7-8 7-8 静电场中的电介质静电场中的电介质 电电中中性性的的分分子子中中，带带负负电电的的电电子子( (或或负负离离子子) )与与带带正正电电的的原原子子核核( (或或正正离离子子) )束束缚缚得得很很紧紧，不不能能自自由由运运动动束缚电荷（束缚电荷（或或极化电荷）。极化电荷）。 一、电介质的电结构一、电介质的电结构电偶极子模型：电偶极子模型： 每每一一个个分分子子中中的的正正电电荷荷集集中中于于一一点点，称称为为正正电电荷重心荷重心；负电荷集中于另一点，称为；负电荷集中于另一点，称为负电荷重心负电荷重心 两者构成两者构成电偶极子电偶极子1 1、有极分子有极分子(Polar molecule) 极性极性电介质电介质例如：例如： HCl、 H2O、CO、SO2H2O.OHHHO+H+分子正、负电荷重心不重合分子正、负电荷重心不重合 有固有电偶极矩有固有电偶极矩二、有极分子和无极分子二、有极分子和无极分子 固有电偶极矩固有电偶极矩 1030 Cm分子分子HCl3. 43 H2S5. 3HBr2. 60SO25. 3HI1. 26NH35. 0CO0. 40C2H5OH3. 66分子分子p / (10 30C m)p / (10 30C m)H2O6. 2有极分子的电偶极矩有极分子的电偶极矩 2、无极分子无极分子 (Nonpolar molecule)例如：例如： H2、O2、CO2、CH4CH+H+H+H+分子正、负电荷重心重合分子正、负电荷重心重合 无固有电偶极无固有电偶极 非极性电介质非极性电介质三、电介质的极化三、电介质的极化 (Polarization) 在在外外电电场场作作用用下下，电电介介质质表表面面出出现现正正负负电电荷荷层层的现象的现象电极化电极化 极化机制极化机制无极分子无极分子位移极化位移极化有极分子有极分子取向极化取向极化1 1、无极分子的、无极分子的位移极化位移极化无外电场：无外电场：正负电荷重心重合，介质不带电正负电荷重心重合，介质不带电加外电场：加外电场：产生产生感生电偶极矩感生电偶极矩 主要是电子（云）移动主要是电子（云）移动极化的效果：极化的效果：端面出现极化端面出现极化电荷电荷/ /束缚电荷束缚电荷+极化电荷极化电荷极化电荷极化电荷/ /束缚电荷束缚电荷2、有极分子的有极分子的取向极化取向极化无外电场：无外电场：固有电固有电偶极偶极矩热运动，混乱分布，矩热运动，混乱分布，介质不带电。介质不带电。+加外电场：加外电场：外场取向外场取向与热混乱运动达到平与热混乱运动达到平衡。衡。+极化的效果：极化的效果：端面出现端面出现极化电荷极化电荷/ /束缚电荷束缚电荷家用微波炉家用微波炉加热的原理加热的原理介质分子的极化介质分子的极化四、电极化强度四、电极化强度 (Polarization intensity）表征电介质极化程度表征电介质极化程度 如何表征？如何表征？ 电电极极化化强强度度：电电介介质质中中某某点点附附近近单单位位体体积积内内分分子子电偶极矩的矢量和电偶极矩的矢量和单位：单位：C/m2 V 宏观小、微观大的体积元宏观小、微观大的体积元 极极化化状状态态：各各分分子子电电偶偶极极矩矩矢矢量量和和不不会会完完全全相相互互抵消。抵消。 表征极化程度。表征极化程度。n 单位体积内的分子数单位体积内的分子数 每每个个分分子子的的正正电电荷荷重重心心相相对对于于其其负负电电荷荷重重心心都都有有一一个个位位移移l l，各各个个分分子子的的感感应应电电矩矩都都相相同同，电电介质的极化强度为介质的极化强度为 以均匀的位移极化为例：以均匀的位移极化为例：均均匀匀极极化化：电电介介质质各各处处极极化化强强度度P P大大小小和和方方向向都都相相同。同。电极化强度电极化强度P 总场强总场强E e e电极化率（介质性质，与场无关）电极化率（介质性质，与场无关）介质中的总场强介质中的总场强( (外电场极化电荷电场外电场极化电荷电场) )相对介电常数相对介电常数只讨论各向同性、线性电介质。只讨论各向同性、线性电介质。五、各向同性、线性电介质的极化规律五、各向同性、线性电介质的极化规律 方向相同方向相同（各向同性各向同性），成正比成正比（线性线性）分子数密度分子数密度面元面元外法线外法线单位矢量单位矢量 电介质电介质六、极化电荷六、极化电荷与极化强度的关系与极化强度的关系1、极化电荷面密度、极化电荷面密度以非极性电介质为例推导以非极性电介质为例推导结果也适用于极性电介质结果也适用于极性电介质表面表面 d dS 出现的极化电荷：出现的极化电荷：极化电荷面密度：极化电荷面密度：表面该点的电极化强度矢量表面该点的电极化强度矢量表面该点表面该点外法线方向外法线方向单位矢量单位矢量极化电荷面密度：极化电荷面密度： 当当 为锐角时，电介质表面上出现一层正极化电荷。为锐角时，电介质表面上出现一层正极化电荷。当当 为钝角时，表面上出现一层负极化电荷。为钝角时，表面上出现一层负极化电荷。 极化电荷面密度，等于极化电荷面密度，等于电极化强度法向分量。电极化强度法向分量。极化电荷体密度：极化电荷体密度：封闭面封闭面S 内的极化电荷：内的极化电荷：2 2、极化电荷体密度、极化电荷体密度极化电荷体密度，等于极化电荷体密度，等于电极化强度散度负值。电极化强度散度负值。V Q介质介质内内S 【例例】已知介质球均匀极化，极化强度为已知介质球均匀极化，极化强度为求求：、 . .解解：PP均匀极化电介质，均匀极化电介质，体极化电荷密度为零。体极化电荷密度为零。7-97-9 有电介质时的高斯定理有电介质时的高斯定理 给给定定自自由由电电荷荷分分布布，如如何何求求稳稳定定后后的的电电场场分分布布和极化电荷分布？和极化电荷分布？实际计算：实际计算：引入一个包含极化电荷效应的辅助量引入一个包含极化电荷效应的辅助量D D，直接求，直接求D D，再求，再求E E. .存在介质时，静电场的规律：存在介质时，静电场的规律：给定自由电荷分布给定自由电荷分布 电场电场 极化电荷分布极化电荷分布电荷重新分布电荷重新分布 电场重新分布电场重新分布E 的高斯定理：的高斯定理：1、电位移矢量、电位移矢量D D的高斯定理的高斯定理极化电荷极化电荷，代入移项得，代入移项得极化电荷极化电荷自由电荷自由电荷,总场强总场强,电电介介质质自由自由电荷电荷Sq0内内q 内内为什么？为什么？定义定义( (引入引入) )电位移矢量：电位移矢量：D 的高斯定理：的高斯定理： 通通过过任任意意封封闭闭曲曲面面的的电电位位移移矢矢量量的的通通量量，等等于于该该封闭面所包围的封闭面所包围的自由电荷自由电荷的代数和的代数和 电位移线（电位移线（D 线）线）发自正自由电荷，止于负自由发自正自由电荷，止于负自由电荷。电荷。在闭合面上的在闭合面上的通量只和闭合面内的自由电荷有通量只和闭合面内的自由电荷有关。关。 只有当介质的分布满足一定条件时，只有当介质的分布满足一定条件时，D 才与束缚才与束缚电荷无关。电荷无关。 , 其其中中E 是是所所有有电电荷荷共共同同产产生生的的，P 与束缚电荷有关。与束缚电荷有关。 所以，所以，D D的分布一般也和束缚的分布一般也和束缚电荷（介质分布）有关。电荷（介质分布）有关。因为因为2 2、各向同性、线性介质、各向同性、线性介质 D D、E E、P P 的关系的关系D 的高斯定理微分形式：的高斯定理微分形式：3 3、有电介质时电场、极化电荷的计算、有电介质时电场、极化电荷的计算【例例】一带正电的金属球浸在油中。求球外的电场分布一带正电的金属球浸在油中。求球外的电场分布和贴近金属球表面的油面上的束缚电荷。和贴近金属球表面的油面上的束缚电荷。R+-qqD 的高斯定理的高斯定理PEDr为什么？为什么？解：解：R+-qqPEDr 总与总与 反号，数值小于反号，数值小于 。球表面的油面上的极化电荷：球表面的油面上的极化电荷：-rP(R) 解解 （1 ）设场强分别为）设场强分别为E1 和和E2 ，电位移分别为，电位移分别为D1 和和D2 ，E1和和E2 与板极面垂直，都属均匀场。先在两层电与板极面垂直，都属均匀场。先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面介质交界面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内的自，在此高斯面内的自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得由电荷为零。由电介质时的高斯定理得例平行板电容器两板极的面积为例平行板电容器两板极的面积为S，如图所示，两板极之间充有，如图所示，两板极之间充有两层电介质，电容率分别为两层电介质，电容率分别为1 和和2 ，厚度分别为，厚度分别为d1 和和d2 ，电容器，电容器两板极上自由电荷面密度为两板极上自由电荷面密度为。求（求（1）在各层电介质的电位移）在各层电介质的电位移和场强，（和场强，（2）电容器的电容）电容器的电容.+ E1E2D1D2S2S1d1d2AB 1E2 2所以所以即在两电介质内，电位移即在两电介质内，电位移 和和 的量值相等。由于的量值相等。由于所以所以 可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和电容率（或相对电容率）成反比。电容率（或相对电容率）成反比。 为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可另作一个高斯闭合面另作一个高斯闭合面S2 ，如图中左边虚线所示，这，如图中左边虚线所示，这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按有电一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按有电介质时的高斯定理，得介质时的高斯定理，得再利用再利用可求得可求得方向都是由左指向右。方向都是由左指向右。q=S是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为 可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以可见电容电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容器两极板的表面相平行）。器两极板的表面相平行）。（2）正、负两极板）正、负两极板A、B间的电势差为间的电势差为7-107-10静电场的能量静电场的能量一、点电荷间的相互作用能一、点电荷间的相互作用能1.两个点电荷两个点电荷q1,q2q1q2q1q2ABAq1q2r移动移动q1外力的功外力的功移动移动q2外力的功外力的功2.三两个点电荷三两个点电荷q1,q2,q3q1q3q2ABCr12r13r23q1 从从 A：外力克服电场力：外力克服电场力的功的功q2 从从 B：外力克服：外力克服q1的电场所作的功的电场所作的功q3 从从 C：外力克服：外力克服q1 、 q2的合电场所作的功的合电场所作的功三个点电荷系统所具有的相互作用能（即电势能）三个点电荷系统所具有的相互作用能（即电势能）等于建立点电荷系统时外力克服电场力所作的功等于建立点电荷系统时外力克服电场力所作的功点电荷系点电荷系的电势能的电势能注意：注意：Vi为除了第为除了第i个点电个点电荷之外其他点电荷在第荷之外其他点电荷在第i个个点电荷所在处激发的电势点电荷所在处激发的电势3.电荷连续分布时的静电能电荷连续分布时的静电能累加变积分累加变积分二、静电场的能量二、静电场的能量以平行板电容器为例以平行板电容器为例:充电一充电一段时间段时间充电充电搬运搬运dq从从BA从电场角度从电场角度静电能与电场所占体积成正静电能与电场所占体积成正比，表明电能贮藏在电场中比，表明电能贮藏在电场中均匀电场的静电能均匀电场的静电能任意电场的静电能任意电场的静电能静电场能量体密度静电场能量体密度例如图所示，在一边长为例如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶点上的立方体的每个顶点上放有一个点电荷放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个点电荷，立方体中心放有一个点电荷+2e。求此带电系统的相互作用能量。求此带电系统的相互作用能量。+2e e e e e e e e e解一解一 相邻两顶点间的距离为相邻两顶点间的距离为d，八个顶点上负电荷分别与相邻，八个顶点上负电荷分别与相邻负电荷的相互作用能量共有负电荷的相互作用能量共有12对，即对，即 ；面；面对角线长度为对角线长度为 。6个面上个面上12对对角顶点负电荷间的相互对对角顶点负电荷间的相互作用能量是作用能量是 ；立方体对角线长度为；立方体对角线长度为 ，4对对角顶点负电荷间的相互作用能量是对对角顶点负电荷间的相互作用能量是 ；立方体中心到每一个顶点的距离是立方体中心到每一个顶点的距离是 ，故中心正电荷，故中心正电荷与与8个负电荷间的相互作用能量是个负电荷间的相互作用能量是所以，这个点电荷系统的总相互作用能量为所以，这个点电荷系统的总相互作用能量为 解二解二 任一顶点处的电势为任一顶点处的电势为 在体心处的电势为在体心处的电势为按式可得这个点电荷系的总相互作用能为按式可得这个点电荷系的总相互作用能为结果与解一相同结果与解一相同.例例 求半径为求半径为R 带电量为带电量为Q 的均匀带电球的静电能。的均匀带电球的静电能。解一：解一：计算定域在电场中的能量计算定域在电场中的能量球内球内 r 处电场处电场解二：解二：计算带电体系的静电能计算带电体系的静电能再聚集再聚集这层电荷这层电荷dq，需做功：，需做功：而而所以所以球体是一层层电荷逐渐聚集而成，某一层内已聚集电荷球体是一层层电荷逐渐聚集而成，某一层内已聚集电荷例一平行板空气电容器的板极面积为例一平行板空气电容器的板极面积为S，间距为，间距为d，用电源充电后两极板上带电分别为用电源充电后两极板上带电分别为 Q。断开电源后。断开电源后再把两极板的距离拉开到再把两极板的距离拉开到2d。求（。求（1）外力克服两极）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸）两极板之间的相互吸引力。（空气的电容率取为引力。（空气的电容率取为0）。）。板极上带电板极上带电 Q时所储的电能为时所储的电能为解解 （1 ）两极板的间距为）两极板的间距为d和和2d时，平行板电容器时，平行板电容器的电容分别为的电容分别为（2）设两极板之间的相互吸引力为）设两极板之间的相互吸引力为F ，拉开两极板，拉开两极板时所加外力应等于时所加外力应等于F ，外力所作的功，外力所作的功A=Fd ，所以，所以故两极板的间距拉开到故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的后电容器中电场能量的增量为增量为例例平平行行板板空空气气电电容容器器每每极极板板的的面面积积S= 310-2m2 ，板板极极间间的的距距离离d = 310-3m 。今今以以厚厚度度为为d = 110-3m的的铜铜板板平平行行地地插插入入电电容容器器内内。（1）计计算算此此时时电电容容器器的的电电容容；（2）铜铜板板离离板板极极的的距距离离对对上上述述结结果果是是否否有有影影响响？（3）使使电电容容器器充充电电到到两两极极板板的的电电势势差差为为300V后后与与电电源源断断开开，再再把把铜铜板板从从电电容容器器中中抽抽出出，外外界界需需作作功功多少功？多少功？解：解： （1）铜板未插入前的电容为）铜板未插入前的电容为d1d2dd + - - C1C2AB设平行板电容器两板极上带有电荷设平行板电容器两板极上带有电荷q, 铜板平行地铜板平行地两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为 ，如，如图所示，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。图所示，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。两极板两极板A、B的电势差为的电势差为所以铜板插入后的电容所以铜板插入后的电容C 为为2）由由上上式式可可见见，C 的的值值与与d1和和d2无无关关（ d1增增大大时时， d2减减小小。 d1+ d2=d-d 不不变变），所所以以铜铜板板离离极极板板的的距距离不影响离不影响C 的值的值（3）铜铜板板未未抽抽出出时时，电电容容器器被被充充电电到到U=300V，此此时所带电荷量时所带电荷量Q=C U，电容器中所储静电能为，电容器中所储静电能为能量的增量能量的增量W-W 应等于外力所需作的功，即应等于外力所需作的功，即当当电电容容器器与与电电源源切切断断后后再再抽抽出出铜铜板板，电电容容器器所所储储的的静静电能增为电能增为代入已知数据，可算得代入已知数据，可算得例例7-26 求求真空中一半径为真空中一半径为a，带电荷量为，带电荷量为Q的均匀球体的静电的均匀球体的静电场能。场能。aQ解：解：球内场强：球内场强：球外场强：球外场强：aQdV例例7-27 真空中半径为真空中半径为r的导体球，外套同心导体球壳，的导体球，外套同心导体球壳，半径半径R1、R2，内球带电荷，内球带电荷q，求下列两种情况下静电能的损失：（，求下列两种情况下静电能的损失：（1）球）球与壳用导线相连；（与壳用导线相连；（2）壳接地。）壳接地。解：解：例例7-28 平行板空气（平行板空气（ 0）电容器，面积为）电容器，面积为S，间距为，间距为d， 用电源用电源充电使两极板带有电荷充电使两极板带有电荷 Q。断开电源后再把两极板的距离拉开。断开电源后再把两极板的距离拉开到到2d，求：（，求：（1）外力所做的功，（）外力所做的功，（2）两极板间的相互吸引力。）两极板间的相互吸引力。解：解： （1）两极板拉开前后的电容为）两极板拉开前后的电容为 电容器储存的电能为电容器储存的电能为 （2）两极板间的相互吸引力：）两极板间的相互吸引力：外力所做的功为外力所做的功为 例例7-29 平行板电容器，面积为平行板电容器，面积为S，间距为，间距为d， 板间充满均匀电介板间充满均匀电介质质 r。分别求下述两种情况外力所做的功：（。分别求下述两种情况外力所做的功：（1）维持极板上电）维持极板上电荷面密度荷面密度 0不变而把介质取出；（不变而把介质取出；（2）维持两板上电压）维持两板上电压U不变而不变而把介质取出。把介质取出。解：解：取出前：取出前：取出后：取出后：dS r(1) Q不变不变 S(2) U不变不变对电源充电：对电源充电： S例例7-30 物理学家开尔文把大气层构建成一个电容器的模型，物理学家开尔文把大气层构建成一个电容器的模型，地球表面是这个电容器的一块极板，带有地球表面是这个电容器的一块极板，带有5 105 C的负电荷，的负电荷，大气等效为在大气等效为在5 km高的另一块极板，带正电荷，求：（高的另一块极板，带正电荷，求：（1）这个球形电容器的电容；（这个球形电容器的电容；（2）地球表面的能量密度及球形电）地球表面的能量密度及球形电容器的电能。容器的电能。解：解： （1）地球的半径）地球的半径 r =6400 km，电离层的高度，电离层的高度 h =5 km，球形电容器的电容为球形电容器的电容为 地球表面的场强：地球表面的场强：地球表面的能量密度：地球表面的能量密度：球形电容器的电能：球形电容器的电能：