二重积分的计算二重积分的计算1. X型区域型区域 由曲线由曲线 y = 1 ( x ) , y = 2 ( x ) ( 1 ( x ) 2 ( x ) ) 及及 x = a，x = b 所围成的区域。所围成的区域。特点特点:用平行于用平行于 y 轴且穿过轴且穿过 D 内部的直线与内部的直线与 D 的边界相交的边界相交不多于两点。不多于两点。 特点特点：平行于：平行于 x 轴且穿过轴且穿过 D 内部的直线与内部的直线与 D 的的边界相交不多于两点。边界相交不多于两点。2. Y 型区域型区域 由曲线由曲线 x= 1 ( y ) , x = 2 ( y ) ( 1 ( y ) 2 ( y ) ) 及及 y = c，y = d 所围成的区域。所围成的区域。 解解解解积分区域如图积分区域如图解解积分区域如图积分区域如图解解解解 曲面围成的立体如图曲面围成的立体如图. 极坐标下重积分的计算极坐标下重积分的计算（2）极坐标与直角坐标的关系极坐标与直角坐标的关系（3）曲线的极坐标表）曲线的极坐标表示示圆：圆：x2+y22y = 0 r2cos2 + r2sin22rsin = 0 r2 = 2rsin该圆的极坐标方程为该圆的极坐标方程为 r = 2sina = cr = ar = 2sinoM(x,y)xy平面上给定点平面上给定点 M(x, y)M( r, ) 点点M的极坐标的极坐标（r0，02）（1）极坐标）极坐标例如例如 r = a 圆圆 = c 射线射线以圆族以圆族 r = ri , 及射线族及射线族 = i （ i = 1，2，n）分）分割割D解解解解解解二重积分的一般变量替换公式二重积分的一般变量替换公式设设 在一个有界闭区域在一个有界闭区域 内有定义内有定义, ,假定有一个假定有一个 到到的一一对应的一一对应: ,: , 其逆变换为其逆变换为 设设 是一个有界闭区域是一个有界闭区域 , 是另一个有界闭区域是另一个有界闭区域 .定理定理2假定假定 到到 有一个一一对应有一个一一对应: , 其中其中 及及在在 内有连续的偏导数内有连续的偏导数,且变换的且变换的雅可比行列式雅可比行列式处处处处不等于不等于0,又设又设 在在 内连续内连续,则则广义极坐标变换广义极坐标变换其中其中证证 例例