1 1 1 18 8 8 8.2.1.2.1.2.1.2.1 矩形的判定矩形的判定矩形的判定矩形的判定四边形四边形平行平行平行平行四边形四边形四边形四边形两组对两组对边平行边平行一个角一个角是直角是直角矩形矩形矩形矩形平行四边形平行四边形矩形矩形四边形四边形有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形的定义：平行四边形平行四边形矩形矩形有一个角有一个角 是直角是直角矩形是特殊的平行四边形矩形是特殊的平行四边形具具备备平行四平行四边边形所有的性形所有的性质质ABCDO角角边边对角线对角线对边平行且相等对边平行且相等对角相等对角相等对角线互相平分对角线互相平分矩形的一般性质矩形的一般性质：课前热身课前热身1、矩形的四个角都是、矩形的四个角都是_。2、矩形的对角线、矩形的对角线_且且 _。直角直角相等相等互相平分互相平分 3、在直角三角形中，、在直角三角形中，_角所对的直角边角所对的直角边等于斜边的等于斜边的_。 4、在直角三角形中，斜边上的、在直角三角形中，斜边上的_等于斜等于斜边的边的_。3030一半一半中线中线一半一半测量测量？ 木工朋友在制作窗框后，需木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？其根据又是什么呢？矩形的判定方法矩形的判定方法1： 有有一个角是直角一个角是直角的的平行四边形平行四边形是矩形是矩形.在在 ABCD中中 B=90四边形四边形ABCD是矩形是矩形AB CD有一个角是直角有一个角是直角有两个角是直角有两个角是直角有三个角是直角有三个角是直角的的 四边形四边形是矩形吗？是矩形吗？ 李芳同学用李芳同学用“边边直角、直角、边边直角、边直角、边直角、边直角、边”这样四步，画出了一个四边形，这样四步，画出了一个四边形，她说这就是一个矩形。猜想她判她说这就是一个矩形。猜想她判断的依据？断的依据？有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 你能证明上述结论吗？你能证明上述结论吗？ABDC已知：在四边形已知：在四边形ABCDABCD中，中，A=B=C=90A=B=C=90求证：四边形求证：四边形ABCDABCD是矩形。是矩形。A AB BC CD D证明：证明： A=B=90A=B=90 A+B=180A+B=180 ADBCADBC同理可证：同理可证：ABCDABCD 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形又又 A=90A=90 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 ABCD A=B=C=90A=B=C=90A=B=C=90A=B=C=90 四边形四边形四边形四边形ABCDABCDABCDABCD是矩形是矩形是矩形是矩形符号表达式：符号表达式：符号表达式：符号表达式： 四边形四边形 ABCDABCD是平行四边形是平行四边形， AB=DCAB=DC且且ABCDABCD ABC DCBABC DCB（SSSSSS） AB/CDAB/CD又又 四边形四边形ABCDABCD 是平行四边是平行四边形形 ABCDABCD是矩形是矩形 ABC=DCBABC=DCB命题：对角线相等的平行四边形是矩形。命题：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：在已知：在 ABCDABCD，AC=BDAC=BD求证：求证： ABCDABCD是矩形是矩形ABCD证明证明: :又又BC=CB, BC=CB, 且且AC=DBAC=DB ABC+DCB=180 ABC+DCB=180 ABC=DCB=90ABC=DCB=90ABCDO四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形 且且AC=BDAC=BD四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形对角线相等的对角线相等的平行四边形平行四边形是矩形是矩形 符号表达式：符号表达式：测量测量？ 现在你可以帮助木工朋友检测所制作的现在你可以帮助木工朋友检测所制作的窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数窗框是否是矩形了吧，你可以测量哪些数据，有几种方案，根据又是什么呢？据，有几种方案，根据又是什么呢？分别测量出两组对边的长度和一个内角的分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格这个内角是直角，则窗框符合规格测量出三个内角的度数，如果三个内角都是测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格直角，则窗框符合规格分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格分别相等，那么窗框符合规格方案方案:方案方案:方案方案: 分别测量出两组对边的长度和分别测量出两组对边的长度和一个内角的度数，如果两组对边的一个内角的度数，如果两组对边的长度分别相等，且这个内角是直角，长度分别相等，且这个内角是直角，则窗框符合规格则窗框符合规格方案方案1:1: 先用两组对边相等判定是平行四边形，再先用两组对边相等判定是平行四边形，再用定义判定是矩形用定义判定是矩形 测量出三个内角的度数，如果三测量出三个内角的度数，如果三个内角都是直角，则窗框符合规格个内角都是直角，则窗框符合规格方案方案2:2:有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 分别测量出窗框四边和两条对角分别测量出窗框四边和两条对角线的长度，如果窗框两组对边长度、线的长度，如果窗框两组对边长度、两条对角线的长度分别相等，那么窗两条对角线的长度分别相等，那么窗框符合规格框符合规格方案方案3:3: 先用两组对边相等判定是平行四边形，再用先用两组对边相等判定是平行四边形，再用对角线相等判定是矩形对角线相等判定是矩形 分别测量出一组对边的长度和分别测量出一组对边的长度和这组同旁内角的度数，如果这组对这组同旁内角的度数，如果这组对边的长度相等，且这两个内角都是边的长度相等，且这两个内角都是直角，则窗框符合规格直角，则窗框符合规格方案方案4:4: 先用一组对边平行且相等判定是平行四边形，先用一组对边平行且相等判定是平行四边形，再用定义判定是矩形再用定义判定是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形。有一个角是直角的平行四边形是矩形。对角线相等的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形 。（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）有三个角是直角的四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 。方法方法方法方法1 1 1 1：方法方法方法方法2 2 2 2：方法方法方法方法3 3 3 3：1、下列各句判定矩形的说法是否正确？、下列各句判定矩形的说法是否正确？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ）（2）四个角都相等的四边形是矩形；）四个角都相等的四边形是矩形； （ ）（4）对角线相等的四边形是矩形；）对角线相等的四边形是矩形； （ ）（5）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（ ）（3）四个角都是直角的四边形是矩形。（）四个角都是直角的四边形是矩形。（ ）（6）两组对边分别平行，且对角线相等的四）两组对边分别平行，且对角线相等的四 边形是矩形边形是矩形 ( )2如图，工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行：如图，工人师傅做铝合金窗框分下面几个步骤进行：(1)先截出两对符合规格的铝合金窗先截出两对符合规格的铝合金窗(如图如图)使使AB=CD、 EF=GH； (2)摆放成摆放成(如图如图)的四边形，则这时窗框的形状是的四边形，则这时窗框的形状是 ，根据的数学道理是，根据的数学道理是 。(3)将直角尺靠紧窗框的一个角将直角尺靠紧窗框的一个角(如图如图)调整窗框的边框，当直角调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图如图)，说明窗框合格这时窗框，说明窗框合格这时窗框是是 根据的数学道理是根据的数学道理是 。有一个内角是直角有一个内角是直角相等相等矩形矩形 矩形矩形两组对边分别相等的四边是形平行四边形两组对边分别相等的四边是形平行四边形1 的平行四边形是矩形对角线的平行四边形是矩形对角线 的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是 形。形。平行四边形平行四边形 有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形例例1、已知：如图四边形、已知：如图四边形ABCD中，中，ABBC， ADBC，AD=BC，试说明四边形试说明四边形ABCD是矩形。是矩形。证明：证明： AD=CB ADCB 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 AB BC B=90 ABCD是矩形是矩形ABCD例例2、如图，平行四边形、如图，平行四边形ABCD中，中，AB= 6，BC= 8，AC= 10 ，求证求证 : 四边形四边形ABCD是矩形。是矩形。DBCA证明：证明： AB=6,BC=8,AC=10 AB2+BC2=62+82=100=102=AC2 B=90（勾股定理的逆定理）（勾股定理的逆定理） 又又 四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）边形是矩形）AOBDC1、已知：如图，四边形已知：如图，四边形ABCD中中 AO=BO=CO=DO，试说明四边形试说明四边形ABCD是矩形。是矩形。证明证明： AO=BO=CO=DO AO=BO=CO=DOAO=COAO=CO，BO=DOBO=DO 四边形四边形EFGHEFGH是平行四边形是平行四边形即即AC=BDAC=BD四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形又又AO+CO=BO+DOAO+CO=BO+DOABCDEFGHO2 2、已知：、已知： 矩形矩形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC、BDBD相交于相交于O O，E E、F F、G G、H H分别是分别是AOAO、BOBO、COCO、DODO上的一点，上的一点，且且AE=BF=CG=DHAE=BF=CG=DH。 求证：四边形求证：四边形EFGHEFGH是矩形。是矩形。证明证明： 四边形四边形ABCD是矩形是矩形 AO=BO=CO=DO又又 AE=BF=CG=DHOE=OF=OG=OH四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形又又EO+OG=FO+OHEO+OG=FO+OH即即EG=FHEG=FH四边形四边形EFGHEFGH是矩形是矩形3、BD、BE分别是分别是ABC与它的邻补角的与它的邻补角的平分线，平分线，AEBE，ADBD， 求证：四边形求证：四边形AEBD是矩形。是矩形。证明：证明： AEBEAEBE，ADBDADBD E=90E=90, D=90, D=90 BDBD，BEBE分别是分别是ABCABC与它的与它的邻补角邻补角CBPCBP的平分线的平分线1= ABC,2= ABP AEBDAEBD是矩形是矩形CBADEP12 1+2= (ABC+ABP)= 1+2= (ABC+ABP)= 180180=90=90即即DBE=90DBE=90ABDCHEFG四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形 DAB+ ABC=180 4、如图，、如图， ABCD四个内角的平分线围成四边形四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由的形状，并说明理由证明：证明：同理：同理：EFG=90、FGH=90四边形四边形EFGH是矩形是矩形AE、BE分别平分分别平分DAB、ABC EAB+ EBA=90 即即AEB=90 HEF=90ABDCHEFG5、如图，、如图， ABCD四个内角的平分线围成四边形四个内角的平分线围成四边形EFGH，猜想四边形，猜想四边形EFGH的形状，并说明理由的形状，并说明理由证明：证明：MPNQ四边形四边形ABCD是平行四边形是平行四边形ABC= ADC又又AN、DM是是ABC、ADC的平分线的平分线ABQ= QBC= ADM= CDM又又AD BC AQB QBC= = ADMBQ DMAE、BE分别平分分别平分DAB、ABC EAB+ EBA=90 即即AEB=90 HEF=90四边形四边形EFGH是矩形是矩形同理：同理：AN CP 四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形变式：变式：平行四边形平行四边形ABCD，AF、BH、 CH、DF分别是分别是 BAD、 ABC、 BCD、 CDA的的平分线。求证：平分线。求证：EF=GH .MLKNFGHEDCBA9、如图、如图,在在ABC中中,点点0是是AC边上的一个动点边上的一个动点,过点过点0作直线作直线MN BC,若若MN交交BCA的平分线于的平分线于点点E,交交BCA的外角平分线于点的外角平分线于点F,ABCMN0)1)2(5(4(3(6(1)求证求证:0E=0F(2)当当0运动到何处时运动到何处时, 四边形四边形AECF为为矩形矩形? 说明理由说明理由EF证明：证明：CFCF平分平分ACDACD 1=2 1=2 又又 MNBCMNBC 1=31=3 2=32=3 OC=OFOC=OF 同理可证：同理可证：OC=OEOC=OE OE=OFOE=OFD D答：当点答：当点0 0为为ACAC的中点时，的中点时， 四边形四边形AECFAECF是矩形是矩形理由：由（理由：由（1 1）知）知0E=0F0E=0F， 又又AO=COAO=CO 四边形四边形AECFAECF是平行四边形是平行四边形 又又ECEC平分平分ACBACB，FCFC平分平分ACDACD 2+4=902+4=90即即ECF=90ECF=90 四边形四边形AECFAECF是矩形是矩形A= B= C=90ABCDAC = BDABCDA=90 ABCD是矩形四边形ABCD是矩形谈一谈，今天你有何收获？谈一谈，今天你有何收获？1.判定一个四边形是矩形的方法是：判定一个四边形是矩形的方法是：本节课我们学习了什么内容，你能总结吗本节课我们学习了什么内容，你能总结吗？拓展：拓展：(1)(1)对角线相等的四边形是矩形吗对角线相等的四边形是矩形吗? ?(2)(2)需要添加什么条件才能使需要添加什么条件才能使 对对角线相等的四边形是矩形吗角线相等的四边形是矩形吗? ?归纳：归纳：对角线相等且互相平分的对角线相等且互相平分的四边形是矩形四边形是矩形 AC=BD AC=BD 且且OA=OC OB=OD OA=OC OB=OD 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形等腰梯形等腰梯形