第一章第一章统计推断准备统计推断准备0.预备知识0.1大数定律与中心极限定理阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统称大数定律，而研究独立随机变量的和的极限分布在什么条件下为正态分布的一类定理叫中心极限定理。0.1.1车贝雪夫不等式车贝雪夫不等式设随机变量有期望和方差，则对任意，有0.1.2大数定律大数定律定义：若 随机变量序列，如果存在常数列 使得对任意的 有成立，则称随机变量序列服从大数定律.定理定理1（贝努里大数定律）（贝努里大数定律）设是n重贝努里试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p（0p0，使有则对任意的，有例1.：设为独立同分布的随机变量序列，均服从参数为的泊松分布则定理定理3（辛钦大数定律）（辛钦大数定律）设是一列独立同分布的随机变量，且数学期望存在，则对任意的有0.1.3.中心极限定理定理定理1（林德贝格（林德贝格-勒维定理）勒维定理）若 是独立同分布的随机变量序列，且 则随机变量 ，其中 的分布函数 对一切x，有：即随机变量 渐近地服从标准正态分布。定定理理2 2（德德莫莫佛佛- -拉拉普普拉拉斯斯定定理理）设是n重贝努里试验中事件A出现的次数，而0p1是事件A在每次试验中出现的概率，则渐近的服从正态分布，其中q=1-p或例2：有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3米的概率是多少？例3：某车间有200台车床，独立工作，开工率为0.6，开工时耗电各为1000瓦，问供电部门至少要供给这个车间多少电力才能使99.9%的概率保证这个车间不会因为供电不足而影响生产。例 4： 一 加 法 器 ， 同 时 收 到 20个 噪 声 电 压 设他们是相互独立的，且在区间（0，10）上服从均匀分布的随机变量，记，求1基本概念1.1总体与样本总体：研究对象的全体，记为X或，是指一个随机变量。个体：组成总体的每个单元。样本：就是n个相互独立且与总体有相同概率分布的随机变量，i=1，2，n，所组成的n维随机变量样本值：每一次具体的抽样所得的数据就是n个随机变量的值（样本值）用小写字母表示。注注：样本具有双重性，即它本身是随机变量，但一经抽取便是一组确定的具体值。定义：若随机变量相互独立且每个，i=1，2，n，与总体有相同的概率分布，则称随机变量为来自总体的容量为n的简单随机样本，称，i=1，2，n为样本的第i个分量。若 有分布密度 （或分布函数 ）则 称是来自总体（或）的样本.1.2统计量定义：设为总体的一个样本，为一个实值函数，如果T中不包含任何未知参数，则称为一个统计量。统计量的分布称为抽样分布。例如：总体，a已知，未知，为的一个样本，则是统计量，但不是统计量。1.3顺序统计量及经验分布1.3.1顺序统计量设为总体，的一个样本，将其诸分量，i=1，2，n，按由小到大的次序重新排列为 ，即 ，称为总体的第k个顺序统计量（次序统计量），特别称为最小项统计量，为最大项统计量。例1.5：设有一个总体，它以等概率取0，1，2三个值，现从此总体中取容量为2的一个样本 ，列出样本所有可能取值情况和相应的次序统计量的情况。1.3.2经验分布由给定的样本定义一个函数，此函数的性质：（1）当样本固定时，作为x的函数是一个阶梯形的分布函数，恰为样本分量不大于x的频率。（2）当x固定时，它是一个统计量，其分布由总体的分布所确定。即 （二项分布）称为总体对应于样本的经验分布函数。1.4常用的一些统计量1.4.1样本的分位数设为总体，为样本，为顺序统计量，定义称为样本的分位数。当=1/2时，称为样本的中位数。（也用表示）例1.6：若（1.5，2.0，4.0，0，8，3.5，9），则？1.4.2.样本的极差称为样本的极差1.4.3样本分量的秩若，则称的秩为j，记作，它表示样本第个分量，处于顺序统计量中的位次。1.4.4.样本矩设为总体取出的容量为n的样本，统计量叫样本均值；统计量叫样本方差（而称叫修正的样本方差）；统计量，（r=1，2，）叫样本的r阶原点矩；统计量，（r=1，2，）叫作样本的r阶中心矩。1.4.5二元总体的样本矩设为二元随机变量，为其样本，称为的边际样本方差；为的边际样本方差；为样本的协方差；为样本的相关系数。2.常用统计量的抽样分布2.1顺序统计量的分布（次序统计量）2.1.1定义设（）是来自总体的一个样本，（）是该样本的一组观察值，将它按由小到大的次序排列成，如果规定的取值为，k=1，2，n，则称为（）的一组次序统计量，而称为第k个次序统计量。（见1.3.1）2.1.2连续型总体次序统计量的分布（仅给出结论）定定理理2.1设总体，为的一个样本，则第k个次序统计量的概率密度函数为：分布函数为：特别：当k=1时，得样本极小值的分布密度与分布函数为：当k=n时，得样本极大值的分布密度与分布函数为：定理定理2.2设总体X的分布函数为，概率密度函数为，为X的一个样本，则第k个次序统计量与第r个次序统计量的联合概率密度函数为（k45时，本书附表中查不到，但可以利用注3求其近似值，即由于,则：例如：求，所以3.2.2t-分布定义：称随机变量有t-分布，自由度为n，如果它有密度函数定理定理3.4设X，Y，且X与Y相互独立，则T=.定义：的上侧分位数，即注：注：当自由度时，的极限分布为标准正态分布当n45时，3.2.3F-分布定义：称随机变量有F-分布，自由度为，如果它有密度定理定理3.5设X，Y且X与Y相互独立，则注：注：若X，则1/X定义：的上侧分位数，即，注：注：=1/3.2.4查表1. 标准正态分布表：2. 分布表：3. 分布表：4. 分布表：3.3抽样分布定理定理定理4.6（Fisher定理）定理）设总体服从，为其子样，子样的平均值与方差，修正的样本方差分别记为与及，则（1），（2）（3）与（或）独立推论：推论：设总体服从，为其子样，则定理定理3.7设与分别为取自，的两个样本，且这两个样本独立，则1.2.若，则其中，定定理理3.8（柯柯赫赫伦伦cochran定定理理）（变变量量分分解解定定理理）设总体，为其子样，且为秩为的关于的二次型，则，l=1，k相互独立，且，l=1，2，k例3.1：设总体 ， 为其子样，试证： 与相互独立,且分别服从，4.总体分布的近似描述总体分布的近似描述4.1格列汶科定理格列汶科定理 对任意实数x，当 时， 格里汶科定理表明：在几乎处处的意义下，当n 充分大时，对x一致地有 F（x）非常接近。由此可见当n较大时，用经验分布函数估计总体分布函数是合理有效的。4.2直方图对于连续型随机变量，其分布函数或密度函数能完整地描述它的取值规律性，给出分布函数或密度函数是等价的。直方图能反映总体密度曲线的大致形状。设X的分布函数和密度函数分别用F(X),f(x)表示：当很小时，有表明：密度函数在x处的值f(x)近似等于随机变量X落入含有x的小区间的概率除以小区间的长度。概率可以用频率近似。设来自X的样本观测值为，考察其中每个值是否属于看作一次试验，则即f(x)与单位长度的频率近似相等，称单位长度的频率为频率密度。编制频数分布表的一般步骤：1.计算极差：2.计算组距：组距=组上限-组下限3.确定组限：选a（略小于或等于，例4.1某厂生产一种25瓦的白炽灯泡，其光通量（单位：流明）用X表示，从这批灯泡中抽取容量为60的样本，进行观察得光通量数据如下：216203197208206209206208202221206213218207203202194203202193203213211198213208204206204206208209213203206207196201208207213208210208211214220211203216224211209218214219211221211218试编制频数分布表，并绘制频率密度直方图。解.1.极差：R=224-193=312.计算组距：d=31/7=4.433.确定组范围：190，195),195，200),200，205),205，210),210，215),215，220),220，225.按光通量分组频数分布表按光通量分组频数频率密度(%)190,195)20.67195，200)31200，205)124205，210)196.3210，215)144.7215，220)62220，22541.3合计60频率密度直方图(P.18)图1.6频率密度分布曲线图(P.19)图1.75.杂例例5.1：在总体中随机抽一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率。例5.2：在总体中取容量为5的样本，（1）求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率（2）求（3）求例5.3：求总体的容量分别为10，15的两个独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率。例5.4：设为的一个样本，求例5.5：设是来自的样本，求例5.6：已知，则例5.7：设为总体X的一个样本，求，例5.8：设在总体中抽取一容量为n的样本，未知，（1）求，；（2）当n=16时，求例5.9：设为总体X的一个样本，为第n+1次的观察结果，试证：（1）例5.10：设是来自正态总体X的简单随机样本，则例5.11：设是取自正态总体X的一个样本，求例5.12.：设X服从，为来自总体X的简单随机样本，试求常数C，使CY 分布例5.13：设总体X在（）（ ）上服从均匀分布，为其子样，求及极差的数学期望。例5.14：设总体 服从和分别为样本均值和样本方差，又设且与独立。求统计量的抽样分布。