12.3 角的平分线的性质1.1.在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中，掌握角平分线的作法和角平分线的性质角平分线的作法和角平分线的性质. .2.2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力；掌提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力；掌握简单的角平分线在生产、生活中的应用握简单的角平分线在生产、生活中的应用. . 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角等的角. .你有什么办法？你有什么办法？AOBC再打开纸片再打开纸片 ，看看折痕与这个角有，看看折痕与这个角有何关系？何关系？ 对折对折 如如果果前前面面活活动动中中的的纸纸片片换换成成木木板板、钢钢板板等等没没法法折折的的角，又该怎么办呢？角，又该怎么办呢？ 观察下面简易的平分角的仪器，其中观察下面简易的平分角的仪器，其中AB=ADAB=AD，BC=DC.BC=DC.将点将点A A放在角的顶点，放在角的顶点，ABAB和和ADAD沿着角的两边放下，沿沿着角的两边放下，沿ACAC画一条射线画一条射线AEAE，AEAE就是就是DABDAB的平分线的平分线. .你能说明它的道你能说明它的道理吗？理吗？B BD DA AC CE E 【证明证明】 在在ACDACD和和ACBACB中中 AD=ABAD=AB（已知）（已知） DC=BCDC=BC（已知）（已知） CA=CA=CACA（公共边）（公共边） ACD ACBACD ACB（SSSSSS） CAD=CABCAD=CAB（全等三角形的对应角相等）（全等三角形的对应角相等） ACAC平分平分DABDAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）B BD DA AC CE E 根据角平分仪的制作原理怎样作一根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）器）尺尺规作角的平分作角的平分线画法：画法：1.1.以以O O为圆心，适当长为半径作弧，交为圆心，适当长为半径作弧，交OAOA于于M M，交，交OBOB于于N N2.2.分别以，为圆心大于分别以，为圆心大于 的长的长为半径作弧两弧在为半径作弧两弧在AOBAOB的内部交于的内部交于3.3.作射线作射线OCOC射线射线OCOC即为所求即为所求OABNMC证明证明: :连接连接MC,NCMC,NC由作法知由作法知: :在在OMCOMC和和ONCONC中中OM=ONOM=ON，MC=NCMC=NC，OC=OC=OCOC，OMCONC(SSS)OMCONC(SSS)，AOC=BOCAOC=BOC，即即OC OC 是是的平分线的平分线. .为什么为什么OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线? ?OABNMC 将将AOBAOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？你能得出什么结论？猜想猜想: :角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. .证明证明: : C C平分平分, P, P是是OCOC上一点（已知），上一点（已知），D DP=BP=BP P（角平分线定义），（角平分线定义），PDOA,PEOB PDOA,PEOB （已知），（已知），ODP=OEP=90ODP=OEP=90（垂直的定义），（垂直的定义），在在OPDOPD和和OPEOPE中中 DOP=BOP DOP=BOP （已证），（已证）， ODP=OEP ODP=OEP （已证），（已证），OP=OP=OPOP（已知），（已知）， OPDOPE(AAS)OPDOPE(AAS)，PDPDPEPE（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）. . 已知：已知：OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于于D D， PEOBPEOB于于E E，求证求证: PD=PE.: PD=PE.P PA AO OB BC CE ED D12定理：定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. .用符号语言表示为：用符号语言表示为：1= 21= 2， PD OA PD OA ，PE OBPE OB，PD=PE.PD=PE.P PA AO OB BC CE ED D1 12 2角的平分线的性质角的平分线的性质 如图，要在如图，要在S S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，距离相等， 离公路与铁路交叉处离公路与铁路交叉处500 m500 m，这个集贸市场，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为应建在何处？（比例尺为1 120 00020 000）s s【跟踪训练跟踪训练】DCs【解析解析】 作夹角的角平分线作夹角的角平分线OCOC，截取，截取OD=2.5cm ,DOD=2.5cm ,D即为所求即为所求. .O 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图已知：如图,QDOA,QDOA，QEOBQEOB，点点D D、E E为垂足，为垂足，QDQDQEQE求证：点求证：点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上证明证明: : QDOA QDOA，QEOBQEOB， QDOQDOQEOQEO9090（垂直的定义）（垂直的定义）. .在在RtQDORtQDO和和RtQEORtQEO中中 QOQOQOQO（公共边），（公共边）， QD=QEQD=QE（已知），（已知）， RtQDORtQEORtQDORtQEO（HLHL），）， QODQODQOEQOE， 点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上. .角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. . QDOA QDOA，QEOBQEOB，QDQDQEQE点点Q Q在在AOBAOB的平分线上的平分线上用数学语言表示为：用数学语言表示为：(1)1= 2,DCAC, DEAB (1)1= 2,DCAC, DEAB _(_)(_)(2)DCAC ,DEAB ,DC=DE(2)DCAC ,DEAB ,DC=DE_(_)(_)ACDEB121= 21= 2DC=DEDC=DE角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. .角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等【跟踪训练跟踪训练】1.1.已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平分线是它的角平分线, ,且且 BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F.求证求证:EB=FC. :EB=FC. BAEDCF【解析解析】根据角的平分线的性质根据角的平分线的性质得得DE=DFDE=DF，再根据，再根据HLHL证明证明BEDCFD,BEDCFD,从而得到从而得到EB=FC.EB=FC.2.2.直线表示三条相互交叉的公路直线表示三条相互交叉的公路, ,现要建一个货物中转现要建一个货物中转站站, ,要求它到三条公路的距离相等要求它到三条公路的距离相等, ,则可供选择的地址有则可供选择的地址有:( ):( )A.A.一处一处 B.B.两处两处 C.C.三处三处 D.D.四处四处【解析解析】选选D.D.由于没有限制在何处选址由于没有限制在何处选址, ,故要求的故要求的地址共有四处地址共有四处, ,在各自夹角的平分线上，即：在各自夹角的平分线上，即：A A、B B、C C、D D各一处各一处. .A AD DC CB B3.3.（宁德（宁德中考）如图，已知中考）如图，已知ADAD是是ABCABC的角平分线，在不的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使添加任何辅助线的前提下，要使AEDAFDAEDAFD，需添加一个，需添加一个条件是：条件是：_，并给予证明，并给予证明. . B D AEFc【解析解析】解法一：解法一：添加条件：添加条件：AEAEAF.AF. 在在AEDAED与与AFDAFD中，中，AEAEAFAF，EADEADFADFAD，ADADADAD，AEDAFDAEDAFD（SASSAS）. . 解法二：解法二：添加条件：添加条件：EDAEDAFDA.FDA. 在在AEDAED与与AFDAFD中，中， EADEADFADFAD，ADADADAD，EDAEDAFDAFDA， AEDAFDAEDAFD（ASAASA）. . 1.1.角的平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等2.2.角平分线的判定：角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. . 通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握： 时间是个常数，但对勤奋者来说，是时间是个常数，但对勤奋者来说，是个个“变数变数”. .用用“分分”来计算时间的人比用来计算时间的人比用“小时小时”来计算时间的人时间多来计算时间的人时间多5959倍倍. . 雷巴柯夫雷巴柯夫