第九第九节节离散离散型随型随机变机变量的量的均值均值与方与方差差、正、正态分态分布布 考纲点击考纲点击1理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念2能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题些实际问题3利用实际问题的直方图，了解正态分布密度曲线的特点利用实际问题的直方图，了解正态分布密度曲线的特点及曲线所表示的意义及曲线所表示的意义答案：答案：D答案：答案：D答案：答案：D解析：解析：令令“？”为为a，“！”为为b，则，则2ab1.又又E()a2b3a2(2ab)2.答案：答案：21离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为：的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2Pipn(1)均值均值 称称E(X) 为随机变为随机变 量量X的均值或的均值或 ，它反映了离散型随机变量，它反映了离散型随机变量 取值的取值的 x1p1x2p2xipixnpn数学期望数学期望平均水平平均水平2均值与方差的性质均值与方差的性质(1)E(aXb) .(2)D(aXb) (a，b为常数为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差两点分布与二项分布的均值、方差(1)若若X服从两点分布，则服从两点分布，则E(X) ，D(X) (2)若若XB(n，p)，则，则E(X) ，D(X) aE(X)ba2D(X)p(1p)np(1p)pnp上方上方xx1越小越小越大越大XN(，2)(2)正态分布的三个常用数据正态分布的三个常用数据 P(X) ； P(2X2) ； P(3X3) .0.68260.95440.9974做一题做一题例例1某品牌汽车的某品牌汽车的4S店，对最近店，对最近100位采用分期付款的购位采用分期付款的购车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分车者进行了统计，统计结果如下表所示：已知分3期付款的期付款的频率为频率为0.2，且，且4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，期付款，其利润为其利润为1万元；分万元；分2期或期或3期付款其利润为期付款其利润为1.5万元；分万元；分4期期或或5期付款，其利润为期付款，其利润为2万元用万元用X表示经销一辆汽车的利润表示经销一辆汽车的利润.付款方式付款方式 分分1期期分分2期期分分3期期分分4期期分分5期期频数数4020a10b(1)若以频率作为概率，求事件若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的购买该品牌汽车的3位位顾客中，至多有顾客中，至多有1位采用分位采用分3期付款期付款”的概率的概率P(A)；(2)求求的分布列及其数学期望的分布列及其数学期望E()由题意知由题意知的可能取值为：的可能取值为：1,1.5,2(单位：万元单位：万元)P( 1)P( 1)0.4，P( 1.5)P( 2)P(3)0.4；P( 2)P(4)P(5)0.10.10.2. 的分布列为：的分布列为： 的数学期望的数学期望E()10.41.50.420.21.4(万元万元) 11.52P0.40.40.2保持例题条件不变，求保持例题条件不变，求D()解：解：D()(11.4)20.4(1.51.4)20.4(21.4)20.20.420.40.120.40.620.20.0640.0040.0720.14.悟一法悟一法1.求离散型随机变量的均值与方差时，关键是先求出随求离散型随机变量的均值与方差时，关键是先求出随机变量的分布列，然后根据均值与方差的定义求解机变量的分布列，然后根据均值与方差的定义求解2.若随机变量若随机变量X服从二项分布，即服从二项分布，即XB(n，p)，则可直，则可直接使用公式接使用公式E(X)np，D(X)np(1p)求解求解通一类通一类1(2011大纲全国卷大纲全国卷)根据以往统计资料，某地车主购买根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立，设各车主购买保险相互独立(1)求该地求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的种的概率；概率；(2)X表示该地的表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数求买的车主数求X的期望的期望解：解：记记A表示事件：该地的表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；保险；C表示事件：该地的表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中位车主至少购买甲、乙两种保险中的的1种；种；D表示事件：该地的表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买位车主甲、乙两种保险都不购买做一题做一题例例2(2011福建高考福建高考)某产品按行业生产标准分成某产品按行业生产标准分成8个等级，个等级，等级系数等级系数X依次为依次为1,2，8，其中，其中X5为标准为标准A，X3为标为标准准B.已知甲厂执行标准已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为生产该产品，产品的零售价为6元元/件；乙厂执行标准件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为生产该产品，产品的零售价为4元元/件，件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准(1)已知甲厂产品的等级系数已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：的概率分布列如下所示：且且X1的数学期望的数学期望E(X1)6，求，求a，b的值；的值；X15678P0.4ab0.1(2)为分析乙厂产品的等级系数为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随，从该厂生产的产品中随机抽取机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数求等级系数X2的数学期望的数学期望(2)由已知得，样本的频率分布表如下：由已知得，样本的频率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数可得等级系数X2的概率分布列如下：的概率分布列如下：所以所以E(X2)3P(X23)4P(X24)5P(X25)6P(X26)7P(X27)8P(X28)30.340.250.260.170.180.14.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.X2345678P0.30.20.20.10.10.13.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定再用方差来决定做一题做一题例例3已知已知XN(5,1)，则，则P(6X7)的值为的值为_自主解答自主解答由已知由已知5，1.P(4X6)0.6826，P(3X7)0.954.P(3X4)P(6X7)P(3X7)P(4X6)悟一法悟一法1.熟记熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值；的值；2.充分利用正态曲线的对称性和曲线与充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为轴之间面积为1.(1)正态曲线关于直线正态曲线关于直线x对称，从而在关于对称，从而在关于x对对称的区间上概率相等称的区间上概率相等(2)P(Xa)1P(xa)， P(Xp1p2p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值可使所需派出的人员数目的均值(数学期望数学期望)达到最小达到最小一题多解一题多解(条条大道通罗马条条大道通罗马)(1)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是是(1p1)(1p2)(1p3)，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于并等于1(1p1)(1p2)(1p3)p1p2p3p1p2p2p3p3p1p1p2p3.(2)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1，q2，q3时，随机变量时，随机变量X的分布列为的分布列为X123Pq1(1q1)q2(1q1)(1q2)所需派出的人员数目的均值所需派出的人员数目的均值(数学期望数学期望)E(X)是是E(X)q12(1q1)q23(1q1)(1q2)32q1q2q1q2.(3)法一法一由由(2)的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，后的顺序派人时，E(X)32p1p2p1p2.根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值派出的人员数目的均值下面证明：对于下面证明：对于p1，p2，p3的任意排列的任意排列q1，q2，q3，都有，都有32q1q2q1q232p1p2p1p2，(*)事实上，事实上，(32q1q2q1q2)(32p1p2p1p2)2(p1q1)(p2q2)p1p2q1q22(p1q1)(p2q2)(p1q1)p2q1(p2q2)(2p2)(p1q1)(1q1)(p2q2)(1q1)(p1p2)(q1q2)0.即即(*)成立成立法二法二可将可将(2)中所求的中所求的E(X)改写为改写为3(q1q2)q1q2q1，若交换前两人的派出顺序，则变为，若交换前两人的派出顺序，则变为3(q1q2)q1q2q2.由此可见，当由此可见，当q2q1时，交换前两人的派出顺序可减小均时，交换前两人的派出顺序可减小均值值也可将也可将(2)中所求的中所求的E(X)改写为改写为32q1(1q1)q2，若交，若交换后两人的派出顺序，则变为换后两人的派出顺序，则变为32q1(1q1)q3.由此可见，由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当若保持第一个派出的人选不变，当q3q2时，交换后两人的时，交换后两人的派出顺序也可减小均值派出顺序也可减小均值综合综合可知，当可知，当(q1，q2，q3)(p1，p2，p3)时，时，E(X)达达到最小即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派到最小即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的a1已知随机变量已知随机变量X服从正态分布服从正态分布N(，2)，且，且P(2X2)0.9544，P(X)0.6826，若，若4，1，则，则P(5X1.75，则，则p的取值范围是的取值范围是 ()解析：解析：发球次数发球次数X的分布列如下表的分布列如下表X123Pp(1p)p(1p)2答案：答案：C点击下图片进入点击下图片进入