高等数学（上）兰辉兰辉办公室：宁静楼办公室：宁静楼214214E-mail:E-mail: huilan99tongji.edu.cnhuilan99tongji.edu.cn答疑时间：周一至四答疑时间：周一至四 1212：10-1310-13：15 (15 (第二周开始第二周开始) )地点：致远楼地点：致远楼105105前言上册上册（一元函数一元函数）极限极限导数、微分导数、微分积分积分微分方程求解微分方程求解下册下册（多元函数多元函数）极限极限偏导数、全微分偏导数、全微分重积分重积分无穷级数无穷级数（空间解析几何）（空间解析几何）极限极限（高等数学的基本方法）（高等数学的基本方法）导数导数（特殊极限）（特殊极限）定积分定积分（特殊极限）（特殊极限）不定积分不定积分一元函数微积分结构互为逆运算互为逆运算计算方法计算方法第一章第一章 函数与极限函数与极限第一节第一节 映射与函数映射与函数 一一 集合集合二二 函数函数三三 函数的性质函数的性质(Mapping and Function)四四 函数的运算及初等函数函数的运算及初等函数微积分是一门以微积分是一门以变量变量为研究对为研究对象、以象、以极限极限方法作为研究工具的数方法作为研究工具的数学学科，应用极限方法研究各类学学科，应用极限方法研究各类变变变变化率问题化率问题化率问题化率问题和几何学中曲线的和几何学中曲线的切线问切线问切线问切线问题题题题，就产生了，就产生了微分学微分学微分学微分学；应用极限方；应用极限方法研究诸如法研究诸如曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积等涉及等涉及到微小量无穷积累的问题，就产生到微小量无穷积累的问题，就产生了了积分学积分学积分学积分学。英国数学家牛顿和德国。英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹同时发现了微积分，数学家莱布尼兹同时发现了微积分，微积分研究的主要对象就是函数。微积分研究的主要对象就是函数。设设是任意两个集合是任意两个集合, 任取任取组成组成 一个有序对一个有序对以这样的有序对的全体组成的以这样的有序对的全体组成的记为记为集合称为集合集合称为集合 与集合与集合 的直积的直积,且且如如即为即为面上全面上全体点的集合体点的集合,常记作常记作两集合间的两集合间的直积或笛卡尔直积或笛卡尔乘积乘积区间区间设设且且开区间开区间闭区间闭区间半开区间半开区间无限区间无限区间特别地特别地邻域邻域定义定义 设设 与与 是两个实数是两个实数, 且且数集数集称为点称为点 的的 邻域邻域. 记为记为其中其中,叫做该叫做该邻域的半邻域的半径径.点点 叫做该叫做该邻域的中心邻域的中心,记为记为即即点点 的去心的的去心的 邻域邻域,以以 为中心的任何开区间均是点为中心的任何开区间均是点 的邻域的邻域,记为记为).(aU函函 数数的定义的定义反函数反函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数函函 数数的性质的性质单值与多值单值与多值有界性有界性单调性单调性奇偶性奇偶性周期性周期性初等函数初等函数函数函数（Function)函数概念函数概念定义定义设设和和是两个变量是两个变量,是一个给定的数集是一个给定的数集.如果对于每个数如果对于每个数变量变量按照一定的法则总按照一定的法则总有确定的数值和它对应有确定的数值和它对应, 则称则称 是是 的函数的函数, 记作记作因变量因变量自变量自变量其中其中,数集数集称为函数的称为函数的定义域定义域, 记为记为即即对对按照对应法则按照对应法则总有确定的值总有确定的值与之对应与之对应, 称称为函数在点为函数在点 处处的的函数值函数值.因变量与自变量的这种依赖关系通常称因变量与自变量的这种依赖关系通常称为为函数关系函数关系.函数值函数值全体组成的集合称为函数全体组成的集合称为函数 的的值域值域,记为记为或或即即注注: 构成函数的要素为构成函数的要素为: 定义域定义域与与对应法则对应法则定义域的确定定义域的确定:对实际问题对实际问题, 根据问题的实际根据问题的实际意义确定意义确定;对抽象函数表达式对抽象函数表达式, 约定约定: 定义域是使算式有定义域是使算式有意义的一切实数组成的集合意义的一切实数组成的集合,这种定义域又称为这种定义域又称为函数的函数的自然定义域自然定义域.例如例如,函数的表示法函数的表示法: 表格法、图形法、公式法表格法、图形法、公式法(解析法解析法).函数的图形函数的图形: 坐标平面上的点集坐标平面上的点集称为函数称为函数的图形的图形.从函数的定义可见从函数的定义可见, 自变量在定义域内任取一个数自变量在定义域内任取一个数值值, 对应的函数值总是只有一个对应的函数值总是只有一个, 这种函数称为这种函数称为单单值函数值函数.单值函数与多值函数单值函数与多值函数多值函数多值函数:例如例如,圆的方程圆的方程在区间在区间上不能确定上不能确定是是的单值函数的单值函数.对多值函数对多值函数, 只要附加一些条件只要附加一些条件, 就可以化为单值就可以化为单值函数函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的这样得到的单值函数称为多值函数的单值分单值分支支.如对上例如对上例,在附加条件在附加条件或或后后,可可得到下面两个单值分支得到下面两个单值分支或或例例1 求函数求函数义域义域. .的定的定函数的表示法函数的表示法根据函数的解析表达式的形式不同根据函数的解析表达式的形式不同,函数常见函数常见以下三种以下三种:显函数显函数函数函数 由由 的解析表达式直接表示的解析表达式直接表示.例如例如隐函数隐函数关系由方程关系由方程来确定来确定.例如例如,函数的自变量函数的自变量 与因变量与因变量 的对应的对应在自变量的不同变化范围中在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的对应法则用不同的式子来表示的函数式子来表示的函数,称为称为分段函数分段函数. (1) 符号函数符号函数几个特殊的分段函数举例几个特殊的分段函数举例1-1xyo(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数狄利克雷函数(4) 取最值函数取最值函数yxoyxo函数的有界性函数的有界性设函数设函数的定义域为的定义域为数集数集若若使得使得恒有恒有成立成立, 则称则称函数函数在在 上有上有上界上界若若使得使得恒有恒有成立成立, 则称则称函数函数在在 上有上有下界下界M-Myxoy=f(x)X有界有界无界无界M-MyxoX函数的有界性函数的有界性有下界有下界.在在 上有界上有界在在 上既有上界又上既有上界又例如例如, 在在内内, 恒有恒有或或故函数故函数 有界有界, 且且 是它的上界是它的上界,是它的下界是它的下界.例例2证明证明函数函数在在上是有界的上是有界的; ;函数函数在在上是无界的上是无界的. .xyoxyo函数的单调性函数的单调性偶函数偶函数yxox-xyxox-x奇函数奇函数函数的奇偶性函数的奇偶性例例3判断函数判断函数的奇偶性的奇偶性.（通常说周期函数的周期是指其最小正（通常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.函数的周期性函数的周期性例例4设设当当 是有理数时是有理数时当当 是无理数时是无理数时(狄利克雷函数狄利克雷函数)求求并讨论其性质并讨论其性质. .例例5若若对其定义域上的一切对其定义域上的一切恒有恒有则称则称对称于对称于证明证明:则则是以是以为周期的周期函数为周期的周期函数. .对称于对称于及及若若幂函数、指数函数与对数函数幂函数、指数函数与对数函数 1. .幂函数幂函数(是常数是常数). .(1)情形情形; ;(2)情形情形; ;2. .指数函数指数函数( 是常数是常数, ,且且), ,其中以其中以为底数为底数3. . 对数函数对数函数( 是常数是常数, ,且且), ,的指数函数记为的指数函数记为其中以其中以 为底数的对数函数为底数的对数函数简记为简记为叫做自然对数函数叫做自然对数函数,4. 三角函数三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数其中自变量其中自变量以弧度作单位来表示以弧度作单位来表示. 此外此外, 尚有尚有正割函数正割函数余割函数余割函数DWDW直接函数与反函数直接函数与反函数求反函数：求反函数：直接函数直接函数反函数反函数互为反函数互为反函数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.5. 反三角函数反三角函数反正弦函数反正弦函数反余弦函数反余弦函数反正切函数反正切函数反余切函数反余切函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数反三角函数统称为基本初等函数复合函数复合函数引例引例 设设定义定义 设函数设函数的定义域为的定义域为而函数而函数的值域为的值域为若若则称函数则称函数为为 的的复合函数复合函数. .注注: :其中其中自变量自变量, ,中间变量中间变量, ,因变量因变量(1)函数函数与函数与函数 构成的复合函数构成的复合函数即即通常记为通常记为复合函数复合函数(2)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函不是任何两个函数都可以复合成一个复合函例如例如数的数的. .(3)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构复合函数可以由两个以上的函数经过复合构例如例如成的成的. .例例6设设求求例例7 将下列函数分解成基本初等函数的复合将下列函数分解成基本初等函数的复合: :例例8设设求求函数的运算函数的运算设函数设函数的定义域依次的定义域依次则我们可以定义这两个函数的下列运算则我们可以定义这两个函数的下列运算: :和和(差差)积积商商例例9 设函数设函数的定义域为的定义域为证明必存在证明必存在上的偶函数上的偶函数及奇函数及奇函数使得使得初等函数初等函数幂函数幂函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数三角函数三角函数反三角函数反三角函数以上五类函数统称为以上五类函数统称为基本初等函数基本初等函数. .由常数和基本初等函数由常数和基本初等函数有限次的函数复合步骤有限次的函数复合步骤经过有限次的四则运算经过有限次的四则运算和和所构成并可用一个式子表所构成并可用一个式子表示的函数示的函数, ,称为称为初等函数初等函数. .注意：注意：双曲函数双曲函数双曲正弦双曲正弦双曲余弦双曲余弦双曲正切双曲正切在工程与物理问题中很有用在工程与物理问题中很有用的的: :反双曲函数反双曲函数双曲函数双曲函数双曲函数常用公式双曲函数常用公式反双曲函数反双曲函数反双曲正弦反双曲正弦反双曲余弦反双曲余弦反双曲正切反双曲正切奇函数奇函数, , 在在内单调增加内单调增加. .在在内单调增加内单调增加. .奇函数奇函数, ,在在内单调增加内单调增加. .