流体力学流体力学-(5)-(5)B3 微分形式的基本方程微分形式的基本方程本章讨论流体力学三要素中第三要素“力”。 微分形式的流体力学基本方程描述空间点邻域内的物理量关系，求解这些方程可得到物理量在空间分布的细节p主要内容：微分形式的连续性方程和动量方程；作用在流体微元上的体积力和表面力；重力场、应力场、压强场；边界条件和初始条件等。重点：（1）不可压缩流体连续性方程； （2）纳维-斯托克斯方程； （3）压强的表达方式和单位； （4）静止和运动流体中压强分布特征。 根据质量守恒定律，不可压缩流体流进控制体的质量应等于流出控制体的质量，称其为流体运动的连续性原理。B3.1.1 流体运动的连续性流体运动的连续性流体运动的连续性是物质质量守恒定律在流体运动中的特殊体现。血液循环理论是流体连续性原理的胜利，在科学史上有里程碑的意义。B3.1.2 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程如图所示，设流体流过以M (x, y, z)为基点，以dx,dy,dz为边长的控制体元。在t 时间内沿x方向净流出控制体（流出质量减去流入质量）的质量为按质量守恒定律，在t时间内沿三个方向净流出控制体的总质量应等于控制体内减少的质量：B3.1.2 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程取极限后可得利用质点导数概念，可改写为（1）（2）式均为微分形式的三维流动连续性方程。u 不可压缩流动对于不可压缩流体，由于密度恒为常数，则不可压缩流体的连续性方程为：在直角坐标系中为：B3.1.2 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程在柱坐标系中为:在不同条件下连续方程有不同形式： 速度散度为零意味着在空间一点邻域内流体的体积相对膨胀率恒为零，这是保证流体密度恒等于常数的运动学条件。u 可压缩流体定常流动对定常流动 ，可压缩流体定常流动的连续性方程为：B3.1.2 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程在直角坐标系中为：思考题：思考题：连续性方程 适用于（ ），连续性方程 适用于（ ）（A）不可压缩流体；（B）不定常流体；（C）定常流体；（D）任何流体。B3.1.2 微分形式的连续性方程微分形式的连续性方程B3.2 作用在流体元上的力作用在流体元上的力B3.2.1 体积力和表面力体积力和表面力p 体积力：穿越空间作用在所有流体元上的非接触力， 如:重力、惯性力、电磁力等。u作用在流体元上的体积力(Fb)大小一般与流体元体积成正比，故名体积力。重力和惯性力正比于流体元的质量，又称质量力。u体积力可表示为空间位置和时间的分布函数。作用在M(x, y, z)点邻域内单位质量流体元上的体积力f 为B3.2.1 体积力和表面力体积力和表面力B3.2.2 重力场重力场p重力场：在Z轴垂直向上的直角坐标系中，作用在单位质量流体之上的重力构成重力场。 g为重力加速度。重力是有势力： 设u 简称为重力势，是单位质量流体元具有的重力势能。u 重力势梯度的负值即为单位质量流体元的重力。在静止流体中没有切向应力 ，只有法向应力，静止流体中的表面应力始终与作用面垂直。在静止流体中一点的法向应力在各个方向均相等。B3.2.3 流体应力场流体应力场p静止流体中的应力状态称p为静压强，就是热力学中的平衡压强，负号表示流体只受压。运动的无粘性流体中也没有切向应力，应力状态与静止流体相似。p运动流体的应力状态：B3.2.3 流体应力场流体应力场在运动粘性流体中,一点的表面应力与作用面不垂直，即有法向分量又有切向分量，而且这些分量的大小与作用面的方位有关，称其为应力状态 。一点的应力状态可用通过该点三个互相垂直的面积之上三组表面应力分量完全确定。如外法矢沿x轴正向的面积元dAx上一组应力分量为pxx (x法向)xy (y切向) xz (x切向)上式中表面应力分量的第一个脚标代表面积元的方位（即外法矢的指向），第二个脚标代表表面应力作用方向，称为应力表示约定。B3.2.3 流体应力场流体应力场同另外两个正交面积元上的两组应力分量共九个分量构成应力矩阵（张量）可以证明九个分量中只有六个是独立的 通常约定，当法向应力与外法矢n方向一致时为正（被作用的流体元受拉伸），方向相反时为负（被作用的流体元受压缩）。p应力矩阵的常用表达式： 运动的可压缩粘性流体各方面的法向压应力可以不相等，引入平均压强 ，并认为它也等于热力学中的平衡压强，简称为压强 p 。B3.2.3 流体应力场流体应力场把压强从法向应力中分离出来 式中x，y，z 是运动粘性流体偏离平均压强的附加法向应力，与流体元线应变率有关。B3.2.3 流体应力场流体应力场应力矩阵可写成：上式右边第一项称为静压强项；第二项称为“偏应力”项，由流体运动产生（静止时为零）。B3.3 微分形式的动量方程微分形式的动量方程p 微分形式的动量方程（流体运动微分方程） 用牛顿第二定律描述流体运动，可得在直角坐标系中微分形式的动量方程如下：上式表明：单位体积流体元上的体积力及三个方向的表面应力梯度造成了单位体积流体元的加速度。如下图所示，在正方体微元三组平面上x方向的表面应力梯度构成表面应力合力。B3.3 微分形式的动量方程微分形式的动量方程流体运动微分方程适用于任何流体，对不同类型的流体将具有不同的形式。 B3.4 纳维纳维- -斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程 p 不可压缩牛顿流体本构关系 对于不可压缩牛顿粘性流体，将牛顿粘性定律从一维推广到三维，法向应力和切向应力分别与线应变率和角变形率成线性关系（Stokes假设）。pN-S方程将不可压缩牛顿流体的本构关系代入直角坐标系中微分形式的动量方程可得：B3.4 纳维纳维- -斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程上式称为均质不可压缩牛顿流体的纳维-斯托克斯方程，习惯上简称为N-S方程。 B3.4 纳维纳维- -斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程N-S方程是本课程中占主导地位的控制方程，在不同条件下，对不同流体模型可化为不同形式。N-S方程加上连续性方程构成封闭的方程组，可在适当的边界条件和初始条件下求解。矢量形式思考题：思考题：（A）体积力压强粘性应力； （B）体积力压强梯度粘性应力；（C）体积力压强梯度粘性应力散度。B3.4 纳维纳维- -斯托克斯斯托克斯（N-S）方程方程N-S方程是牛顿第二定律应用于牛顿粘性流体流动中的表达式。由N-S方程可看到，引起单位体积流体元加速度的作用力是：压强和粘性应力是表面力，当它们作用在流体元某一方向上处于平衡状态时不引起该方向的加速度。只有存在梯度（粘性应力在各个方向上的作用合力是粘性应力的散度）时才引起加速度。u内流问题：出入口的速度和压强分布已知 （一般由实验测得）u外流问题：无穷远处的速度和压强分布已知。u两种流体交界面：界面上的速度、压强和粘性切应力应连续。p 边界条件u固体边界粘性流体：必须满足固壁面不滑移条件（或速度连续条件）无粘流体：无需满足不滑移条件，但法向速度仍应连续。B3.5 边界条件与初始条件边界条件与初始条件两种流体交界面应满足的边界条件为：p 初始条件 对定常流动，无初始条件； 对于非定常流动应知道初始时刻的速度和压强分布。B3.5 边界条件与初始条件边界条件与初始条件思考题：思考题：（A）u=常数； （B）p=常数；（C） 。河水在重力作用下沿斜坡向下流动，水深为h，液面上是大气，在用N-S方程求解速度分布u(y)时，液面上的运动学边界条件可取为：B3.5 边界条件与初始条件边界条件与初始条件已知：牛顿流体（）在重力作用下沿斜坡（倾角为）做定常层流流动。液面上方为大气压（）。流层深h，设图中坐标系中速度、体积力、压强分别为：解：平面流动的N-S方程为：例题B3.5.1：沿斜坡的定常层流：N-S方程与边界条件求：验证是否满足N-S方程及边界条件。例题B3.5.1：沿斜坡的定常层流：N-S方程与边界条件本例中(1)式左边0 右边(2)式左边0 右边满足N-S方程。在斜坡上，y=0,u=0在液面上，y=h,压强满足不滑移条件。满足切应力为零。|y=h=0 为大气压强，满足边界条件。B3.6 压强场压强场 压强在流体运动、流体与固体相互作用中扮演重要角色，如机翼升力、高尔夫球及汽车的尾流阻力都与压强有关，龙卷风产生强大的负压强作用，液压泵和压缩机推动流体做功是正压强作用的结果。 B3.6.1 静止重力流体中的压强分布静止重力流体中的压强分布p 均质流体压强一般表达式 静止流体中无惯性力和粘性力，体积力为重力，由N-S方程可得前两式表明p与x y无关，对均质流体（ =常数），由第三式积分可得：上式表明静止流体中的压强沿垂直坐标为线性分布，常数c由边界条件决定。公式 常用来表示具有自由液面的液体内的压强分布。p 均质液体压强公式 静止液体中的压强分布示意图B3.6.1 静止重力流体中的压强分布静止重力流体中的压强分布设自由液面的坐标为z0 ，压强为p0，可得：在工程上通常用自由液面下的深度（称为淹深）h=z0-z, 表示一点的垂直位置(右图)，则上式可改写为上式称为匀质静止液体中的压强公式，它表明在垂直方向，压强与淹深成线性关系；在水平方向（h=常数），压强为常数，水平面是等压强面，简称等压面。思考题：思考题： 如下图所示的一U形管，管内有两种液体处于平衡状态，试指出图中所画断面中的等压面（ ）（A）1-1面；（B）2-2面；（C）3-3面。B3.6.1 静止重力流体中的压强分布静止重力流体中的压强分布判断等压面的条件是：连通的同种流体。例题B3.6.1： 静压强分布图已知：静止液体的自由表面上方为大气压强。求：定性的画出液体中斜面和曲面上的压强分布。解：B3.6.2 压强计示方式与单位压强计示方式与单位p 压强计示方式 压强公式 可作为压强计算的基础，其中 为基准压强。 两个基准：绝对真空（ ）和当地大气压（ ） 三种计示方式：u绝对压强（ ）：相对于绝对真空计量之值（ ），标注为（ab）u表压强（ ）：相对于当地大气压计量之值（当低于 时为负），标注为（g）u真空度（ ）：当表压强为负时，取其绝对值（ ），标注为（v）约定：除特别说明外，压强均以表压强计算。思考题：思考题： pab, pg, pv分别表示绝对压强、表压强和真空度， pa表示大气压强。试判断下列表达式哪个是对的：（A） ；（B） ；（C） 。B3.6.2 压强计示方式与单位压强计示方式与单位p 压强单位 B3.6.2 压强计示方式与单位压强计示方式与单位u 国际单位制（SI）：帕斯卡（Pa）， 1Pa=1N/m2,1kPa=103N/m2,1MPa=106N/m2u 物理单位制（cgs）：毫米汞柱（mmHg）单位制例题B3.6.2： 单管与U形管测压计已知：一封闭容器中充满密度为的液体。求： 用单管和U形管测压计测量内壁面上任一点A的压强。解：在A点处壁面上开一小孔，接液柱式测压计。(1) 若 pA0，接单管测压计，如图。液体在压力作用下上升至h高度，液面上为大气，按下式pA =pa +gh（绝）=gh（表）h=pA /g（m）(a)称h为A点的测压管高度。还可以表示为能量形式：gh=pA /gh表示重力势能，pA /称为压强势能。(b)例题B3.6.2： 单管与U形管测压计(2) 若 pA0，接U型管测压计，如图。U形管内有一段重液体（如汞）密度为，设其液面差为h，A点离左支管液面距离为h1 。pA +gh1+mgh=0U形管测压计也适用于测量气体压强。11由等压面1-1列压强平衡方程：pA =-gh1-mgh0用被测液体的测压管高度表示U形管液面差折合成测压管高度例题B3.6.2A： U形管压差计已知：二个封闭容器A,B中分别充满密度为的流体（气体或液体）。求：用U形管测量A,B两点的压强差p=pA-pA解：将U形管两支接到A,B两点，U形管内有一段重液体，密度为 m，液体差为h。取0-0线为基准面，A,B的位置为zA,zB。pA+g(zA+h)=pB+gzB+mg hp=pA-pB=g ( zB- zA)+(m- )g h用被测流体的测压管高度表示：由等压面1-1列压强平衡方程：U形管液面压强差位置差 例题B3.6.2B： 压强计示与单位已知：设水泵吸水管的绝对压强为p=8N/cm2，大气压强为pa=1.013105Pa。试用：国际单位制表示其绝对压强、表压强、真空压强和真空度。解：pv=-pg=2.13104Pa=21.3kPapab=8104N/m2(Pa)=80kPa或表示为p=80kPa(ab)p=pg=pab-pa=(8104-1.013105)Pa =-2.13104Pa=-21.3kPa或p=2.13104Pa/1.013105Pa=21%(v)绝对压强表压强真空压强真空度p=21.3kPa(v)B3.6.3 运动流体中的压强分布运动流体中的压强分布运动流体中，影响压强分布的因素除体积力外，还有惯性力和粘性力等。p 例一：圆柱绕流 惯性力和粘性力的影响 设流体对圆柱作定常平面绕流，圆柱表面的压强分布在无粘性流体和粘性流体中有不同的概念，设压强系数为式中p为圆柱面上压强，p0，v0为无穷远处压强和速度。图b为粘性流体绕流时（Re=105），由于边界层分离在圆柱后部形成尾流区（见动画），前后压强分布不对称，作用在圆柱上的压强合力不为零，形成压差阻力。 图a为无粘性流体绕流的压强系数分布图，为前后对称分布；B、D点是最大正压强点（驻点），C、E点是最大负压强点，作用在圆柱上的压强合力为零（达朗贝尔佯谬）。B3.6.3 运动流体中的压强分布运动流体中的压强分布机翼上下表面压强分布示意图，下表面以正压强为主，上表面以负压强为主，压强合力形成升力。 NACA标准翼型（2412）在攻角分别为7.4度和2.8度时的压强系数分布图，可见主要以上表面负压强为主。 p 例二：机翼绕流 B3.6.3 运动流体中的压强分布运动流体中的压强分布在风洞里沿轿车中剖面测量的压强系数分布图，可见除迎风面为正压强外，其他部位大多是负压强。p 例三：汽车绕流 B3.6.3 运动流体中的压强分布运动流体中的压强分布普通型轿车在车速很高时将产生升力，使轮胎与地面咬合力减小，造成驱动效率降低，稳定性差。为了克服这些缺点，可采取如下改进措施：（A）增加轮胎的表面粗糙度；（B）改变车身形线，使高速时升力减少；（C）在轿车车身上安装产生负升力的辅助装置。B3.6.3 运动流体中的压强分布运动流体中的压强分布思考题：思考题： 答案：b,c。目前流行的楔形车身在高速运动时不仅不产生升力，反而产生向下的压力；另外在轿车后部安装倒置的翼形片，产生的升力向下，可抵消车身的升力。p 有势场有势场必无旋？有势场必无旋？定义：设有矢量场A(M)，若存在单值函数u(M)满足则称此矢量场为有势场；命v=-u，并称 v为这个场的势函数。易见矢量A与势函数v之间的关系是由此定义可以看出：（1）有势场是一个梯度场；（2）有势场的势函数有无穷多个，它们之间只相差一个常数。有势场必无旋？有势场必无旋？p 定理：在线单连通区域内矢量场A为有势场的充要条件是其旋度在场内处处为零。证明：必要性设A =P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k如果A为有势场，则存在函数u(x,y,z),它满足即有P(x,y,z)=ux,Q(x,y,z)=uy,R(x,y,z)=uz根据矢量场的假定：函数P,Q,R具有一阶连续偏导数。从而由上式知函数u具有二阶连续偏导数。因此有Ry-Qz =0,Pz-Rx =0,Qx-Py=0所以在场内处处有rotA =0有势场必无旋？有势场必无旋？ 充分性设在场内处处有rotA =0，又因场所在区域是线单连的，则由斯托克斯公式可知这个事实等价于曲线积分与路径无关。其积分值只取决于积分的起点M0(x0,y0,z0)和终点M(x,y,z)；当起点固定时，它就是其终点M 的函数，将这个函数记作u(x,y,z),ux=P,uy =Q,uz =R下面来证明函数具有下面的性质：有势场必无旋？有势场必无旋？先证明第一个等式。为此，我们保持终点M(x,y,z)的y,z坐标不动而给x坐标以增量x，这样得到一个新的点N(x+x,y,z)。于是有因积分与路径无关，故最后这个积分可以在直线段MN上取。这时y和z均为常数，从而dy=0，dz=0。这样按积分中值定理有M0M(x,y,z)NSzxyx0xy0yz0有势场必无旋？有势场必无旋？两端除以x后，令x0而取极限，就得到此性质表明：即表达式A dl=Pdx+ Qdy+ Rdz为函数u的全微分；同理可证（1）（2）函数u满足A=gradu。所以，矢量场A为有势场。B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数B4.2 积分形式的连续性方程积分形式的连续性方程B4.3 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用B4.4 积分形式的动量方程及其应用积分形式的动量方程及其应用B4.5 积分形式的动量矩方程积分形式的动量矩方程B4.6 积分形式的能量方程积分形式的能量方程B4 积分形式的基本方程B4 积分形式的基本方程积分形式的基本方程 积分形式的流体力学基本方程描述空间有限体积域上的流体运动规律，主要涉及流体质量、动量 、动量矩和能量等物理量在有限体积域上的积分值（广延量）随时间和位置的变化规律，它在工程上有广泛应用。p主要内容：流体系统的随体导数；积分形式的连续性方程、动量方程、动量矩方程和能量方程及其应用，伯努利方程及其应用等。重点：（1）有限控制体分析，输运公式； （2）有多个一维出入口的控制体上的连续性方程； （3）伯努利方程； （4）有多个一维出入口的控制体上的定常动量方程等。 B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数 p 系统广延量由于 为流体系统内物理量的空间分布函数，在系统（system）上积分：称为系统广延量。当 取密度、动量、动量矩和能量函数时，分别可得系统质量、系统动量、系统动量矩和系统能量等。p 控制体广延量控制体表面为CS，一流体系统sys（实线包围区域）在 t 时刻刚好与控制体重合，以后流体系统可以与控制体形状不同。右图为控制体形状变化示意图：B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数p 有限控制体分析，输运公式在流场中取一固定不变形的有限控制体 CV（图中虚线包围的区域）B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数t 时刻物理量的空间分布函数（单位体积之值），在系统上的积分控制体控制面由时间导数的定义，系统广延量的时间导数可表示为由于控制体积分区域 可分割成数块，B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数右端第一项代表控制体广延量对时间的导数B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数右端第三项代表单位时间内通过控制面流出控制体的广延量（正值）右端第二项代表单位时间内通过控制面流入控制体的广延量（负值）B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数将I，II，III式代入原系统广延量的时间导数公式，并用D/DT代替d/dt上式被称为雷诺输运公式，简称输运公式。将II与III相加可得上式代表单位时间内通过控制面净流出控制体的广延量。类似于流体质点的随体导数（质点导数）概念，用控制体上的欧拉坐标表示流体系统的随体导数，关系式为：B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数表示系统与控制体重合时系统广延量对时间的随体导数，又称系统导数；表示控制体广延量随时间的变化率，又称当地变化率，反映流场的不定常性（定常时为零）；表示通过控制面净流出控制体的广延量流量，又称为迁移变化率，反映流场的不均匀性（均匀时为零）。p 定常流场输运公式上式表明在定常流场中，当系统与控制体重合时，系统广延量的变化只取决于控制面上的流动，与控制体内的流动无关（见下图）。B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数思考题：思考题：运输公式：是对固定控制体导出的，若控制体作匀速运动时，下面哪个结论是对的：（A）仍然适用；（B）不再适用； （C）形式不变，但需将迁移项中v改为相对速度vr。B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数B4.2 积分形式的连续性方程积分形式的连续性方程上式称为积分形式的连续性方程，适用于任何流体的定常和不定常流动。设 ，系统质量为根据质量守恒定律：由输运公式可得：上式表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流体质量随时间的减少率。B4.2.1 固定控制体固定控制体p 不可压缩流体实际上，对固定不变形的控制体，上面式子中的当地项中微分和积分运算可变换，迁移项中 为绝对速度。当密度为常数时，式中当地项为零，迁移项中密度项可消去，得上式的物理意义是：对不可压缩流体的流动，从任何固定不变形的控制面净流出的体积流量恒为零。对不可压缩流体一维流管流动B4.2.1 固定控制体固定控制体令截面1,2上的流量大小分别为Q1,Q2，由流量公式可得由平均速度公式可得早在16世纪初，达.芬奇就发现了这一规律。B4.2.1 固定控制体固定控制体若控制面上有多个出入口，设出入口的流量大小为Qout,Qin，由前面的公式可得思考题：思考题： 对于连续性方程：的说法，下列哪个是对的（ ）（A）仅适用于不可压缩流体的定常流动的；（B）也适用于不可压缩流体的不定常流动；（C）适用于任何流体的定常流动。B4.2.1 固定控制体固定控制体p 可压缩流体定常运动B4.2.1 固定控制体固定控制体对密度可变流体的定常流动，可得 上式的物理意义是：对可压缩流体定常流动，从任何固定不变形的控制面净流出的质流量恒为零。 对一维流管流动，设出入口的质量流量大小分别为 和 ，从质量流量公式可得B4.2.1 固定控制体固定控制体对有多个出入口的控制面上的定常流动，由前面的公式可得例题B4.2.1：主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程已知：下图是人主动脉弓模型示意图。血液从升主动脉1经主动脉弓流向降主动脉5，方向改变约180，主动脉弓上分支出头臂干动脉2，左颈总动脉3和左锁骨下动脉4。设所有管截面均为圆形，管直径分别为d1=2.5cm,d2=1.1cm,d3=0.7cm,d4=0.8cm,d5=2.0cm。已知平均流量分别为Q1=6L/min,Q3=0.07Q1,Q4=0.04Q1,Q5=0.78Q1。试求：(1)管2的平均流量Q2；(2)各管的平均速度（用cm/s表示）。解：由取图中虚线所示控制体，有多个出入口。血液按不可压缩流体处理，由式Qout=QinQ1=Q2+Q3+Q4+Q5例题B4.2.1：主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程（1）管2的流量为Q2=Q1(Q3+Q4+Q5)=Q1(0.07+0.04+0.78)Q1=0.11Q1=0.66L/min（2）各管的平均速度为B4.2.2 运动控制体运动控制体 无论是惯性系还是非惯性系，只要将迁移项中的速度改为相对于控制体的相对速度，即可得运动控制体形式的连续性方程：对具有多个一维出入口的定常流动为 上两式常在旋转控制体（如流体机械）中运用。思考题：思考题： 所谓非惯性系是仅指：（A） 做加速运动的控制体； （B） 做匀角速度旋转的控制体；（C） 做非匀角速度旋转的控制体；（D） 包括以上三个答案。B4.2.2 运动控制体运动控制体相对于惯性系（静止或匀速运动的参考系）加速运动的参考系称为非惯性系参考系。地球有自转和公转，我们在地球上所观察到的各种力学现象，实际上是非惯性系中的力学问题。已知：下图为洒水器示意图。臂长R=150mm，喷水管面积A=40mm2，喷口偏转角水从中心转轴底部流入，总流量Q=120mL/s，从两喷口流出。喷管角速度为=500转/分求：（1）管内水流的相对速度Vr。（2）管口水流的绝对速度V。解：取包围喷管，并与喷管一起旋转的控制体，如图中虚线所示。对站在控制体上的观察者而言，水以速度Vr沿两支喷管做定常直线流动。由下式：例题B4.2.2：洒水器：运动控制体连续性方程可得水为不可压缩流体 ，且 ，由两臂对称方程 ，上式化为：管内相对速度为：喷口的牵连速度为：由喷口的速度矢量合成，绝对速度为： 例题B4.2.2：洒水器：运动控制体连续性方程此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢