1函数及其表示函数及其表示(1)函数的概念：函数的概念：函数是建立在两个非空数集之间的一种特殊的对应关系，函数是建立在两个非空数集之间的一种特殊的对应关系，即是一种特殊的映射函数具有三个要素，即定义域、对应法即是一种特殊的映射函数具有三个要素，即定义域、对应法则和值域，三者缺一不可其中最重要的是定义域和对应法则，则和值域，三者缺一不可其中最重要的是定义域和对应法则，值域由定义域和对应法则确定研究函数时应注意定义域优先值域由定义域和对应法则确定研究函数时应注意定义域优先的原则，其题型主要有以下几类：的原则，其题型主要有以下几类：已知已知f(x)的函数表达式，求定义域；的函数表达式，求定义域；已知已知f(x)的定义域，求的定义域，求f(x)的定义域，其实质是由的定义域，其实质是由(x)的取值范围，求出的取值范围，求出x的取值范围；的取值范围；已知已知f(x)的定义域，求的定义域，求f(x)的定义域，其实质是由的定义域，其实质是由x的的取值范围，求取值范围，求(x)的取值范围的取值范围 (2)相同函数：相同函数：判断两个函数是否相同，应抓住两点：判断两个函数是否相同，应抓住两点：定义域是否相同；定义域是否相同；对应法则是否相同同时应注意，解析式可以化简对应法则是否相同同时应注意，解析式可以化简(3)映射的概念：映射的概念：映射是建立在两个非空集合之间的一种特殊的对应关系，映射是建立在两个非空集合之间的一种特殊的对应关系，这种对应满足存在性与唯一性判断给出的对应这种对应满足存在性与唯一性判断给出的对应f：AB是否是否为映射，可从给出的对应是否满足为映射，可从给出的对应是否满足(i)A中的不同元素可以有相中的不同元素可以有相同的像，即允许多对一，但不允许一对多；同的像，即允许多对一，但不允许一对多；(ii)B中的元素可以中的元素可以无原像，即无原像，即B中可以有中可以有“空元空元”特殊的映射：一一映射：如果映射特殊的映射：一一映射：如果映射f是集合是集合A到集合到集合B的的映射，并且对于集合映射，并且对于集合B中的任一元素，在集合中的任一元素，在集合A中都有且只有一中都有且只有一个原像，这时这两个集合的元素之间存在一一对应的关系，并个原像，这时这两个集合的元素之间存在一一对应的关系，并把这个映射叫作从集合把这个映射叫作从集合A到集合到集合B的一一映射的一一映射函数是一种特殊的映射，它是数集到数集的映射函数是一种特殊的映射，它是数集到数集的映射2函数的基本性质函数的基本性质函数的奇偶性、单调性与最值是函数最重要的性质，在每函数的奇偶性、单调性与最值是函数最重要的性质，在每年的高考中均有体现常见问题有判断函数的奇偶性、单调性，年的高考中均有体现常见问题有判断函数的奇偶性、单调性，求单调区间，求函数的最值或求某变量的取值范围、奇偶性与求单调区间，求函数的最值或求某变量的取值范围、奇偶性与单调性的应用等单调性的应用等(1)函数的奇偶性：函数的奇偶性：具有奇偶性的函数的特点：具有奇偶性的函数的特点：a对称性：奇对称性：奇(偶偶)函数的定义域关于原点对称；函数的定义域关于原点对称；b整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个一个x都必须成立；都必须成立； c可逆性：可逆性：f(x)f(x)f(x)是偶函数；是偶函数；f(x)f(x)f(x)是奇函数；是奇函数；d图像特征：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图图像特征：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于像关于y轴对称轴对称 (2)函数单调性：函数单调性：单调性的判定：单调性的判定：判断函数的单调性一般有两种方法：一是定义法；二是图判断函数的单调性一般有两种方法：一是定义法；二是图像法其中定义法具有严格的推理性，在证明单调性时通常使像法其中定义法具有严格的推理性，在证明单调性时通常使用此法，其基本思路是：用此法，其基本思路是：a设元：即设设元：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且是该区间内的任意两个值，且x1x2；b作差：即作作差：即作f(x2)f(x1)(或或f(x1)f(x2)；c变形：即通过通分、配方、因式分解等手段，对差式向变形：即通过通分、配方、因式分解等手段，对差式向有利于判断符号的方向变形；有利于判断符号的方向变形；d定号：根据给定的区间和定号：根据给定的区间和x2x1的符号，确定差的符号，确定差f(x2)f(x1)(或或f(x1)f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；e结论：根据定义得出结论结论：根据定义得出结论求函数的单调区间：求函数的单调区间：求函数的单调区间通常可采用：求函数的单调区间通常可采用：a利用已知函数的单调性；利用已知函数的单调性；b定义法：先求定义域，再利用单调性定义；定义法：先求定义域，再利用单调性定义；c图像法：如果图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者是以图像形式给出的，或者f(x)的图像的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间 函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制，函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制，例如函数例如函数yx1在在(，0)和和(0，)内都是单调递减的，但内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为分开写，即函数的单调减区间为(，0)和和(0，)，不能用，不能用“”高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书解(1)由题意得A1,2因为ABB，所以BA.当B时，方程x2x2m0无实数解，因此其判别式18m8(1)；当B1或B2时，方程x2x2m0有两个相同的实数解x1或x2，因此其判别式18m0，解得m8(1)，代入方程x2x2m0解得x2(1)，矛盾，显然m8(1)不符合要求；当B1,2时，方程x2x2m0有两个不相等的实数解x1或x2，因此121,2m2.显然第一个等式不成立综上所述，m8(1).高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书解解(1)证明：明：设x1，x2R，且x1x2，则x2x10，f(x2x1)1. f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10.f(x1)f(x2)，即，即f(x)是是R上的增函数上的增函数 典例典例4：对任意的：对任意的a，bR，都有，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且，并且当当x0时，时，f(x)1.f(3)4. (1)求证：求证：f(x)是是R上的增函数；上的增函数； (2)求函数求函数f(x)在区间在区间1,2上的最大值与最小值上的最大值与最小值高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书(2)令xy1，则f(2)2f(1)1，f(3)f(2)f(1)13f(1)2.又f(3)4，3f(1)24，f(1)2，f(2)2f(1)13，由由(1)知知f(x)是R上的增函数，f(x)在1,2上是增函数， f(x)的最小值为f(1)2，最大值为f(2)3. 高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书借题发挥 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题，抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性，或是求函数值、解析式等主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上的恒等式，利用变量代换解题高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标高中同步新课标数学数学数学数学创 新 方 案 系 列 丛 书