2.6 矩阵对策的求解对策论矩阵求解矩阵求解的四种方法：1、线性方程组法2、线性规划方法3、迭代法4、图解法对策论矩阵求解一、线性方程组方法对策论矩阵求解又根据定理2.4.3，如果甲和乙的最优策略中所有分量都大于0，那么上面的不等式组可化成下面两个线性方程组。对策论矩阵求解注：如果上述两个方程组的分别存在非负解x*,y*，则求得了 的一个解(x*,y*)和对策值； 如果x*,y*中有负的分量，则将方程组(2.6.1),(2.6.2)中的某些等式改为不等式试算。 对策论矩阵求解例2.6.1 求解矩阵对策-田忌赛马问题。解：已知田忌赛马问题中的支付矩阵对策论矩阵求解对策 没有鞍点。为了使A中元素尽可能多的变为0，故令A中每个元素减1再乘以，得到对策论矩阵求解现在讨论 为支付矩阵的对策 的解。为此先解方程组对策论矩阵求解和对策论矩阵求解对策论矩阵求解例2.6.2对策论矩阵求解对策论矩阵求解对策论矩阵求解上述不等式组无解，根据计算下面两个不等式组对策论矩阵求解对策论矩阵求解二、线性规划方法对策论矩阵求解对策论矩阵求解例2.6.3 用线性规划方法求解例2.6.2解：先将A的每个元素加3，得到每个元素都是整数的支付矩阵转而讨论以A1为支付矩阵的矩阵对策 ，为此求解两个互为对偶的线性规划问题对策论矩阵求解对策论矩阵求解对策论矩阵求解三、迭代法迭代法是求矩阵对策的一种近似方法。迭代法是求矩阵对策的一种近似方法。基本思想：基本思想：假设两个局中人反复进行对策多次，在每假设两个局中人反复进行对策多次，在每一局中各局中人都从自己的策略集中选取一局中各局中人都从自己的策略集中选取一个使对方获得最不利结果的策略，即第一个使对方获得最不利结果的策略，即第t局对策纯策略的选择欲使对手在前局对策纯策略的选择欲使对手在前t-1局中局中累计所得（或累计所失）最少（或最多）累计所得（或累计所失）最少（或最多）对策论矩阵求解具体做法：具体做法：在第在第1局中，从两个局中人中任选一个，如局中人局中，从两个局中人中任选一个，如局中人，让他先采取任意一个策略，如，让他先采取任意一个策略，如i 。然后，局中。然后，局中人人随之采取策略随之采取策略 j ，使采取，使采取i的局中人的局中人的所得的所得最少。在第最少。在第2局中，局中人局中，局中人还认为局中人还认为局中人采取采取策略策略 j ，故采取某策略，故采取某策略i使局中人使局中人的所失最多，的所失最多，局中人局中人又采取策略，使采取局中人又采取策略，使采取局中人在这两局中在这两局中累计赢得最少。在第累计赢得最少。在第3局中，局中人局中，局中人又采取某策又采取某策略使局中人略使局中人在前两局的累计所失最多，然后局中在前两局的累计所失最多，然后局中人人又采取某策略，又采取某策略，局中人局中人在这三局中累计赢得最少。以后各局均照此方在这三局中累计赢得最少。以后各局均照此方式对策下去，直到迭代的结果达到一定的满意程度为止。式对策下去，直到迭代的结果达到一定的满意程度为止。对策论矩阵求解近似解：近似解：若设在若设在N局对策中局中人局对策中局中人出出1,2, ,m的次的次数为数为k1,k2, ,km ,局中人局中人出出 1, 2, , n的的次数为次数为l 1, l 2, , l n ，xN=(k1 /N ,k2 /N, ,km /N), yN=(l1/N ,l2/N, ,lm /N)，则（则（xN， yN ）就是所求近似解。）就是所求近似解。对策论矩阵求解令：令：则则VN是对策值是对策值VG的近似值。的近似值。 xN的每一个收敛子列收敛于局中人的每一个收敛子列收敛于局中人的最优策略，的最优策略， yN的每一个收敛的每一个收敛子列收敛于局中人子列收敛于局中人的最优策略。的最优策略。VN收敛于收敛于VG 。 j=1 n aijljmax1 imVN=() N i=1 m aijkimin1 jnVN=() NVN=(VNVN+) 2对策论矩阵求解迭代算法的终止准则：1、给定迭代次k2、给定允许误差 ，当迭代次数k满足 时，迭代结束。对策论矩阵求解例2.6.4 用迭代法求解例2.6.2,允许误差 对策论矩阵求解对策论矩阵求解对策论矩阵求解