3.1.1 3.1.1 直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率教学目的教学目的 vv课标要求：使学生掌握倾斜角和斜率的概念，课标要求：使学生掌握倾斜角和斜率的概念，理解倾斜角和斜率之间的关系，掌握经过两理解倾斜角和斜率之间的关系，掌握经过两点的直线的斜率公式，并会应用公式解题。点的直线的斜率公式，并会应用公式解题。 vv教学重点：倾斜角和斜率的的意义，斜率的教学重点：倾斜角和斜率的的意义，斜率的公式及其应用。公式及其应用。 vv教学难点：斜率意义的理解。教学难点：斜率意义的理解。 在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？表示呢？问题引入问题引入 为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来法把这些几何要素表示出来 我们知道，两点确定一条直线一点能确定我们知道，两点确定一条直线一点能确定一条直线的位置吗？已知直线一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点经过点P，直线，直线 l 的位置能够确定吗？的位置能够确定吗？问题引入问题引入xyOlllP 过一点过一点P可以作无数条直线可以作无数条直线l 1， l 2 ， l 3 ，它们都经过点它们都经过点P （组成一个直线束），这些直线（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？区别在哪里呢？问题引入问题引入xyOlllP 容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述直线的倾斜程度呢？直线的倾斜程度呢？问题引入问题引入xyOlllP 当直线当直线 l 与与x轴相交时，我们取轴相交时，我们取x轴作为基准，轴作为基准，x轴正向与直线轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角向上方向之间所成的角 叫做叫做直直线线 l 的倾斜角的倾斜角（angle of inclination） xyOl 当直线当直线l与与x轴平行或重合时，轴平行或重合时，规定它的倾斜角为规定它的倾斜角为 .直线的倾斜角直线的倾斜角 的取值范围为：的取值范围为：一一. 直线的倾斜角直线的倾斜角下列各图中标出的角下列各图中标出的角是直线的倾斜是直线的倾斜角吗？角吗？ x xo oy yx xo oy yx xo oy yx xo oy y零度角 锐角 直角 钝角 按倾斜角去分类，直线可分几类？ 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？ 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，度相同的直线其倾斜角相同度相同的直线其倾斜角相同 倾斜程倾斜程xyOl 已知直线上的一个点不能已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；同样已确定一条直线的位置；同样已知直线的倾斜角知直线的倾斜角也不能确定也不能确定一条直线的位置一条直线的位置 但是，但是，直线上的一个直线上的一个点点和和这条直线的这条直线的倾斜角倾斜角可以唯一确可以唯一确定一条直线定一条直线思考思考 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：何要素是： 直线上的一个直线上的一个定点定点以及它的以及它的倾斜角倾斜角， 二者二者缺一不可缺一不可确定直线的要素确定直线的要素xyOlP日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？前进量前进量升升高高量量问题引入问题引入3m3m3m3m坡度越大，楼梯越陡坡度越大，楼梯越陡通常用小写字母通常用小写字母k表示，即表示，即 一条直线的倾斜角的正切值叫做这一条直线的倾斜角的正切值叫做这条条直线的斜率直线的斜率（slope）. 倾斜角是倾斜角是 的直线有斜率吗？的直线有斜率吗？ 倾斜角是倾斜角是 的直线的斜率不存在的直线的斜率不存在二二. 直线的斜率直线的斜率如果使用如果使用“倾斜角倾斜角”这个概念，那么这里的这个概念，那么这里的“坡坡度（比）度（比）”实际就是实际就是“倾斜角倾斜角的正切的正切” 如：倾斜角如：倾斜角 时，直线的斜率时，直线的斜率 如：倾斜角为如：倾斜角为 时，由时，由即这条直线的斜率为即这条直线的斜率为直线的斜率直线的斜率倾斜角倾斜角不是不是90的直线都有斜率，并且倾斜的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜率角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度表示直线的倾斜程度斜率相等的直线其倾斜角相等吗？斜率相等的直线其倾斜角相等吗？斜率大的直线其倾斜角也大吗？斜率大的直线其倾斜角也大吗？ 倾斜角为锐角、钝角的直线的斜率的倾斜角为锐角、钝角的直线的斜率的取值范围分别是什么？一般地，直线取值范围分别是什么？一般地，直线的斜率的取值范围是什么？的斜率的取值范围是什么？倾斜角为锐角时倾斜角为锐角时,k,k 0;0;倾斜角为钝角时倾斜角为钝角时,k,k 0;0;倾斜角为倾斜角为0 00 0时时,k=0,k=0；倾斜角为直角时，斜率不存在。倾斜角为直角时，斜率不存在。下列哪些说法是正确的下列哪些说法是正确的（ ）A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大、直线的倾斜角越大，斜率也越大C 、平行于、平行于x轴的直线的倾斜角是轴的直线的倾斜角是0或或D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等F 、直线斜率的范围是、直线斜率的范围是RG、过原点的直线，斜率越大，越靠近、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。轴。E、F如图，如图，为锐角为锐角思考思考 已知一条直线上的两点坐标，如何计算斜率？已知一条直线上的两点坐标，如何计算斜率？结论：结论：当时，斜率当时，斜率k k0.若若为钝角，为钝角， 结论：结论：当当 时，时，k k. .同样，当同样，当 的方向向上时，也有的方向向上时，也有 成立成立. .说明：说明：此公式与两点坐标的顺序无关此公式与两点坐标的顺序无关思考思考 当直线当直线 平行于平行于 轴，或与轴，或与 轴重合时，轴重合时， 还适用吗？为什么？还适用吗？为什么？O适用适用思考思考 当直线平行于当直线平行于 轴，或与轴，或与 轴重合时，公式还适用轴重合时，公式还适用吗？吗？不适用，因为分母为不适用，因为分母为0.0.斜率不斜率不存在存在.O三、斜率公式三、斜率公式公式特点：公式特点：(1) (1) 与两点的顺序无关与两点的顺序无关; ;(2) (2) 公式表明公式表明, ,直线的斜率可以通过直线上任意两点直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示的坐标来表示, ,而不需要求出直线的倾斜角；而不需要求出直线的倾斜角；(3) (3) 当当x x1 1=x=x2 2时时, ,公式不适用公式不适用, ,此时此时=90=900 0. .经过两点经过两点 的直线的斜率公式的直线的斜率公式 例例1 如图如图 ，已知，已知 ，求直线求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角角是锐角还是钝角解：直线解：直线AB的斜率的斜率直线直线BC的斜率的斜率直线直线CA的斜率的斜率 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角的倾斜角均为锐角；由均为锐角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角典型例题典型例题 例例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为分别为1，-1，2及及-3的直线的直线 及及 即即 解：取解：取 上某一点为上某一点为 的的坐标是坐标是 ，根据斜率公式，根据斜率公式有有: 设设 ，则，则 ，于是，于是 的坐标是的坐标是 过原点及过原点及 的直线即为的直线即为 xy 是过原点及是过原点及 的直线，的直线， 是过原点及是过原点及 的直线，的直线， 是过原点及是过原点及 的直线的直线典型例题典型例题1.1.请标示出以下直线的倾斜角请标示出以下直线的倾斜角. .xyOxyOxyO2.2.已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率. .3.3.求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角还是钝角. .（1 1）C(18,8),D(4,-4); (2)P(0,0),Q(-1C(18,8),D(4,-4); (2)P(0,0),Q(-1， ).).4.4.已知已知a,b,ca,b,c是两两不等的实数，求经过下列两点的直线是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的斜率的斜率. . (1)A(a,c),B(b,c); (2)C(a,b),D(a,c); (1)A(a,c),B(b,c); (2)C(a,b),D(a,c); (3)P(b,b+c),Q(a,c+a).(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).xO2-1-11 15.5.画出经过点（画出经过点（0,20,2），且斜率为），且斜率为2 2与与-2-2的直线的直线. .y斜率为斜率为2 2的直线经过（的直线经过（0,20,2），（），（-1,0-1,0）两点；）两点；斜率为斜率为-2-2的直线经过（的直线经过（0,20,2），（），（1,01,0）两点）两点. .6.6.斜率为斜率为2 2的直线，经过点的直线，经过点(3,5),(a,7),(-1(3,5),(a,7),(-1，b)b)三点，三点，则则a,ba,b的值为的值为( ).( ).A.a=4,b=0A.a=4,b=0B.a=-4,b=-3B.a=-4,b=-3C.a=4,b=-3C.a=4,b=-3D.a=-4,b=3D.a=-4,b=3C C1.1.直线的倾斜角定义及其范围：直线的倾斜角定义及其范围：2.2.斜率斜率k与倾斜角与倾斜角 之间的关系：之间的关系：3.3.斜率公式：斜率公式：“几何问题代数化几何问题代数化”的思想的思想