淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件第第1010讲讲-复数在电工中的简单应用复数在电工中的简单应用1.1.正弦量的瞬时表达式正弦量的瞬时表达式2.2.正弦量的相量表达式正弦量的相量表达式3.3.RLCRLC串联电路中的复阻抗串联电路中的复阻抗4 4. . 复功率复功率1 1淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件学习目标学习目标1 1掌握正弦量的复数表示形式，并进行计算；掌握正弦量的复数表示形式，并进行计算；2 2会运用复功率计算有功功率、无功功率和视会运用复功率计算有功功率、无功功率和视在功率的计算；在功率的计算；2 2淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件重重 点点难难 点点1 1正弦量的复数表示形式；正弦量的复数表示形式；2 2复功率复功率的的计算计算。复功率复功率的的计算计算3 3淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件1.1.正弦量的瞬时表达式正弦量的瞬时表达式 在线性正弦交流电路中，正弦交流电是指随时间按在线性正弦交流电路中，正弦交流电是指随时间按正弦规律变化的电流和电压正弦规律变化的电流和电压, ,它的瞬时表达式就是使它的瞬时表达式就是使用三角函数的形式表示正弦交流电变化的规律。用三角函数的形式表示正弦交流电变化的规律。 例如正弦交流电压例如正弦交流电压u(t)=Uu(t)=Um msin(sin(t+t+) )在直角坐标在直角坐标系上是一条随时间变化的正弦曲线系上是一条随时间变化的正弦曲线, ,其中其中U Um m为幅值，为幅值，为角频率，为角频率，为初相角，三者构成了正弦量的三要为初相角，三者构成了正弦量的三要素。素。4 4淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件2.2.正弦量的相量表达式正弦量的相量表达式 由于利用瞬时表达式表示交流电量比较烦琐，尤其由于利用瞬时表达式表示交流电量比较烦琐，尤其在分析计算交流电路时，一般要解微积分方程，十分在分析计算交流电路时，一般要解微积分方程，十分不便。为使表示方法和求解电路简便，引入相量表示不便。为使表示方法和求解电路简便，引入相量表示方法。相量表示是从复数表示和计算中引申出来的。方法。相量表示是从复数表示和计算中引申出来的。我们现在就试图用复数的形式来表示正弦量。我们现在就试图用复数的形式来表示正弦量。5 5淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件 一个正弦量由三要素来确定，分别是频率、幅值和初相。一个正弦量由三要素来确定，分别是频率、幅值和初相。因为在同一个正弦交流电路中，电动势、电压和电流均为因为在同一个正弦交流电路中，电动势、电压和电流均为同频率的正弦量，即频率是已知或特定的，可以不必考虑。同频率的正弦量，即频率是已知或特定的，可以不必考虑。只需确定正弦量的幅值只需确定正弦量的幅值( (或有效值或有效值) )和初相位就可表示正弦和初相位就可表示正弦量。量。 而一个复数的四种表达方式均要用两个量来描述。不妨而一个复数的四种表达方式均要用两个量来描述。不妨用它的模代表正弦量的幅值或有效值，用幅角代表正弦量的用它的模代表正弦量的幅值或有效值，用幅角代表正弦量的初相，于是得到一个表示正弦量的复数，这就是正弦量的相初相，于是得到一个表示正弦量的复数，这就是正弦量的相量表示法。量表示法。 6 6淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件 相量表示方法为：相量表示方法为：用复数的模值对应地表示正弦量的振幅用复数的模值对应地表示正弦量的振幅(或或有效值有效值)；用复数的幅角对应地表示正弦量的初相，；用复数的幅角对应地表示正弦量的初相，任何一个正任何一个正弦量都可以对应这样的一个复数，而我们就把这个与正弦量相弦量都可以对应这样的一个复数，而我们就把这个与正弦量相对应的复数称为正弦量的相量，简称相量。换句话说正弦量的对应的复数称为正弦量的相量，简称相量。换句话说正弦量的相量就是特指用复数来表示的、与正弦量具有一一对应关系的相量就是特指用复数来表示的、与正弦量具有一一对应关系的复数。复数。 为了区别与一般复数的不同，相量头顶要带上标记为了区别与一般复数的不同，相量头顶要带上标记“”，如如 。 一个正弦量的相量，就是在给定角频率一个正弦量的相量，就是在给定角频率条件下，用它的有条件下，用它的有效值（也可用最大值）和初相角这两个要素来表示的量。在概效值（也可用最大值）和初相角这两个要素来表示的量。在概念上关于相量应明确如下几点：念上关于相量应明确如下几点：7 7淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件(1)(1)正弦量的相量，用有效值和初相角表示时，称为有效值相量；正弦量的相量，用有效值和初相角表示时，称为有效值相量；用最大值和初相角表示时，称为最大值相量或振幅相量。用最大值和初相角表示时，称为最大值相量或振幅相量。(2)(2)所谓相量法是用相量这一特殊复数来表示正弦量，从而将正所谓相量法是用相量这一特殊复数来表示正弦量，从而将正弦量的运算转化为复数运算的方法。正弦量的相量不仅仅是时间弦量的运算转化为复数运算的方法。正弦量的相量不仅仅是时间t t的函数，还是一个复数。的函数，还是一个复数。(3)(3)将正弦量用相量表示实质上是一种数学变换。将正弦量用相量表示实质上是一种数学变换。一个相量可以一个相量可以充分表达正弦量的三要素，只是由于电路中各量的频率相同而省充分表达正弦量的三要素，只是由于电路中各量的频率相同而省掉了频率而已。相量仅为正弦量的一种表示方法，相量并不等于掉了频率而已。相量仅为正弦量的一种表示方法，相量并不等于正弦量。正弦量。(4)(4)引入相量法的目的是为了简化正弦稳态电路的分析计算，相引入相量法的目的是为了简化正弦稳态电路的分析计算，相量只能用来进行同频率正弦电源电路的分析计算。注意，今后若量只能用来进行同频率正弦电源电路的分析计算。注意，今后若不特别说明，相量均指有效值相量。不特别说明，相量均指有效值相量。8 8淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件若正弦电压为若正弦电压为 正弦电流为正弦电流为 有效值相量有效值相量是以正弦量的有效值是以正弦量的有效值I I或或U U为模、初相角为模、初相角为辐角，记为为辐角，记为最大最大值相量值相量是以正弦量的是以正弦量的最大最大值值I Im m或或U Um m为模、初相角为模、初相角为辐角，记为为辐角，记为其中其中,U,U表示电压有效值，表示电压有效值，U Um m表示电压最大值或振幅表示电压最大值或振幅, ,I I表示电压有效值，表示电压有效值，I Im m表示电压最大值或振幅表示电压最大值或振幅9 9淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件例例1:1:已知对称三相正弦电压可表示为：已知对称三相正弦电压可表示为：试证明其相量之和恒等于零。（教材试证明其相量之和恒等于零。（教材P85第第8题）题）证明：证明：因为因为电压的相量分别为电压的相量分别为讲解例题讲解例题 1010淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件例例2 2: :请写出正弦量请写出正弦量u=311sin(314u=311sin(314t t 3030) V) V， i=4.24sin(314i=4.24sin(314t t 4545) A ) A 相量形式。相量形式。解：解：(1) (1) 正弦电压正弦电压u u的有效值为的有效值为U U = 0.7071 = 0.7071 311 = 220 V 311 = 220 V 初相初相角为角为=30 =30 所以其相量为所以其相量为 (2) (2) 正弦电流正弦电流i i的有效值为的有效值为 = 0.7071 = 0.7071 4.24 = 3 A 4.24 = 3 A 初相初相角为角为= -45= -45 所以其相量为所以其相量为讲解例题讲解例题 1111淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件讲解例题讲解例题 例例3：如图所示为电路中的一个节点，已知如图所示为电路中的一个节点，已知，试求，试求i i3 3。解：电流解：电流i i1 1、i i2 2对应的相量形式对应的相量形式分别分别为为所以所以而而即即1212淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件 复数形式的电阻和电抗称为复阻抗。相量分析法复数形式的电阻和电抗称为复阻抗。相量分析法中的复阻抗的模对应正弦交流电路中的电阻和电抗，中的复阻抗的模对应正弦交流电路中的电阻和电抗，例如单一电阻元件电路的复阻抗为例如单一电阻元件电路的复阻抗为R R，是一个只有实，是一个只有实部没有虚部的复数；单一电感元件电路的复阻抗是部没有虚部的复数；单一电感元件电路的复阻抗是jXjXL L，是没有实部，只有正值虚部的复数；单一电容，是没有实部，只有正值虚部的复数；单一电容元件电路的复阻抗是元件电路的复阻抗是jXjXC C，是没有实部，只有负值，是没有实部，只有负值虚部的复数。虚部的复数。复阻抗的模值对应正弦交流电路的阻复阻抗的模值对应正弦交流电路的阻抗；复阻抗的幅角对应正弦交流电路中电压与电流抗；复阻抗的幅角对应正弦交流电路中电压与电流的相位差角。的相位差角。3.3.RLCRLC串联电路中的复阻抗串联电路中的复阻抗1313淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件电路中的容抗为电路中的容抗为电路中的感抗为电路中的感抗为RLC串联电路中的复阻抗为串联电路中的复阻抗为其中其中为角频率，为频率，为角频率，为频率，1414淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件讲解例题讲解例题 例例4：如图所示，已知如图所示，已知R R100100，L L0.5H0.5H，f=50Hzf=50Hz，C=30FC=30F，计算总，计算总复阻抗复阻抗Z Z和总阻抗和总阻抗Z|,Z|,并把结果化并把结果化为复数的三角形式。为复数的三角形式。( (教材教材P P7676例例1414）解：解：所以总阻抗为所以总阻抗为由由得得，代入得，代入得1515淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件讲解例题讲解例题 例例5 5：一个一个100100FF的电容器的电容器接在电压为接在电压为10V10V的正弦电源上，当的正弦电源上，当电源频率为电源频率为50Hz50Hz时，时，试试写出电容元件中电流的瞬时值表达式。写出电容元件中电流的瞬时值表达式。 解：当解：当f=50Hzf=50Hz时，容抗为时，容抗为由题意得，电源电压的有效值表示为由题意得，电源电压的有效值表示为故故所以所以即即1616淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件讲解例题讲解例题 例例6：如图所示电阻、电感串联电路中，已知正弦电流如图所示电阻、电感串联电路中，已知正弦电流试求试求u uR R、u uL L、u u。（。（P84P84例例1515）解：正弦电流的相量为解：正弦电流的相量为电感元件的感抗为电感元件的感抗为电阻电压为电阻电压为电感电压为电感电压为则则即即1717淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件练习练习 （教材（教材P P8787第第4 4题）题）1、把一个、把一个R11的电阻接在电压的电阻接在电压的电源上，求电流的相量式。的电源上，求电流的相量式。2、一个感抗、一个感抗X XL L2020的电感线圈接在的电感线圈接在（教材（教材P P8787第第5 5题）题）的电源上，求电流的相量。的电源上，求电流的相量。3 3、已知、已知求求i=ii=i1 1+i+i2 2的解析式。的解析式。（教材（教材P P8787第第6 6题）题）1818淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件4 4. . 复功率复功率由此可看出，由此可看出，复功率的模为视在功率，复功率的模为视在功率，其单位是伏安（其单位是伏安（VAVA），），而复功率而复功率角为电压相量和电流相量之间的夹角角为电压相量和电流相量之间的夹角，就是功率因数角，就是功率因数角。 定义：电压相量定义：电压相量 与电流共轭相量与电流共轭相量 之乘积。之乘积。一般用一般用 表表示，即示，即其中其中这样这样1919淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件复功率还可以用负载阻抗复功率还可以用负载阻抗Z表示，负载阻抗表示，负载阻抗Z为：为：所以所以，代入得，代入得2020淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件又因为又因为， 则则显然显然P P和和Q Q分别为复功率的实部和虚部：分别为复功率的实部和虚部：P P是平均功率或有功功率，它取决于负载的电阻是平均功率或有功功率，它取决于负载的电阻R R，而，而Q Q是无功是无功功率功率( (或正交功率或正交功率) )，它取决于负载的电抗部分，它取决于负载的电抗部分X X。2121淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件比较两式比较两式得：得：有功功率有功功率P P是传送到负载上去的平均功率，单位是瓦特，它是是传送到负载上去的平均功率，单位是瓦特，它是负载实际消耗的功率，是有用功。无功功率负载实际消耗的功率，是有用功。无功功率Q Q是电源与负载电是电源与负载电抗部分能量交换的一个度量，单位是乏抗部分能量交换的一个度量，单位是乏(VAR)(VAR)，用以区别有功，用以区别有功功率瓦特的单位。无功功率也是在负载和电源之间来回转换，功率瓦特的单位。无功功率也是在负载和电源之间来回转换，在转换过程中没有损耗。无功功率注意如下在转换过程中没有损耗。无功功率注意如下3 3点：点：1 1、Q =0Q =0，是电阻负载，是电阻负载(pf=1)(pf=1)。2 2、Q Q0 0，是电容性负载，是电容性负载( (超前超前pf)pf)。3 3、Q Q0 0，是电感性负载，是电感性负载( (滞后滞后pf)pf)。2222淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件 总之，总之，复功率的引入使我们可以由电压相量和电流相量直复功率的引入使我们可以由电压相量和电流相量直接得到有功功率和无功功率。接得到有功功率和无功功率。复功率：复功率：视在功率：视在功率：有功功率：有功功率：无功功率：无功功率：2323淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件表示表示 、P和和Q三者关系的一种习惯做法是三角形表示三者关系的一种习惯做法是三角形表示法，称作功率三角形，如图所示，它与表示法，称作功率三角形，如图所示，它与表示Z，R，X关关系的阻抗三角形类似。功率三角形有四项：视在系的阻抗三角形类似。功率三角形有四项：视在/复数功复数功率、有功功率、无功功率和功率因数角。给出其中的两率、有功功率、无功功率和功率因数角。给出其中的两相，另两项就可以很方便的由三角形得到。相，另两项就可以很方便的由三角形得到。无功功率注意如下无功功率注意如下3点：点：1、Q =0，是电阻负载。，是电阻负载。2、Q0，是电容性负载。，是电容性负载。3、Q0，是电感性负载。，是电感性负载。2424淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件实部为平均功率、虚部（或负虚部）为无功功率的复数量，是实部为平均功率、虚部（或负虚部）为无功功率的复数量，是以相量法分析正弦电流电路时常涉及到的一个辅助计算量。以相量法分析正弦电流电路时常涉及到的一个辅助计算量。 由于正弦电流电路中的有功功率、无功功率、和视在功率三者由于正弦电流电路中的有功功率、无功功率、和视在功率三者之间是一个直角三角形的关系，可以通过之间是一个直角三角形的关系，可以通过“复功率复功率”来表示。来表示。复功率是一个辅助计算功率的复数，它将正弦稳态电路的三种复功率是一个辅助计算功率的复数，它将正弦稳态电路的三种功率和功率因素统一为一个公式表达，只要计算出电路中电压功率和功率因素统一为一个公式表达，只要计算出电路中电压和电流向量，各种功率就可以很方便地计算出来。引人复功率和电流向量，各种功率就可以很方便地计算出来。引人复功率这一概念给电力网的潮流计算带来很多方便，在谐波潮流计算这一概念给电力网的潮流计算带来很多方便，在谐波潮流计算中也多引用谐波复功率进行分析计算。中也多引用谐波复功率进行分析计算。2525淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件 复复功功率率是是正正弦弦交交流流分分析析相相量量法法中中的的一一个个辅辅助助计计算算量量，它它实实际际上上是是功功率率三三角角形形的的算算数数表表示示式式，用用来来分分析析计计算算正正弦弦交交流流电电路路中中的的有有功功功功率率和和无无功功功功率率。它它将将正正弦弦稳稳态态电电路路的的三三种种功功率率和和功功率率因因素素统统一一为为一一个个公公式式表表达达，只只要要计计算算出出电电路路中中电电压压和和电电流流相相量量，各各种种功功率率就就可可以以很很方方便便地地计计算算出出来来。在在工工程程实实际际中中，引引人人复复功功率率这这一一概概念念给给电电力力网网的的潮潮流流计计算算带带来来很很多多方方便便，在在谐谐波波潮潮流流计计算算中中也也多多引引用用谐谐波波复复功功率率进进行行分析计算。分析计算。2626淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件 例例7 7：有一负载，其两端电压是有一负载，其两端电压是 ，而，而沿电压降落方向流过负载的电流是沿电压降落方向流过负载的电流是 。求求(a)复功率和视在功率，复功率和视在功率，(b)有功功率和无功功率，有功功率和无功功率，(c)负载负载阻阻抗。抗。讲解例题讲解例题 解解: :电压和电流的相量形式分别为电压和电流的相量形式分别为复功率为复功率为视在功率为视在功率为2727淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件又又对照对照 ，则有功功率为，则有功功率为无功功率为无功功率为负载阻抗是：负载阻抗是：这是一个电容性阻抗。这是一个电容性阻抗。2828淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件例例8 8：已知已知RLCRLC串联电路中，电阻串联电路中，电阻R R=16=16，感抗，感抗X XL L=30=30，容抗，容抗X XC C=18=18，电路端电压为，电路端电压为220V220V，试求电路中的有功功率，试求电路中的有功功率P P、无功、无功功率功率Q Q、视在功率、视在功率S S。（提示。（提示0.8+0.6j=e)0.8+0.6j=e)解：解： 复阻抗复阻抗( (阻抗的复数形式阻抗的复数形式) )为为 电路中的有功功率为电路中的有功功率为1936W1936W（瓦）（瓦）, ,无功功率为无功功率为1452var1452var（容性）（容性） 视在功率为视在功率为2420VA2420VA（伏安）（伏安）讲解例题讲解例题 2929淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件小小 结结你能总结一下本讲的主要内容吗？你能总结一下本讲的主要内容吗？3030淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件1 1、一个电感为、一个电感为20mH20mH的纯电感线圈，接在电压的纯电感线圈，接在电压u u311sin311sin（314t+30314t+300 0）V V的电源上，求：电路中的无的电源上，求：电路中的无功功率是多少？功功率是多少？2 2、一个容量为、一个容量为637F637F的电容器，接在电压的电容器，接在电压u u311sin311sin（314t314t60600 0）V V的电源上，求：电路中的无的电源上，求：电路中的无功功率是多少？功功率是多少？3 3、将电感为、将电感为255 mH255 mH、电阻为、电阻为6060的线圈接到的线圈接到u=311sin314tu=311sin314t伏的电源上组成伏的电源上组成RLRL串联电路。求电路中串联电路。求电路中的有功功率。的有功功率。练练 习习3131淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件4 4、将一个电阻、将一个电阻R=40R=40和一个和一个2525微法的电容器相微法的电容器相串联后接到串联后接到u=141sin500tu=141sin500t伏的电源上，试求电路伏的电源上，试求电路上的有功功率上的有功功率P P、无功功率、无功功率Q Q、视在功率、视在功率S S。5 5、已知、已知RLCRLC串联电路中，电阻串联电路中，电阻R=16R=16，感抗，感抗X XL L=30=30，容抗，容抗X XC C=18=18，电路两端电压为，电路两端电压为220V220V，试求试求电路上的有功功率电路上的有功功率P、无功功率、无功功率Q、视在功、视在功率率S。3232淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件6 6、已知、已知RLCRLC串联交流电路中，电阻串联交流电路中，电阻R=30R=30，电感，电感L=127mHL=127mH，电容，电容C=40C=40F F，电路两端电压为，电路两端电压为u=311sin100u=311sin100t t伏，试求伏，试求电路上的有功功率电路上的有功功率P、无功功率无功功率Q、视在功率、视在功率S。7 7、已知、已知试求试求3333淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件祝祝你你学学习习进进步步！祝祝你你工工作作愉愉快快！3434