函数的单调性函数的单调性 稷山中学一、理解函数单调性的概念一、理解函数单调性的概念二、掌握判断函数的单调性的方法二、掌握判断函数的单调性的方法（运用图象法（运用图象法 、定义法判断一些函数的单调性）、定义法判断一些函数的单调性） 学学 习习 任任 务务xy从左至右图象呈从左至右图象呈_趋势趋势. .上升上升xyy=x+1xy观察第一组函数图象，指出其变化趋势观察第一组函数图象，指出其变化趋势.OOO111111一、探究函数的单调性概念一、探究函数的单调性概念y=-x+1xy从左至右图象呈从左至右图象呈_趋势趋势. .下降下降xyxy观察第二组函数图象，指出其变化趋势观察第二组函数图象，指出其变化趋势.OOO1111111. .请谈谈图象的变化趋势怎样？请谈谈图象的变化趋势怎样？OxyOxy2. .你能看出当自变量增大或减少时，函数值如何你能看出当自变量增大或减少时，函数值如何 变化吗？变化吗？结论结论：自变量增大，函数值也增大自变量增大，函数值也增大在函数在函数 y = f (x)的图象上任取两点的图象上任取两点 A(x1，y1)，B(x2, y2) ，记记 x = x2x1，y = f (x2)f (x1) = y2y1自变量增大，函数值也增大自变量增大，函数值也增大自变量减小，函数值也减小自变量减小，函数值也减小 x y Oxyx1x2f(x1)f(x2) x y0增函数增函数：在给定的区间上任取在给定的区间上任取 x1，x2，且且 x1 x2 ，函函数数 f (x) 在给定区间上为增函数的充要条件是在给定区间上为增函数的充要条件是 ，这个给定的区间就为单调增区间这个给定的区间就为单调增区间 x y0Oxyx1x2f(x1)f(x2)给定的区间给定的区间 x1 x2 x y0Oxyx1x2f(x1)f(x2)增函数增函数：在在给定的区间给定的区间上任上任取取x1，x2， 函数函数f (x)在给定区间上为增函数的充要在给定区间上为增函数的充要条件是条件是 ，这个给定的区，这个给定的区间就为单调增区间。间就为单调增区间。xy0xy0类比得到减函数概念类比得到减函数概念减函数减函数：在在给定的区间给定的区间上任上任取取x1，x2， 函数函数f (x)在给定区间上为减函数的充要在给定区间上为减函数的充要条件是条件是 ，这个给定的区，这个给定的区间就为单调减区间。间就为单调减区间。Oxyx1x2f(x2)f(x1)xy0xy0例例1 给出函数给出函数 y = f (x) 的图象，的图象，如图所示如图所示，根据图根据图象说出这个函数在哪些区间上是增函数？哪些区间象说出这个函数在哪些区间上是增函数？哪些区间上是减函数？上是减函数？解：函数在区间解：函数在区间- -1，0，2，3上是减函数；上是减函数； 在区间在区间0，1，3，4上是增函数上是增函数23x14-1Oy二、判别函数单调性二、判别函数单调性,画出下列函数图像，并写出单调区间：画出下列函数图像，并写出单调区间：xyy=-x2+21- -1122- -1- -2- -2xy_;_;_.思考：根据函数单调性的定义，根据函数单调性的定义，（2）观察教材）观察教材 P 64，例，例2 的函数图象，分别说出函的函数图象，分别说出函数在数在(，0)和和(0，)上是增函数还是减函数上是增函数还是减函数 （1）观察教材）观察教材 P 64，例，例1 的函数图象，说出函数在的函数图象，说出函数在(，)上是增函数还是减函数上是增函数还是减函数Oxyx1x2f(x2)f(x1)怎样利用函数解析式判断单调性怎样利用函数解析式判断单调性Oxyx1x2f(x1)f(x2)减函数减函数增函数增函数y=f(x)自变量增大自变量增大( x0)函数值增大函数值增大( y0)自变量增大自变量增大( x0)函数值减小函数值减小( y0)y=f(x)三、判别函数单调性三、判别函数单调性例例2 2 证明函数证明函数 f(x) = 3 x2在区间在区间(，+)上是上是 增函数增函数证明：设证明：设 x1，x2 是任意两个不相等的实数，则是任意两个不相等的实数，则y = f(x2) f(x1) = (3x2+2) (3x1+2) = 3(x2 x1)因此，函数因此，函数 f(x)3 x2在区间在区间(-，+)上是增函数上是增函数x = x2 x1计算计算 x 和和y当当 k0时，函数在这个区时，函数在这个区间上是增函数；间上是增函数；当当 k0时，函数在这个区时，函数在这个区间上是减函数间上是减函数计算计算总结总结：由函数的解析式判定函数单调性的步骤：由函数的解析式判定函数单调性的步骤： S S1 计算计算 x 和和 y S S2 计算计算 k = S S3 当当 k0时，函数在这个区间上是增函数；时，函数在这个区间上是增函数； 当当 k0时，函数在这个区间上是减函数时，函数在这个区间上是减函数xy证明：x = x2- x1 y =证明：设证明：设 x1，x2 是是(0,+)内的任意两个不相等的正实数内的任意两个不相等的正实数，则，则 y = f (x2)- f (x1)因此因此 f (x) = 在区间在区间(0 ，)上是减函数上是减函数例例3求证：函数求证：函数 f (x) = 在区间在区间(0，)上是减函数上是减函数x = x2- x1计算计算 x 和和y当当 k0时，函数在这个区时，函数在这个区间上是增函数；间上是增函数；当当 k0时，函数在这个区时，函数在这个区间上是减函数间上是减函数计算计算证明函数证明函数 f (x) = 在区间在区间(-(-，0)0)上是减函数上是减函数 2. .证明函数单调性的步骤：证明函数单调性的步骤：（1）计算）计算 x 和和 y；（2）计算）计算 k = ； 当当 k0时，函数时，函数 y = f (x)在这个区间上是增函数；在这个区间上是增函数； 当当 k0时，函数时，函数 y = f (x)在这个区间上是减函数在这个区间上是减函数1.1.增函数减函数定义增函数减函数定义归纳总结归纳总结