0.01m）ABA1A2A3A4OPP2思考思考1:1:你能用几何法求支柱你能用几何法求支柱A A2 2P P2 2的高的高度吗？度吗？思考思考2:2:如图所示建立直角坐标系，那如图所示建立直角坐标系，那么求支柱么求支柱A A2 2P P2 2的高度，化归为求一个的高度，化归为求一个什么问题？什么问题？ABA1A2A3A4OPP2xy思考思考4:4:利用这个圆的方程可求得点利用这个圆的方程可求得点P P2 2的纵坐标是多少？问题的纵坐标是多少？问题的答案如何的答案如何？思考思考3:3:取取1m1m为长度单位，如何求圆拱为长度单位，如何求圆拱所在圆的方程？所在圆的方程？x x2 2+(y+10.5)+(y+10.5)2 2=14.52 =14.52 ABA1A2A3A4OPP2xy知识探究：知识探究：直线与圆的方程在平面几何中的应用直线与圆的方程在平面几何中的应用 问题问题: :已知内接于圆的四边形的对已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半的距离等于这条边所对边长的一半. .思考思考1:1:许多平面几何问题常利用许多平面几何问题常利用“坐坐标法标法”来解决，首先要做的工作是建来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？何选取坐标系？X Xy yo o思考思考2 2：如图所示建立直角坐标系，如图所示建立直角坐标系，设四边形的四个顶点分别为点设四边形的四个顶点分别为点 A A(a(a，0)0)，B(0B(0，b)b)，C(cC(c，0)0)， D D(0(0，d)d)，那么，那么BCBC边的长为多少？边的长为多少？ABCDMxyoN思考思考3:3:四边形四边形ABCDABCD的外接圆圆心的外接圆圆心M M的的坐标如何？坐标如何？思考思考4:4:如何计算圆心如何计算圆心M M到直线到直线ADAD的距的距离离|MN|MN|？ABCDMxyoN思考思考5:5:由上述计算可得由上述计算可得|BC|=2|MN|BC|=2|MN|，从从而命题成立而命题成立. .你能用平面几何知识证明你能用平面几何知识证明这个命题吗？这个命题吗？ABCDMNE E理论迁移理论迁移 例例1 1 如图，在如图，在RtAOBRtAOB中，中，|OA|=4|OA|=4，|OB|=3|OB|=3，AOB=90AOB=90，点，点P P是是AOBAOB内切圆上任意一点，求点内切圆上任意一点，求点P P到到顶点顶点A A、O O、B B的距离的平方和的最大的距离的平方和的最大值和最小值值和最小值. .OABPCX Xy yO1MO2PNo oy yx x 例例2 2 如图，圆如图，圆O O1 1和圆和圆O O2 2的半径都的半径都等于等于1 1，圆心距为，圆心距为4 4，过动点，过动点P P分别作分别作圆圆O O1 1和圆和圆O O2 2的切线，切点为的切线，切点为M M、N N，且，且使得使得|PM|= |PN|PM|= |PN|，试求点，试求点P P的运动的运动轨迹是什么曲线？轨迹是什么曲线？ 作作 业业P132 P132 习题习题4.24.2A A组组: :1 1，5 5，1111