北京摩天大楼北京摩天大楼 巴西利亚大教堂巴西利亚大教堂 法拉利主题公园法拉利主题公园 花瓶花瓶 反比例函数的图像反比例函数的图像 冷却塔 罗兰导航系统原理罗兰导航系统原理 画双曲线画双曲线 演示实验：用拉链画双曲线演示实验：用拉链画双曲线 画双曲线画双曲线 演示实验：用拉链画双曲线演示实验：用拉链画双曲线 如图如图(A)， |MF1|- -|MF2|=|F2F|=2a 如图如图(B)， |MF2|- -|MF1|=|F1F|=2a 由由可得：可得： | |MF1|- -|MF2| | = 2a （差的绝对值） 上面上面 两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线 根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？ 一、一、 双曲线定义（类比椭圆）双曲线定义（类比椭圆） 平面内平面内与两个定点与两个定点F1，F2的距离的的距离的差的绝对值差的绝对值等于常数等于常数（小于（小于F1F2)的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做 双曲线双曲线. y | |MF1| - |MF2| | = 2a 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点; |F1F2|=2c 焦距焦距. 说明：说明： F 1 M o 02a2c 02a2c, 则轨迹是什么？则轨迹是什么？ ( (2) )不表示任何轨迹不表示任何轨迹 （3）若）若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？ (3)(3)线段线段F F1 1F F2 2的垂直平分线的垂直平分线 3.3.双曲线的标准方程双曲线的标准方程 1. 建系建系 . . 以F1,F2所在的直线为X轴，线如何求这优美的曲线的方程？ 段F1F2的中点为原点建立直角坐标系 设点设点 设2. M（x , y）,双曲线的焦 距为2c（c0）,F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式列式 |MF1| - |MF2|= 2a F1 yM o F2 x? ?即 2 2 2 2 (x+c) + y - (x-c) + y = + 2a _ 4.4.化简化简. . (x? c) ? y ? (x? c) ? y ? ?2a( (x? c) ? y ) ? ( (x ? c) ? y ? 2a)22 22222222yM F1 o cx ? a? ?a (x ? c) ? y222222222(c ? a )x ? a y? a (c ? a )令令c c2 2a a2 2=b=b2 2 22xy? 122ab22双曲双曲线线的的标标准方程准方程 y y M M F2 x F 1 O F O 2 x F1 x22?yy2x2a2b2? 1a2?b2? 1(a ? 0，b? 0)思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点思考：如何由双曲线的标准方程来判断它的焦点 是在是在X X轴上还是轴上还是Y Y轴上？轴上？ 2x2y? 1与与 判断：判断： 的焦点位置？的焦点位置？ ? 11692y92x16x , y前的系数，哪一个为正，则前的系数，哪一个为正，则结论：结论： 看看焦点在哪一个轴上。焦点在哪一个轴上。 22双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系 椭椭 圆圆 定定 义义 方方 程程 双曲线双曲线 |MF1|MF2|=2a x2y2?2? 1(a? 0,b? 0)2ab22yx?2? 1(a ? 0,b? 0)2ab|MF1|+|MF2|=2a xy?2? 1(a ? b? 0)2ab22yx?2? 1(a ? b? 0)2ab22 焦焦 点点 F（c，0） F（c，0） F（0，c） a.b.c 的关的关系系 F（0，c） a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2 ab0，a2=b2+c2 课堂巩固课堂巩固 已知双曲已知双曲线线的焦点的焦点为为 F F1 1(-5,0), F(-5,0), F2 2(5,0)(5,0)双曲双曲线线上一点到焦点的距离差上一点到焦点的距离差的的绝对值绝对值等于等于6 6，则则 (1) a=_(1) a=_ _ , c =_ , b =_ _ , c =_ , b =_ 3 5 4 (2) (2) 双曲线的标准方程为双曲线的标准方程为_ _ (3)(3)双曲线上一点，双曲线上一点， |PF |PF1 1|=10, |=10, 4或16 则则|PF|PF2 2|=_ |=_ 讨论： 22 当 取何值时，方程 mx ? ? ny ? ? 1表示椭圆，双m、n曲线，圆 。 解：由各种方程的标准方程知， 当 m? ? 0,n? ? 0,m? ? n时方程表示的曲线是椭圆 当 m? ? n? ? 0时方程表示的曲线是圆 当 m? ?n? ? 0时方程表示的曲线是双曲线 随堂练习随堂练习 1.求适合下列条件的双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程 a=4,b=3，焦点在，焦点在x轴上；轴上； 22yx 169 焦点为焦点为(0,6),(0,6)，经过点，经过点(2,5) 22yx2016?1? 1?yx2.已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在y轴的轴的 2?mm?122 m2 双曲线，则实数双曲线，则实数m的取值范围是的取值范围是_ ?1变式变式: 上述方程表示双曲线，则上述方程表示双曲线，则 m的取值范围是的取值范围是 _ m2或或m1 三、例题选讲三、例题选讲 F1? ? ? 5,0? ?,F2? ?5,0? ?动点动点 P满满例例1 已知两定点已知两定点 ,P的轨迹方程的轨迹方程 足足 ,PF1? ? PF2? ? 6 求动点求动点 解：解： F1F2? ? 10 6, PF1? ? PF2? ? 6 由双曲线的定义可知，点由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线的轨迹是一条双曲线, , 焦点为焦点为 F1(? ?5,0),F2(5,0) xy可设所求方程为可设所求方程为: :2? ?2? ?1 ( (a0,0,b0). 0). ab2 22 22 22 2a=6,2=6,2c=10,=10,a=3,=3,c=5.=5.b=5=5 3 3 =16. =16. 22xy? ? ? 1. . 所以点所以点 P的轨迹方程为的轨迹方程为91622设法一：设法一： 设法二：设法二： 设法三：设法三： 变式变式 已知双曲线上的两点已知双曲线上的两点P1、P2的坐标分别为的坐标分别为 15 （ ），（），（ ），求双曲线的），求双曲线的 ?2,? 3, 23 标准方程。标准方程。 小小结结 -双曲双曲线线定定义义及及标标准方程准方程 定定义义 | |MF1|- -|MF2| | =2a（ 2a|F1F2|） yM yMF2 图图象象 F1o xF2xF1方程方程 焦点焦点 a.b.c 的关的关系系 xy? 122abc ? ? a ? ? b22222yx? ? ? 122ab22F ( c, 0) F(0, c)