转化 可分离变量微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第二节解分离解分离变量方程量方程 可分离可分离变量方程量方程 第十二章 分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设 y (x) 是方程的解, 两边积分, 得 则有恒等式 当G(y) 与F(x) 可微且 G(y) g(y)0 时, 说明由确定的隐函数 y(x) 是的解. 则有称为方程的隐式通解, 或通积分.同样,当F(x)= f (x)0 时,上述过程可逆,由确定的隐函数 x(y) 也是的解. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例1. 求微分方程求微分方程的通解.解解: 分离变量得分离变量得两边积分得即( C 为任意常数 )或说明说明: 在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形, 因此可能增、减解.( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例2. 解初值问题解初值问题解解: 分离变量得分离变量得两边积分得即由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 )故所求特解为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:解解: 令令 那么故有即解得( C 为任意常数 )所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 练习练习:解法解法 1 分离变量分离变量即( C 0 )解法解法 2故有积分( C 为任意常数 )所求通解:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例4. 子的含量 M 成正比,求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: 根据题意根据题意, 有有(初始条件)对方程分离变量, 即利用初始条件, 得故所求铀的变化规律为然后积分:知 t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例5.成正比,求解解: 根据牛顿第二定律列方程根据牛顿第二定律列方程初始条件为对方程分离变量, 然后积分 :得利用初始条件, 得代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. t 足够大时机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例6. 有高有高 1m 的半球形容器的半球形容器, 水从它的底部小孔流出水从它的底部小孔流出,开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变解解: 由水力学知由水力学知, 水从孔口流出的流量水从孔口流出的流量为为即求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在内水面高度由 h 降到 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 对应下降体积因此得微分方程定解问题:将方程分离变量:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 两端积分, 得利用初始条件, 得因此容器内水面高度 h 与时间 t 有下列关系:机动 目录 上页 下页 返回 完毕 内容小结内容小结1. 微分方程的概念微分方程;定解条件;2. 可分离变量方程的求解方法:说明说明: 通解不一定是方程的全部解通解不一定是方程的全部解 .有解后者是通解 , 但不包含前一个解 .例如, 方程分离变量后积分; 根据定解条件定常数 .解; 阶;通解; 特解 y = x 及 y = C 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 (1) 找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.常用的方法常用的方法:1) 根据几何关系列方程 ( 如: P263,5(2) ) 2) 根据物理规律列方程 ( 如: 例4 , 例 5 )3) 根据微量分析平衡关系列方程 ( 如: 例6 )(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3) 求通解, 并根据定解条件确定特解. 3. 解微分方程应用题的方法和步骤机动 目录 上页 下页 返回 完毕 思考与练习思考与练习 求下列方程的通解 :提示提示: (1) 分离变量分离变量(2) 方程变形为方程变形为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 作业P 269 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6第三节 目录 上页 下页 返回 完毕 备用题备用题 已知曲线积已知曲线积分分与路径无关, 其中求由确定的隐函数解解: 因积分与路径无关 , 故有即因此有机动 目录 上页 下页 返回 完毕