一元一次方程模型的应用（四）一元一次方程模型的应用（四）行程问题行程问题1本节内容3.4在行程问题中，我们常常研究这样的三个量：在行程问题中，我们常常研究这样的三个量：分别是：分别是：_,_,_._,_,_.路程路程速度速度时间时间其中，路程其中，路程_速度速度时间时间 速度速度_路程路程时间时间 时间时间_路程路程速度在行程问题中，最常见的有相遇问题与追及问题。在行程问题中，最常见的有相遇问题与追及问题。甲的路程甲的路程乙的路程乙的路程同时出发（两条段段）同时出发（两条段段）不同时出发不同时出发 （三条线段（三条线段 ）慢车先行路程慢车先行路程快车路程快车路程慢车后行路程慢车后行路程相遇相遇相遇相遇 A、B两地相距两地相距60千米，甲、乙两人同时从千米，甲、乙两人同时从A、B两地骑自行车出发，相向而行两地骑自行车出发，相向而行.甲每小时比甲每小时比乙多行乙多行2千米，经过千米，经过2小时相遇小时相遇.问甲、乙两人的问甲、乙两人的速度分别是多少？速度分别是多少？举举例例 甲、乙两人从相距为甲、乙两人从相距为195千米的千米的A、B两地出两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向行驶，已知甲的速度为每小时相向行驶，已知甲的速度为每小时15千米，乙千米，乙的速度为每小时的速度为每小时45千米。如果甲先行千米。如果甲先行1时后乙才时后乙才出发，问甲再行多少时间相遇？出发，问甲再行多少时间相遇？分析：分析：AB195千米千米1时时甲行驶的路程甲行驶的路程乙行驶的路程乙行驶的路程？行程问题中常用的分析方行程问题中常用的分析方法是法是画线段图画线段图分析法分析法举举例例 甲、乙两人分别从甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，甲两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经驶。出发后经3时两人相遇。已知在相遇时乙比甲时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了多行了90千米，相遇后经千米，相遇后经1时乙到达地。问甲、时乙到达地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？乙行驶的速度分别是多少？相遇时甲行使的路程相遇时甲行使的路程+90=相遇时乙行使的路程相遇时乙行使的路程AB甲甲乙乙3小时小时3小时小时1小时小时 甲、乙两人分别从甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，甲两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经驶。出发后经3时两人相遇。已知在相遇时乙比甲时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了多行了90千米，相遇后经千米，相遇后经1时乙到达地。问甲、时乙到达地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？乙行驶的速度分别是多少？相遇时甲行使的路程相遇时甲行使的路程+90=相遇时乙行使的路程相遇时乙行使的路程AB甲甲乙乙3小时小时3小时小时1小时小时 甲、乙两人分别从甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，甲两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。出发后经驶。出发后经3时两人相遇。已知在相遇时乙比甲时两人相遇。已知在相遇时乙比甲多行了多行了90千米，相遇后经千米，相遇后经1时乙到达地。问甲、时乙到达地。问甲、乙行驶的速度分别是多少？乙行驶的速度分别是多少？相遇时甲行使的路程相遇时甲行使的路程+90=相遇时乙行使的路程相遇时乙行使的路程AB甲甲乙乙3小时小时3小时小时1小时小时追及问题的等量关系：追及问题的等量关系：同时不同地出发：同时不同地出发：被追者的路程被追者的路程+ +两者互相间隔的路程两者互相间隔的路程= =追赶者的路程追赶者的路程同地不同时出发：同地不同时出发：被追者走的路程被追者走的路程= =追赶者走的路程追赶者走的路程甲甲追上追上乙乙追赶者走的路程追赶者走的路程追上追上被追者先走的路程被追者先走的路程被追者后走的路程被追者后走的路程被追者的路程被追者的路程追赶者的路程追赶者的路程间隔的路程间隔的路程 两匹马赛跑，黄色马的速度是两匹马赛跑，黄色马的速度是6m/s6m/s，棕，棕色马的速度是色马的速度是7m/s7m/s，如果让黄马先跑，如果让黄马先跑5m5m，棕，棕色马再开始跑，几秒后可以追上黄色马？色马再开始跑，几秒后可以追上黄色马？5米米相隔距离相隔距离黄色马路程黄色马路程棕色马路程棕色马路程追追 击击黄马黄马棕马棕马举举例例4.一队学生去校外进行军事野营训练。他们以一队学生去校外进行军事野营训练。他们以5千米千米小时的速度行进，走了小时的速度行进，走了18分钟的时候，学校要将一分钟的时候，学校要将一个紧急通知传给队长。通讯员从学校出发，骑自行车个紧急通知传给队长。通讯员从学校出发，骑自行车以以14千米小时的速度按原路追上去。通讯员用多少千米小时的速度按原路追上去。通讯员用多少时间可以追上学生队伍？时间可以追上学生队伍？解解;设通讯员用设通讯员用x小时可以追上学生队伍小时可以追上学生队伍，根据题意，得根据题意，得60185+5x=14x解这个方程，得解这个方程，得 x=16检验：检验：x=16适合方程，且符合题意。适合方程，且符合题意。答：通讯员用答：通讯员用16小时可以追上学生队伍？小时可以追上学生队伍？练习：练习：A、B两地相距两地相距120千米，甲骑自行车，乙骑千米，甲骑自行车，乙骑摩托车都从摩托车都从A地出发，同向而行，甲比乙早出发地出发，同向而行，甲比乙早出发2小时，甲每小时行小时，甲每小时行15千米，乙每小时行千米，乙每小时行60千米千米.(1)甲出发后多少小时，乙追上甲？甲出发后多少小时，乙追上甲？(2)乙到达乙到达B地后立即返回，途中在何处遇上甲？地后立即返回，途中在何处遇上甲？解：解：(1)设甲出发后设甲出发后x小时，乙追上甲小时，乙追上甲,15x=60(x-2)X=83若设乙出发后若设乙出发后x小时，乙追上甲小时，乙追上甲,又怎样做？又怎样做？（2）设甲出发）设甲出发y小时，乙在返回途中遇上甲小时，乙在返回途中遇上甲60（y-2）+15y=2120Y=24515y=15245=72千米千米设乙出发设乙出发y小时，在返回途中遇上甲，又怎样做？小时，在返回途中遇上甲，又怎样做？我们知道，我们知道， 由于小斌的速度较慢，因此他花的时间比小由于小斌的速度较慢，因此他花的时间比小强花的时间多强花的时间多. .本问题中涉及的等量关系有：本问题中涉及的等量关系有： 因此，设他俩的家到雷锋纪念馆的路程均为因此，设他俩的家到雷锋纪念馆的路程均为s km，解得解得 s = . 因此，小斌和小强的家到雷锋纪念馆的路程为因此，小斌和小强的家到雷锋纪念馆的路程为 km根据等量关系，得根据等量关系，得1515例例3 小明与小红的家相距小明与小红的家相距20km，小明从家里出发骑小明从家里出发骑 自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里自行车去小红家，两人商定小红到时候从家里 出发骑自行车去接小明出发骑自行车去接小明. 已知小明骑车的速度为已知小明骑车的速度为 13 km/h，小红骑车的速度是小红骑车的速度是12 km/h. （1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时如果两人同时出发，那么他们经过多少小时 相遇相遇？ （2）如果小明先走如果小明先走30min，那么小红骑车要走多，那么小红骑车要走多 少小时才能与小明相遇少小时才能与小明相遇？举举例例分析分析 由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时，由于小明与小红都从家里出发，相向而行，所以相遇时， 他们走的路程的和等于两家之间的距离他们走的路程的和等于两家之间的距离. .不管两人是同时不管两人是同时 出发，还是有一人先走，都有出发，还是有一人先走，都有 小明走的路程小明走的路程+小红走的路程小红走的路程=两家之间的距离两家之间的距离( (20km) ).（1）如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇如果两人同时出发，那么他们经过多少小时相遇？解解（1）设小明与小红骑车走了）设小明与小红骑车走了x h后相遇，后相遇， 则根据等量关系，得则根据等量关系，得 13x + 12x = 20 . 解得解得 x = 0.8 . 答：经过答：经过0.8 h他们两人相遇他们两人相遇.小明走的路程小明走的路程小红走的路程小红走的路程（2）如果小明先走如果小明先走30min，那么小红骑车要走多少，那么小红骑车要走多少 小时才能与小明相遇小时才能与小明相遇？解解（2）设小红骑车走了设小红骑车走了t h后与小明相遇，后与小明相遇， 则根据等量关系，得则根据等量关系，得 13( (0.5 + t ) )+12t = 20 . 解得解得 t = 0.54 . 答：小红骑车走答：小红骑车走0.54h后与小明相遇后与小明相遇.小明先走的路程小明先走的路程 小红出发后小明走的路程小红出发后小明走的路程 小红走的路程小红走的路程 星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里同时出发去参观雷锋纪念馆同时出发去参观雷锋纪念馆. . 已知他俩的家到雷锋已知他俩的家到雷锋纪念馆的路程相等，小斌每小时骑纪念馆的路程相等，小斌每小时骑10km，他在上午，他在上午10时到达；小强每小时骑时到达；小强每小时骑15km，他在上午，他在上午9时时30分分到达到达. .求他们的家到雷锋纪念馆的路程求他们的家到雷锋纪念馆的路程. .动脑筋动脑筋练习练习1. 甲、乙两车分别从甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而两地同时出发，相向而 行已知行已知A，B两地的距离为两地的距离为480km，且甲车以，且甲车以 65km/ h的速度行驶若两车的速度行驶若两车4h后相遇，则乙车后相遇，则乙车 的行驶速度是多少的行驶速度是多少？答：乙车的行驶速度是答：乙车的行驶速度是55km/h.2. 一队学生步行去郊外春游，每小时走一队学生步行去郊外春游，每小时走4km，学生，学生甲因故推迟出发甲因故推迟出发30min，为了赶上队伍，甲以，为了赶上队伍，甲以6km/ /h的速度追赶，问甲用多少时间就可追上队的速度追赶，问甲用多少时间就可追上队伍？伍？答：该生用了答：该生用了1小时追上了队伍小时追上了队伍. 为鼓励居民节约用水，某市出台了新的家庭用水为鼓励居民节约用水，某市出台了新的家庭用水收费标准，规定：所交水费分为标准内水费与超标部收费标准，规定：所交水费分为标准内水费与超标部分水费两部分，其中标准内水费为分水费两部分，其中标准内水费为1.96 元元/ t，超标部，超标部分水费为分水费为2.94元元/ /t. 某家庭某家庭6月份用水月份用水12t，需交水费，需交水费27.44元元求该市规定的家庭月标准用水量求该市规定的家庭月标准用水量.动脑筋动脑筋 本问题首先要分析所交水费本问题首先要分析所交水费27.44元中是否含有元中是否含有超标部分，超标部分，由于由于1.9612 = 23.52（元元），小于，小于27.44元，元，因此所交水费中含有超标部分的水费，因此所交水费中含有超标部分的水费，即月标准内水费即月标准内水费+ +超标部分的水费超标部分的水费=该月所交水费该月所交水费.设家庭月标准用水量为设家庭月标准用水量为x t，根据等量关系，得根据等量关系，得 1.96x +( (12- -x) )2.94 = 27.44.解得解得x = 8 因此，该市家庭月标准用水量为因此，该市家庭月标准用水量为8 t例例4 现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧， 要求路的两端各栽要求路的两端各栽1棵，并且每棵，并且每2棵树的间隔相棵树的间隔相 等等. 方案一方案一：如果每隔如果每隔5m栽栽1棵棵，则树苗缺则树苗缺21棵棵； 方案二：如果每隔方案二：如果每隔5.5m栽栽1棵，则树苗正好完棵，则树苗正好完. . 根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路 的长度的长度. .举举例例（）相邻两树的间隔长与应植树的棵数有什么关系相邻两树的间隔长与应植树的棵数有什么关系？（）相邻两树的间隔长、应植树棵数与路长有怎样的相邻两树的间隔长、应植树棵数与路长有怎样的 数量关系数量关系？分析分析 观察下面植树示意图，想一想：观察下面植树示意图，想一想：设原有树苗设原有树苗x 棵，由题意可得下表：棵，由题意可得下表：方案方案间隔长间隔长应植树数应植树数路长路长一一5x+215( (x+21- -1) )二二5.5x5.5( (x- -1) )本题中涉及的等量关系有：本题中涉及的等量关系有： 方案一的路长方案一的路长=方案二的路长方案二的路长解解 设原有树苗设原有树苗x棵，根据等量关系，棵，根据等量关系， 得得 5( (x+21- -1) )= 5.5( (x- -1) ) ， 即即 5( (x+20) ) = 5.5( (x- -1) ) 化简，化简， 得得 - -0.5x = - -105.5 解得解得 x = 211 因此，这段路长为因此，这段路长为 5( (211+20) )=1155 ( (m）. 答：原有树苗答：原有树苗211棵，这段路的长度为棵，这段路的长度为1155m练习练习1. 为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果为鼓励节约用电，某地用电收费标准规定：如果 每户每月用电不超过每户每月用电不超过150 kWh，那么，那么1kWh电按电按 0.5元缴纳；元缴纳； 超过部分则按超过部分则按1 kWh电电0.8元缴纳元缴纳. 如果小张家某月缴纳的电费为如果小张家某月缴纳的电费为147.8元，那么小张元，那么小张 家该月用电多少家该月用电多少？答：小张家该月用电约答：小张家该月用电约241kwh.2. 某道路一侧原有路灯某道路一侧原有路灯106盏（两端都有），相邻两盏（两端都有），相邻两 盏灯的距离为盏灯的距离为36m，现计划全部更换为新型的节能现计划全部更换为新型的节能 灯，且相邻两盏灯的距离变为灯，且相邻两盏灯的距离变为70m，则需安装新型则需安装新型 节能灯多少盏节能灯多少盏？答：需安装新型节能灯答：需安装新型节能灯55盏盏.1. 什么样的方程是一元一次方程什么样的方程是一元一次方程?2. 等式有哪些性质等式有哪些性质？3. 解一元一次方程的基本步骤有哪些解一元一次方程的基本步骤有哪些？4. 应用一元一次方程模型解决实际问题的步骤应用一元一次方程模型解决实际问题的步骤 有哪些有哪些？小结与复习小结与复习本章知识结构本章知识结构建立一元一次方程模型一元一次方程的解法一元一次方程模型的应用实际问题检验检验等式的性质等式的性质1. 在运用等式的性质时，等式两边不能同除以在运用等式的性质时，等式两边不能同除以0.注意注意2. 求解一元一次方程时应根据方程的特点，选用适求解一元一次方程时应根据方程的特点，选用适 当的方法当的方法.3. 移项时要变号移项时要变号.4. 列方程解实际问题时，一般设要求的量为未知列方程解实际问题时，一般设要求的量为未知 数数，有时也可采用间接设未知数的方法有时也可采用间接设未知数的方法.中考中考 试题试题例例1 某书城开展学生优惠售书活动，凡一次性购书不超过某书城开展学生优惠售书活动，凡一次性购书不超过200元的元的一律一律9折优惠，超过折优惠，超过200元的，其中元的，其中200元按元按9折算，超过折算，超过200元的部元的部分按分按8折算折算.某学生第一次去购书付款某学生第一次去购书付款72元，第二次购书享受了元，第二次购书享受了8折折优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了优惠，他查看了所买书的定价，发现两次共节省了34元钱元钱.则该学则该学生第二次购书实际付款生第二次购书实际付款 元元.204分析分析 该学生第一次购书款该学生第一次购书款72元是享受了元是享受了9折，因而可求出第一次他享受折，因而可求出第一次他享受的优惠款，从而可求出他第二次享受的优惠款的优惠款，从而可求出他第二次享受的优惠款.设出他二次购书（没享设出他二次购书（没享受打折）的款数可列出方程，解方程并计算可得答案受打折）的款数可列出方程，解方程并计算可得答案.解解 第一次节省的钱数为第一次节省的钱数为72720.9-72=80.9-72=8（元），（元）， 第二次节省的钱数为第二次节省的钱数为34-8=2634-8=26（元）（元）. . 设他第二次购书付了设他第二次购书付了x元（假设他不享受打折），元（假设他不享受打折），则由题意，得则由题意，得 x - - 2002009090% %+(+(x -200)-200)8080%= 26,= 26,解得解得 x =230.=230. 他第二次购书实际付款他第二次购书实际付款 200 2000.9+(230-200)0.9+(230-200)0.8=2040.8=204（元）（元）中考中考 试题试题例例2 足球比赛的记分规则为胜一场得足球比赛的记分规则为胜一场得3分，平一场得分，平一场得1分，输一场得分，输一场得0分分 .一支足球队在某个赛季中共需比赛一支足球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛了场，现已比赛了8场，输场，输了了1场共得场共得17分分.请问：请问：（1）前）前8比赛中，这支球队共胜了多少场？比赛中，这支球队共胜了多少场？（2）这支球队打满了）这支球队打满了14场比赛，最高能得多少分？场比赛，最高能得多少分？（3）通过对比赛情况的分析，这支球队打满）通过对比赛情况的分析，这支球队打满14场比赛得分不低于场比赛得分不低于 29分，就可以达到预期的目标分，就可以达到预期的目标.请你分析一下，在后面的请你分析一下，在后面的6场场 比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标？分析分析 等量关系是：等量关系是：8场中胜的得分场中胜的得分+平的得分平的得分=17分分.解解（1 1） 设这个球队胜设这个球队胜x场，则平了（场，则平了（8-1-8-1-x) )场场. . 根据题意，得根据题意，得3 3x+(8-1-+(8-1-x)=17.)=17. 解之，得解之，得 x=5.=5. 即前即前8 8场比赛中，这个球队共胜了场比赛中，这个球队共胜了5 5场场. .（2 2）打满）打满1414场比赛最高能得场比赛最高能得 17+(14-8) 17+(14-8)3=353=35（分）（分）（3 3） 由题意知，以后的由题意知，以后的6 6场比赛中，只要得分不低于场比赛中，只要得分不低于1212分即可分即可. . 胜不少于胜不少于4 4场，一定达到预期目标，而胜场，一定达到预期目标，而胜3 3场、平场、平3 3场，正好场，正好 达到预期目标达到预期目标. . 在以后的比赛中，这个球队至少要胜在以后的比赛中，这个球队至少要胜3 3场场. .中考中考 试题试题例例3 某商店为了促销某商店为了促销G牌空调机，牌空调机，2000年元旦那天购买该机可分两年元旦那天购买该机可分两期付款，在购买时先付一笔款，余下部分及它的利息（年利率期付款，在购买时先付一笔款，余下部分及它的利息（年利率5.6%）在）在2001年元旦付清，该空调机售价每台年元旦付清，该空调机售价每台8224元，若两次付元，若两次付款相同，问：每次应付款多少元？款相同，问：每次应付款多少元？分析分析 应由应由“两次付款相同两次付款相同”构造方程构造方程.解解 设每次付款设每次付款x 元元. .依题意，得依题意，得 ( (8224 - -x) )( (1+ 5.6%)%)= x 8224- -x = x x = 8224 x = 8224 x = 4 1056 x = 4224. 故，每次应付款故，每次应付款 4224 元元.结结 束束